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函数导数综合复习卷100题

时间:2012-12-27


2012-2013 学年度宁波五校函数导数综合复习卷
第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的取值范围是( ) A.

(??, loga 3)

B.

(loga 3,??)

C. (0,??)

D. (??,0) )

2.若函数 f (x) 的导函数 f ?( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,则函数 f ( x ? 1) 的单调递减区间是 ( A. (0,2) B. (1,3) C. (?4,?2) D. (?3,?1)

3.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax ( x ? R) 在 x ? 1 处有极值,则曲线 y ? f ( x) 在原点处的切 线方程为( A. y ? ?2 x ) B. y ? ?3 x C. y ? 3x D. y ? 4 x

4.若 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 ,则 f ( x) 的反函数的图像大 致是( )

1 2

5.设 a ? log 1 2, b ? log 1
3 2

1 ?1? , c ? ? ? ,则 3 ?2?
) D.-1

0.3

A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? c ? a D. b ? a ? c 6.设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值为( A.3 B.2 C.1

( ,0 ) 7.函数 y ? x cos 2 x 在点 4 处的切线方程是(
2 A. 4?x ? 16 y ? ? ? 0 2 B. 4?x ? 16 y ? ? ? 0

?



2 C. 4?x ? 8 y ? ? ? 0

2 D. 4?x ? 8 y ? ? ? 0

8.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,且 f (1) ? 0 ,则不等 式 xf ( x) ? 0 的解集为 A. (-1,0)∪(1,+ ? ) B. (-1,0)∪(0,1) C. (- ? ,-1)∪(1,+ ? ) D. (- ? ,-1)∪(0,1) 9. 某地一年内的气温 Q (t ) (单位:℃)与时刻 t (单位: 时)之间的关系如图(1)所示,令 C (t ) 表 示时间段

?0,t ? 内的温差(即时间段 ?0,t ? 内最高温度与最低温度的差),
)

C (t ) 与 t 之间的函

数关系用下列图表示,则正确的图像大致是(

10.已知函数 f (x) 的定义域为 (??,??) , f ?(x) 为 f (x) 的导函数,函数 y ? f ?(x) 的图象 如右图所示,且 f (?2) ? 0, f (3) ? 0 ,则不 等式 f ( x ? 6) ? 0 的解集为
2

(A) (2,3) (C) (? 2 , 2 ) 11.已知 a ? log2 0.3 , b ? 2
0.3

(B) (?3,?2) ? (2,3) (D) (??,? 2 ) ? ( 2,??)
0.2 , c ? 0.3 ,则有(



A. a ? b ? c

B. a ? b ? c

C.

b?c?a
1 4

D.

c?a?b

12.已知函数 f ( x ) ? ? A. 9 B. ? 9

?log 2 x ( x ? 0) ?3
x

( x ? 0)

,则 f [ f ( )] 的值是

1 1 D. ? 9 9 13 . 设 函 数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内 有 定 义 , 对 于 给 定 的 正 数 K , 定 义 函 数
C.

? f ( x ), f ( x ) ? K , f K ( x) ? ? f ( x) ? K . ?K ,
间为( ) A . (??, 0)

取函数 f ( x) ? 2? x 。当 K =

1 时,函数 f K ( x) 的单调递增区 2
D . (1, ??)

B. (0, ??)

C . (??, ?1)

14.若 x0 是方程 lg x ? x ? 5 的解,则 x0 属于区间 A. ?1,2? B. ?2,3? C. ?3,4? D.

?4,5?
B. 2 或

? x ? 1, x ? ?1 15.已知 f ( x ) ? ? x 2 ,?1 ? x ? 2, 若 f ( x) ? 3, 则x的值为 A. 2 ? ? 2 x, x ? 2 ?

3 2

C. ? 3 D.

3

16.若 a ? 0, a ? 1 ,则函数 y ? a x?1 的图象一定过点 ( A. (0,1) B. (1,1) C. (1,0) a b 17.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3 +3 的最小值是 A.18 B.6 C.2 3 D.

) (0,-1) ( D.2 4 6

)

? 18 . 设 函 数 f ?x ?在?- ?, ?? 上 满 足 以 x ? 2, x ? 7 为 对 称 轴 , 且 在 ?0,7? 上 只 有

? f ?1? ? f ?3? ? 0 ,试求方程 f ?x ? ? 0 在 ?- 20122012 根的个数为( ,



A、 803 个 B、 804 个 C、 805 个 D、 806 个 19. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动, 离台风中心 30 千米内的地区 为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为 A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时
2 20.如果物体做 S (t ) ? 2(1 ? t ) 的直线运动,则其在 t ? 4 s 时的瞬时速度为:

A. 12

B。

? 12

C.

4

D.

?4

2 21. 若一元二次方程 3x ? 5 x ? a ? 0 的一根大于 ?2 且小于 0 ,另一根大于 1 而小于 3 ,则

实数 a 取值范围 ( ) A. ? ?12,0? B. ? ??,

? ?

15 ? ? 14 ?

C. ?

? 15 ? , ?? ? ? 14 ?

D. ?

?1 ? ,2? ?2 ?

22. f(x)是奇函数,且在 A. C.

? 0, ?? ? 内是增函数,又 f (3) ? 0 ,则 xf ( x) ? 0 的解集是(
B.



{x ? 3 ? x ? 0或x ? 3}



{x x ? ?3或0 ? x ? 3}

{x x ? ?3或x ? 3}



D.

{x ? 3 ? x ? 0或0 ? x ? 3}

? 23. 定义方程 f ( x) ? f ( x) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x) 的“新驻点” ,如果函数 g ( x) ? x ,

? ?x?? h( x) ? ln x ,? ( x) ? cos x ( ? )的“新驻点”分别为 ? , ? ,? ,那么 ? , ? ,?
的大小关系是 A. ? > ? > ?
x1

( B. ? > ? > ?
x2

) D. ? > ? > ?

C. ? > ? > ?

?1? ?1? 24.若 ? ? ? ? ? ? 1 ,则 ? 2? ? 2?
A. 0 ? x2 ? x1 B. x1 ? x2 ? 1 C. x2 ? x1 ? 0 D. x1 ? x2 ? 0

25..已知 f ( x ) 的导函数 f '( x) ? a( x ? 1)( x ? a) ,若 f ( x ) 在 x ? a 处取得极大值,则 a 的 取值范围是( A. (0, ??) ) B. (?1, 0) C. (??, ?1) D. (??, 0)
D1 C1

2 26 . 若 曲 线 y ? x ? ax ? b 在 点 ?0, b ? 处 的 切 线 方 程 是
A1

B1

x ? y ? 1 ? 0 ,则(
A . a ? 1, b ? 1 D. a ? ?1, b ? ?1


E D C

B . a ? ?1, b ? 1

C . a ? 1, b ? ?1
A F

B

27.定义域为[a,b]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x ) 图象上任意 一 点 , 其 中 x ? ? a ? (1 ? ? )b ?[a, b] , 已 知 向 量 ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB , 若 不 等 式

????

??? ?

??? ?

???? ? 1 | MN |? k 恒成立,则称函数 f ( x)在[a, b] 上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 在[1,2] x
上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为 A. [0, ??) B. [

1 3 3 , ?? ) C. [ ? 2, ??) D. [ ? 2, ??) 12 2 2

f ( x) g ( x) x | f ( x) ? g ( x) |? 1 f ( x) g ( x) f ( x) ? x 2 ? x ? 2 g ( x) ? 2 x ? 1

29.物体运动的方程为 s ?

1 4 t ? 3 ,则当 t ? 5 的瞬时速度为 4
D. 625





A.5

B. 25
log 2 3.4

C. 125

30.已知 a ? 5 A. a ? b ? c

,b ? 5

log 4 3.6

?1? ,c ? ? ? ?5?

log3 0.3

, 则(
C. a ? c ? b

) D. c ? a ? b

B. b ? a ? c

31.设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a,2a] 上的最大值与最小值之差为 则实数 a 的值为( A. ) C. 2 2 D. 4
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1 , 2

2

B. 2

32. 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时, f(x)=x,则 f(7 A. 0.5 B. -0.5 C. 1. 5 D. -1.5

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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5)等于(

)

33. 若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 x ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f ? x ? 可 以是( )

A. f ( x ) ? x ?

3 2

B. f ( x) ? ( x ? 2)

2

C.f ? x ? ? e x ? 1

D.f ( x) ? ln( x ? )

3 4

34.已知点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上的一个动点,则点 P 到直线 l : y ? x ? 2 的距离的最小 值为( ) A. 1
3 2

B. 2

C.

2 2

D. 3

35.若函数 f(x)=x +x -2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次 计算,参考数据如下表: ( )

那么方程 x +x -2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为 A、1.2 B、1.3 C、1.4

3

2

( D、1.5



x 36.函数 f(lgx)的定义域是 ?0.1,100? ,则函数 f( 2 )的定义域是
A. ?0.2,200? 37.函数 f ( x) ? B. ?? 1,2? C. ?? 2,4? D. ?0.1,100?

x 2 ? 3x ? 6 (0 ? x ? 4) 的最小值为( ) x ?1

A. 2 38.函数 y= 3x
2

B. 1
?1

C. 6

D. 5

(-1≤x<0)的反函数是

A. y= 1 ? log3 x (x≥ ) C. y= 1 ? log3 x ( <x≤1)

1 3

B. y= - 1 ? log3 x (x≥ ) D. y= - 1 ? log3 x ( <x≤1)

1 3

1 3

1 3

1 1 f ( x) ? sin x ? x, x ? [0, π] cos x0 ? 3 3 ( x0 ? [0, π] ) 39.已知函数 , .那么下面命题中真
命题的序号是

f ( x0 ) ① f ( x) 的最大值为 [0, x0 ] 上是减函数 ③ f ( x) 在
A.①③ B.①④

f ( x0 ) ② f ( x) 的最小值为

[ x , π] 上是减函数 ④ f ( x) 在 0
C.②③ D. ②④ )

40.若函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 f ? x ? ? x 2 ? 2 f ? ? 2 ? x ? 3 ,则( A. f ? 0 ? ? f ? 6 ? B. f ? 0 ? ? f ? 6 ? C. f ? 0 ? ? f ? 6 ?

D.无法确定 )

41.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A. y ? ? x , x ? R
3

B.

y ? sin x, x ? R
1 2

C. y ? x, x ? R

D. y ? ( ) x , x ? R

3 2 42.函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f (x) 在 x ? ?3 时取极值,则 a=

A.2

B.3

C.4

D.5

43.函数 f (x) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解 集为( ) A. ?1,+ ? ) B. ?1,1)C. ? ? , ?1) D. ? ? ,+ ? ) ( ( ( ( 44.已知函数 f ( x)的定义域为[?2,??) ,且 f (4) ? f (?2) ? 1 , f ?( x)为f ( x) 的导函数, 函数 y ? f ?(x) 的图象如图所示. 则平面区域

a?0 ? ? 所围成的面积是 b?0 ? ? f ( 2a ? b) ? 1 ?

A.2

B.4

C.5

D.8 ( ) D. x ? 2 y ? 2 ? 0 ( )

45.曲线 y ? xe x ? 1在点(0,1)处的切线方程是 A. x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

x 46..已知 x1 是方程 x ? 2 ? 3 的根, x2 是方程 x log 2 x ? 3 的根,则 x1 x2 的值为

A.2

B.3

C.6

D.10 ( )

47.函数 y ? x ln(? x)与y ? x ln x 的图象关于 A.直线 y ? x 对称

B.x 轴对称 C.y 轴对称 D.原点对称

a 48.已知 a ? 0 ,若 ? 0 (2 x ? 2)dx ? 3 ,则 a ?

A. 1

B.2

C.3

D.3 或-1 )

? x3 , x ? 0, 2 49.已知函数 f ( x) ? ? 若 f(2-x )>f(x),则实数 x 的取值范围( ?ln( x ? 1), x >0.
A. (??, ?1) ? (2, ??) 50.4、 A. ? B. (??, ?2) ? (1, ??) ) C. C. (?1, 2) D. (?2,1)
?

? ? ( x ? cos x)dx=(
2 ? 2

B. 2

??

D. 4

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

?4 ? x 2 , ? 51. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ?2 , ?1 ? 2 x , ?
(Ⅰ)求 f [ f (?2)] 的值; (Ⅱ)求 f (a ? 1) ( a ? R )的值;
2

x ? 0, x ? 0, x ? 0.

(Ⅲ)当 ? 4 ? x ? 3 时,求函数 f (x) 的值域。

52.

? ? cos
2 ? 2

?

2

xdx =______


53.函数 f ( x) ? x ? a sin x 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围是
1
1

54.比较下列各数 log 3 2 , 2 2 , 3 3 的大小为 55.设 2a ? 5b ? m ,且 56.函数 f ( x) ?

ax ? 1 (a 为常数)在(-2,2)内为增函数,则实数 a 的取值范围是 x?2

1 1 ? ? 2 ,则 m ? a b

57. .定义:如果函数 y ? f ( x)在定义域内给定区间 a,b]上存在x0(a ? x0 < b),满足 [

f ( x0 ) ?

f (b ) ? f (a ) ,则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数”, x0 是它的一个均 b?a
4

值 点 . 如 y ? x 是[?11] 上 的 平 均 值 函 数 , 0 就 是 它 的 均 值 点 . 现 有 函 数 ,

f ( x) ? ? x2 ? mx ? 1是区间 ?11] 上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是 [ ,
58.



x ?1 59.函数 y ? a ? 2( a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 ,

2 1 ? (m ? 0, n ? 0) 上,则 m n 的最小值是
60.如图,函数 是可导函数,则



. ,且 也

的图象在点 P 处的切线方程是 =__ _____

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

61.. (14 分) 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 ( 3 ? a ? 5 )的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ? x ? 11 )时,一年的销售量 为 (12 ? x ) 万件.
2

(1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q ( a ) . 62.对于任意的 x ? R ,均有 x 2 ? 4ax ? 2a ? 30 ? 0 ( a ? R ) ,求关于 x 的方程

x ?| a ? 1 | ?1 的根的范围。 a?3
63.((本小题 12 分) 设函数

f ? x ? ? x3 ? 6 x ? 5, x ? R

(1)若关于 x 的方程 (2)当

f ? x? ? a

有三个不同的实根,求实数 a 的取值范围。 恒成立。求实数 k 的取值范围。

x ? ?1, ?? ?

时,

f ? x ? ? k ? x ? 1?

64. (本小题满分 8 分) 设 x1 , x 2 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x ? 2?m ? 1?x ? m ? 1 ? 0 的 两 个 实 根 , 又
2

y ? ?x1 ? x2 ? ? 2m ? 2 。
2

(Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)求 y ? f ?m? 的解析式及最小值。

65. 四、附加题:(本大题共 1 小题,共 15 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 23.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . (Ⅰ)求函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x 的最大值;

(Ⅱ)当 0 ? a ? b 时,求证 66. (本小题满分 14 分)

f (b) ? f (a ) ?

2a (b ? a ) a2 ? b2 .

已知 k ? R 函数 f ( x) ? m x ? k ? n x (0 ? m ? 1,0 ? n ? 1) . (I) 若 mn ? 1 且函数 f ( x) 为奇函数,求实数 k ; (II) 若 m ? 1 ? n ? 0, 试判断函数 f ( x) 的单调性; (III) 当 m ? 2 , n ?
1 , k ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 的对称轴或对称中心. 2

67. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a、b、c、d∈R)满足: 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (? x) ? 0 , f ?(1) ? 0 , f (1) ? ? (1) f (x) 的解析式; (2)当 x ? [?1,1] 时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直; (3)设 F ( x) ? xf ( x) ,证明: x ? (0, 3) 时, F ( x ) ?

2 3

3 . 4

68.附加题(本大题共两个小题,每个小题 10 分,满分 20 分,省级示范性高中要 把该题成绩计入总分,普通高中学生选作) 已知 f ( x) ? x ?

1 , x

(1)判断函数在区间(-∞,0)上的单调性,并用定义证明; (2)画出该函数在定义域上的图像.(图像体现出函数性质即可)

69.已知函数 f ?x ? ?| x ? a |, g ( x) ? ? | x ? 3 | ?1 . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) ? 1 ; (2)若对 ? x ? R , f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围. 70. 如果二次函数 y=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求 m 的取值范围。 71. (本小题满分 14 分)设 x ? 1 与 x ? 2 是函数 f ? x ? ? a ln x ? bx ? x 的两个极值点.
2

(1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x ? 1, x ? 2 是函数 f ? x ? 的极大值点还是极小值点,并说明理由。 72. (Ⅰ)设函数 f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x) (0 ? x ? 1) ,求 f (x) 的最小值; (Ⅱ)设正数 p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1,证明

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ? ? ? p2n log2 p2n ? ?n
73.已知函数 f ( x) ? ln x ,

g ( x) ?

1 2 x ? 2x 2

/ / (1) 设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) (其中 g ( x) 是 g ( x) 的导函数),求 h( x) 的最大值;

(2) 证明: 当 0 ? b ? a 时,求证:

f (a ? b) ? f (2a) ?

b?a 2a


/ (3) 设 k ? Z ,当 x ? 1 时,不等式 k ( x ? 1) ? xf ( x) ? 3g ( x) ? 4 恒成立,求 k 的最大值

74. (本小题满分 14 分)给定函数 f ( x) ?

x2 2( x ? 1)

(1)试求函数 f ? x ? 的单调减区间; (2)已知各项均为负的数列 ?an ? 满足, 4Sn ? f (

1 n ?1 1 1 ? ln ?? ; ) ? 1 求证: ? an?1 n an an

(3)设 bn ? ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求证: T2012 ?1 ? ln 2012 ? T2011 。 an

75. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 1的单调减区间是(1,2) ⑴求 f ( x ) 的解析式; ⑵若对任意的 m? (0, 2] ,关于 x 的不等式 f ( x) ?

1 3 m ? m ? ln m ? mt ? 3 在 2

x ?[2, ??) 时有解,求实数 t 的取值范围.
76. (本题满分 14 分)
2 2 g ?x ? ? ? 1 ? ?x ? a ? 已知函数 f ?x ? ? ax ? 2 4 ? 2b ? b x , , ?a, b ? R?
2

(Ⅰ)当 b ? 0 时,若 f ?x ? 在 ?2,??? 上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对 ?a, b ? : a 是整数时, 当 存在 最大值,

x0 ,使得 f ?x0 ? 是 f ?x ? 的

g ?x0 ? 是 g ?x ? 的最小值;

(Ⅲ)对满足(Ⅱ)的条件的一个实数对 ?a, b ? ,试构造一个定义在 D ? ?x | x ? ?2 ,且

x ? 2k ? 2, k ? N?上的函数 h?x ? ,使当 x ? ?? 2,0? 时,h?x? ? f ?x? ,当 x ? D 时,h?x ? 取
得最大值的自变量的值构成以

x0 为首项的等差数列。

2 77. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x.

(Ⅰ)当 a ? ?2 时,求函数 f (x) 的单调区间;

(Ⅱ)若

g ( x) ? f ( x) ?

2 x 在 [1,??) 是单调函数,求实数 a 的取值范围.

78. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx . (Ⅰ)若 f (x) 为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,求函数 f (x) 的最大值;

4 f (a) ? f (b) ? ?2 a?b (Ⅲ)当 m ? 1 ,且 0 ? b ? a ? 1 时,证明: 3 .

79.(本小题满分 l4 分) 3 2 已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有 |f(x1)-f(x2)|≤4; (3)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. 2 1 f ( x) ? x ? 3 2 , h( x) ? x . 80. (理数) (14 分) 已知函数 (Ⅰ)设函数 F(x)=18f(x)- x 2 [h(x)] ,求 F(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a ? R ,解关于 x 的方程
* (Ⅲ)设 n ? N ,证明:

2

3 3 lg[ f ( x ? 1) ? ] ? 2lg h(a ? x) ? 2lg h(4 ? x) 2 4 ; 1 6.

f (n)h(n) ? [h(1) ? h(2) ? ? ? h(n)] ?

81. (本小题满分 12 分)设函数 F ( x) ? ex ? sin x ? ax. (1)若 x ? 0是F ( x) 的极值点,求 a 的值; (2)若 x ? 0 时,函数 y ? F ( x) 的图象恒不在 y ? F (? x) 的图象下方,求实数 a 的取值范 围。 82.已知函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x

1 1 1 ( ? x) ( ? x) (1)讨论 f(x)的单调性;(2)设 a>0,证明:当 0<x< a 时,f a >f a ;
(3)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A, 两点, B 线段 AB 中点的横坐标为 x0, 证明 f′(x0) <0. 83.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) . (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f (x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ? ,问: m 在什么范围

?m ? g ( x) ? x 3 ? x 2 ? ? f ' ( x) ? ?2 ? 在区间 (t ,3) 上总存在极值? 取值时,对于任意的 t ? ?1,2?,函数

(Ⅲ)当 a ? 2 时,设函数

h( x) ? ( p ? 2) x ?

p ? 2e ?3 x x ,若在区间 ?1, e? 上至少存在 一个 0 ,

使得

h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围.
f ( x) ? x ?1? a (a ? R且x ? a ) a?x .

84.已知函数:

(1)证明: f ( x ) + f (2a ? x) +2=0 对定义域内的所有 x 都成立;

1 (2)当 f ( x ) 的定义域为[ a + 2 , a +1]时,求证: f ( x ) 的值域为[-3, -2];

(3)若

a?

1 2 ,函数 g ( x) =x2+|(x- a ) f ( x) | ,求 g ( x) 的最小值

85. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间;

ln( ax ) ? ln( ax ) ? ln( x ? 1), (a ? 0, a ? R) . x ?1

(Ⅲ)当 a ? 0 时,若存 x 在使得 f ( x) ? ln(2a) 成立,求 a 的取值范围. 86. (本小题满分 13 分)函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? a , g ( x) ? x ln x .
3

(Ⅰ)若 y ? f (x) , y ? g (x) 在 x ? 1 处的切线相互垂直,求这两个切线方程; (Ⅱ)若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 单调递增,求 a 的取值范围. 87. (14 分)已知函数 f ( x) ? 4x ? 3tx ? 6t x ? t ?1, x ? R,其中t ? R ,
3 2 2

(1)当 t=1 时,求曲线 y ? f ( x)在点(0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t≠0 时,求的单调区间; (3)证明:对任意的 t ? (0, ??), f ( x) 在区间(0,1)内均存在零点。

88.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 , (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;

(2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取 值范围;

(3)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) * ? ? ?? ? ( n? N 且n ?1) 3 4 5 n ?1 4

89.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x (1)若 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取 值范围; (2)若 x ? ? 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条 件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? bx 的图像与函数 f ( x ) 的图象恰有 3 个交点?若 存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由。 90. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? ln x, f1 ( x) ?

1 3

1 2 4 5 1 x ? x ? ln x, f 2 ( x) ? x 2 ? 2ax, a ? R . 6 3 9 2

(1)求函数 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 f ( x) ? f 2 ( x) 在区间 (1,??) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 a ? 有无穷多个. 91. (本题满分 16 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x2 (ax ? 3) ,其中 a 为常数. (1)若 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 f ( x ) 在区 间 (?1, 0) 上是增函数,求 a 的取值范围; (3) 若函数 g ( x) ? f ( x) ? f '( x), x ?[0, 2] , x ? 0 处取得最大值, ..a 的取值范围. 在 求正数 92.(12 分)设函数 f ( x) ? x ? a( x ? 1) ln( x ? 1), a ? 0 . (1)求 f ( x) 的单调区间;

2 时,求证:在区间 (1,??) 上,满足 f1 ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) 恒成立的函数 g (x) 3

1 1 1 1 11 ? 7 ? 17 ? ? ? 2 n 2 ?1 ? , n ? N * 15 e e (2)证明: e e .
93.已知函数 f ( x) ? e kx ? kx2 e ( k ? 0 )( e 为自然对数的底数)
2

(1)求 f (x) 的极值 (2)对于数列 ?an ? , an ? e n 证明: an ? a n ?1
2

?1

? n2

(n? N )

?

考察关于正整数 n 的方程 a n ? n 是否有解,并说明理由

94. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a ( a ? 0 且 a ? 1 ) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求证:函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递 增; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? t ? 1 有三个零点,求 t 的值; (Ⅲ)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ,试求 a 的取值范围. 注:e 为自然对数的底数。 95.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 1 与 x ? ?

2 时,都取得极值。 3

(1)求 a , b 的值; (2)若 f ( ?1) ?

3 ,求 f ( x ) 的单调区间和极值; 2
3 恒成立,求 c 的取值范围。 c

(3)若对 x?? ?1, 2? 都有 f ( x ) ?

96.已知 f ( x) ? ?

? a2 ? 1 ? 2 ? ln(1 ? x ) ? ax 2 ? ?

.

(1) a ? 2 时,求 f ? x ? 的极值 (2)当 a ? 0 时,讨论 f ( x ) 的单调性。 (3)证明: (1 ?

1 1 1 * )(1 ? 4 ) ????(1 ? 4 ) ? e ( n ? N , n ≥ 2 ,其中无理数 e ? 2.71828? ) 4 2 3 n 1 ? ln x . x 1 2

97. (12 分)已知函数 f ( x) ?

(1)设 a ? 0 ,若函数在区间 (a, a ? ) 上存在极值,求实数 a 的取值范围;

k2 ? k (2)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围。 x ?1

98. (12 分) 设 f ( x) ? e (ax ? x ? 1),
x 2

(1)当 a ? 0 时,求:函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0 时,求证:当 x1 , x2 ? ?0,1?时,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 99. (12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a 2 ln x , 2

若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (2a ? 6) x 在(0,4)上为单调函数,求 a 的取值范围. 100. (12 分)已知 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 为偶函数,曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) ,

g ( x) ? ( x ? a ) f ( x) . (1)若曲线 y ? g ( x) 存在斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,确定 y ? g ( x) 的单调区间.


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