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高一数学,函数的奇偶性,(教师版)

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函数的奇偶性
一、兴趣导入(Topic-in):
小明数学不好被父母转学到一间教会学校。半年后数学成绩全 A。妈妈问:“是修女教得好? 是教材好?是祷告?...”“都不是,”小明说,“进学校的第一天,我看见一个人被钉死在加号上 面,我就知道...他们是玩真的。”

二、学前测试(Testing):
1、判断下列函数的奇偶性 (1)。 f ( x) ? x ? x
3

(2) 。 f ( x) ? ( x ? 1)

x ?1 x ?1
3

解: (1) 、函数的定义域为 R, f (? x) ? (? x) ? (? x) ? ? x ? x ? ? f ( x)
3

所以 f ( x) 为奇函数

(2) 、函数的定义域为 {x | x ? 1或x ? ?1} ,定义域关于原点不对称,所以 f ( x) 为非奇非偶函数

三、知识讲解(Teaching):
1 函数奇偶性的几个性质: (1)奇偶函数的定义域关于原点对称; (2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立; (3) f (? x) ? f ( x) ? f ( x) 是偶函数, f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 是奇函数; (4) f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( ? x) ? ? f ( x) ? f ( x) ? f ( ? x ) ? 0 ;

f ( x) ? ?1 f (? x)

(5)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称; (6)根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 (7)设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶 偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇.

2 函数奇偶性证明的步骤: (1)考察函数的定义域是否关于“0”对称;
——————————————————————————————————————————————————— 1

(2)计算 f (? x) 的解析式,并考察其与 f ( x) 的解析式的关系 ; (3)下结论 .

四、强化练习(Training)
例 1、 已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 , f (?2) ? 10 求 f(2)。
5 3

评析:判断函数的奇偶性时先要判断的定义域是否关于原点对称,然后用定义来判断。

解 : 设g ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx, 则f ( x) ? g ( x) ? 8, g ( x)是奇函数 2. f ( x) ? g ( x) ? 8,? f (?2) ? g (?2) ? 8 ? 10,? g (?2) ? 2, g (2) ? ? g (?2) ? ?2,? f (2) ? g (2) ? 8 ? ?2 ? 8 ? 6.
评析:挖掘 f(x)隐含条件,构造奇函数 g(x),从整体着手,利用奇函数的性质解决问题. . 例 2:已知函数 y ? f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,求 f (0) 的值. 【解】 ∵ y ? f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) 对任意实数 x 都成立, 把 x ? 0 代入 f (? x) ? ? f ( x) 得

f (0) ? ? f (0) ,

∴ f (0) ? 0 .

例 3. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时 f(x)= ,求 f(x)的解析式

例 4.已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) . 解: (1)显然 f ( x) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中, 令 y ? ?x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,∴ f (0) ? 0 , ∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 是奇函数. (2)由 f (?3) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 及 f ( x) 是奇函数,
得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a .

例 5.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m) ,求实数

m 的取值范围.
——————————————————————————————————————————————————— 2

答案: m ?

1 2

例 6.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) ·f(y) (x ? R,y ? R) ,且 f(0)≠0, 试证 f(x)是偶函数.

证明:令 x=y=0,有 f(0)+f(0)=2f(0) ·f(0) ,又 f(0)≠0,∴可证 f(0)=1.令 x=0, ∴f(y)+f(-y)=2f(0) ·f(y) ? f(-y)=f(y) ,故 f(x)为偶函数.

例 7.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x —1,求 f(x)在 R 上的表达式.

3

2

解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.

f(x)=x3+2x2-1.因 f(x)为奇函数,∴f(0)=0.
当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x) +2(-x) -1=-x +2x -1, ∴f(x)=x -2x +1.
3 2 3 2 3 2

?x 3 ? 因此, f ( x) ? ?0 ?x 3 ?

? 2x 2 ?1 ? 2x 2 ? 1

( x ? 0), ( x ? 0), ( x ? 0).

点评:本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力.

例 8.f(x)是定义在(-∞,-5] ? [5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在[5,+∞)上单调递减,试 判断 f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.
——————————————————————————————————————————————————— 3

解析:任取 x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5. 因 f(x)在[5,+∞]上单调递减,所以 f(-x1)<f(-x2) ? f(x1)<-f(x2) ? f(x1)>

f(x2) ,即单调减函数.
点评:此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性,并及时转化.

例 9.设函数 y=f(x) (x ? R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2 满足 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) , 求证 f(x)是偶函数.

解析:由 x1,x2 ? R 且不为 0 的任意性,令 x1=x2=1 代入可证,

f(1)=2f(1) ,∴f(1)=0.
又令 x1=x2=-1, ∴f[-1×(-1) ]=2f(1)=0, ∴(-1)=0.又令 x1=-1,x2=x, ∴f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x) ,即 f(x)为偶函数. 点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1=x2=1,x1=x2=-1 或 x1=x2 =0 等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.

五、训练辅导(Tutor):
1.下列函数中是偶函数的为 ( D )
4 ———————————————————————————————————————————————————

A.f(x) = x2|x|(x∈(-1,1]) C.f(x) = lg

B.f(x) =

1 x ?x
2

1? x 1? x

?x,x≥0 D.f(x) = ? ?-x,x<0

2.给出下列四个函数:①f(x)=1-x2;②f(x)= -3x+1;③f(x)= 其中既是奇函数又是定义域上的减函数的函数个数是 A.0 3、已知函数 f ( x) ? A. ?1 B.1 B.1 C.2 是奇函数,则实数 a 的值为

x ? x2 2 ;④f(x)= . x ?1 x
( B )

D.3 ( B )

x ?1 ? a 1? x2
C. ?

1 2

D.

1 2

4 、 f ( x ) 是 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 , 方 程 f ( x) ? 0 的 解 集 为 M , 且 M 中 有 有 限 个 元 素 , 则 M ( A.可能是 ? C.中元素个数是奇数 B.中元素个数是偶数 D.中元素个数可以是偶数,也可以是奇数 C )

5、已知 y= f(x)是偶函数,且图像与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的 所有实根之和是( A 4 B 3 C 2 D 0 ( D.f(x)f(-x)≤0

D



6、对于定义域为 R 的偶函数,下列不等式恒成立的是 A.f(x)+f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)=0 C.f(x)f(-x)>0

B



7 、函数 f(x) 的图象关于原点对称,且当 x ≥ 0 时, f(x)=x2-2x ,则当 x ∈ R 时,函数 f(x) 的表达式为 ( ) B.x(|x|-2)
3

A. x(x-2)

C.|x|(x-2)

D.|x| (|x|-2)

8. 给定四个函数 y ? x ? 3 x ; y ?

x2 ? 1 1 ( x ? 0) ; y ? x3 ? 1 ; y ? ;其中是奇函数的个数是(B) x x
(C ) 3个 ( D ) 4个

( A) 1个
9、函数 y=-|x| A 是奇函数

( B ) 2个
( B )

B 是偶函数

C 既是奇函数又是偶函数 D 既不奇函数又不偶函数

10、如果奇函数 f(x)在区间上是增函数且最小值为 5 ,那么 f(x)在区间上是( B ) A、增函数且最小值为-5 C、减函数且最小值为-5 B 增函数且最大值为-5 D 减函数且最大值为-5
5

———————————————————————————————————————————————————

二、填空题 11、已知 f(x)= ax4+bx2+2x-8,且 f(-1)=10,则 f(1)= 14 . 12、若函数 y=(x+1) (x-a)为偶函数,则 a=__________________1 13.函数 f ( x) ?

x?2 ?2 1? x2
2

的奇偶性为________(填奇函数或偶函数) .

14.若 y=(m-1)x +2mx+3 是偶函数,则 m=_________. 15.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ?

x ?1

1

,则 f(x)的解析式为_______.

16. 已知函数 f (x) 为偶函数, 且其图象与 x 轴有四个交点, 则方程 f (x) =0 的所有实根之和为________. 13.答案:奇函数 14.答案:0 解析:因为函数 y=(m-1)x +2mx+3 为偶函数, ∴f(-x)=f(x) ,即(m-1) (-x) +2m(-x)+3=(m—1)x +2mx+3,整理,得 m=0. 15.解析:由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 可得 f ( x) ? g ( x) ? 答案: f ( x ) 16.答案:0
2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? )? 2 , 联立 f ( x) ? g ( x) ? , ∴ f ( x) ? ( . ? x ?1 x ?1 2 x ?1 ? x ?1 x ?1

?

1 x
2

?1

六、反思总结(Thinking):

堂堂清落地训练 (5-10 分钟的测试卷,坚持堂堂清,学习很爽心)
——————————————————————————————————————————————————— 6

1.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax +bx +cx( A.奇函数 B.偶函数
2

2

3

2



C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数 )

2.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则( A. a ?

1 ,b=0 3

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0
2

D.a=3,b=0 )

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -2x,则 f(x)在 R 上的表达式是( A.y=x(x-2)
5 3

B.y =x(|x|-1)

C.y =|x|(x-2) )

D.y=x(|x|-2)

4.已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( A.-26 5.函数 f ( x) ? A.偶函数 B.-18 C.-10 ) C.非奇非偶函数 D.10

? x ?1 是( 1? x2 ? x ?1
B.奇函数

1? x2

D.既是奇函数又是偶函数

6.若 ? ( x) ,g(x)都是奇函数, f ( x) ? a? ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5, 则 f(x)在(-∞,0)上有( A.最小值-5
2

) C.最小值-1 D.最大值-3

B.最大值-5

1. 解析:f(x)=ax +bx+c 为偶函数, ? ( x) ? x 为奇函数, ∴g(x)=ax +bx +cx=f(x) · ? ( x) 满足奇函数的条件.
3 2

答案:A

2.解析:由 f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数,得 b=0. 又定义域为[a-1,2a] ,∴a-1=2a,∴ a ?
2

2

1 .故选 A. 3
2

3.解析:由 x≥0 时,f(x)=x -2x,f(x)为奇函数, ∴当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(x +2x)=-x -2x=x(-x-2) . ∴ f ( x) ? ? 答案:D 4.解析:f(x)+8=x +ax +bx 为奇函数,
5 3 2

? x( x ? 2) ? x(? x ? 2)

( x ? 0), 即 f(x)=x(|x|-2) ( x ? 0),

f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)=-26.

答案:A

5.解析:此题直接证明较烦,可用等价形式 f(-x)+f(x)=0.

答案:B

6.解析: ? ( x) 、g(x)为奇函数,∴ f ( x) ? 2 ? a? ( x) ? bg( x) 为奇函数.
——————————————————————————————————————————————————— 7

又 f(x)在(0,+∞)上有最大值 5,

∴f(x)-2 有最大值 3. 答案:C

∴f(x)-2 在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1.

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8


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