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利用向量求空间角和距离课件_图文

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利用向量求空间角和距离 【教材基础回顾】 1.异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则: a与b的夹角为β 范围 求法 (0,π) a ?b cos β= a b l1与l2所成的角θ ? (0, ] 2 __________ a ?b cos θ=|cos β|=_____ a b 2.直线和平面所成角的求法: 如图所示,设直线l的方向向量为e, 平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ, e?n e n 两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=_____. 3.二面角的求法 (1)如图①,AB,CD是二面角α-l -β两个半平面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小为θ=_______. 〈AB , CD〉 (2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l -β的两个半平 面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ= cos<n1,n2>或-cos<n1,n2>. 【金榜状元笔记】 1.利用空间向量如何求线段长度 利用 AB ? AB 可以求空间中有向线段的长度. 2 2 2.点到平面的距离 ①“作一证一求”法:作出点P到平面的垂线后求出垂 线段的长;②转移法:如果平面α的斜线上两点A,B到斜 足C的距离AC,BC的比为m∶n,则点A,B到平面α的距离 比也为m∶n; ③体积法:通常借助三棱锥,通过转换底面与顶点求点 到平面的距离. 【教材母题变式】 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直 线DE与AC夹角的余弦值为 10 A. ? 10 1 B. ? 20 1 C. 20 ( ) 10 D. 10 【解析】选D.如图建立空间直角坐标系D-xyz,设 1 DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E (0, , 1) ,则 AC =(-1,1,0), 2 1 DE ? (0, , 1), 设异面直线DE与AC所成的角为θ,则 2 cosθ=|cos< AC , DE >|= 10 . 10 2.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底 面边长为2,侧棱长为2 2 ,则AC1与侧面ABB1A1所成的角 为________. 【解析】以C为原点建立坐标系,得下列坐标:A(2,0,0), C1(0,0,2 2 ).点C1在侧面ABB1A1内的射影为点 C2( 3 , 3 ,2 2 ). 2 2 所以 AC1=(-2,0,2 2 ), 1 3 AC2 ? (? , , 2 2 ),设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为 2 2 ? AC ? AC 1 ? 0 ? 8 3 1 2 θ,则cos θ ? ? ? . 又θ∈ [0, ] ,所 2 AC1 AC2 2 3 ? 3 2 ? 以θ= . 6 答案: ? 6 3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=DC,则二面角C-PB-D的大小为________. 【解析】以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐 标系. 设PD=DC=1,则 D(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0), B(1,1,0). 所以 DP =(0,0,1), PC =(0,1,-1), DB =(1,1,0), BC =(-1,0,0), 设平面PBD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), ?z1 ? 0, 由n1·DP =0,n1·DB =0得 ? ? x1 ? y1 ? 0, 令x1=1,得n1=(1,-1,0). 设平面PBC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), ? y2 ? z 2 ? 0, 由n2· PC =0,n2· BC =0得 ? ?? x 2 ? 0, 令y2=1得n2=(0,1,1), 1 设二面角C-PB-D的大小为θ,则cosθ= ? , n1 n 2 2 n1 ? n 2 所以θ=60°. 答案:60° 【母题变式溯源】 题号 知识点 源自教材 P112· A组T6 P117· A组T4 P109·例4 1 2 3 向量法求异面直线所成角 向量法求线面角 用空间向量求解与二面角有 关的问题 考向一 向量法求异面直线所成角 【典例1】直三棱柱ABC-A1B1C1中, ∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的 中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为 世纪金 榜导学号12560244( 1 A. 10 2 B. 5 30 C. 10 ) 2 D. 2 【解析】选C.以C点为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴, 直线CC1为z轴建立空间直角坐标系,如图,设CA=1,则 1 1 B(0,1,0),M ( , ,1) ,A(1,0,0), 2 2 1 1 1 1 故 N( ,0,1) BM ? ( , ? ,1), AN ? ( ? ,0,1),所以 2 2 2 2 30 cos〈BM, AN〉 ? ? ? . 10 6 5 BM AN 2 2 BM AN 3 4 【巧思妙解】 不妨设三棱柱的侧棱为2,将三棱柱补成如图所示的正 方体,取BC的中点G,连接NG,MN,由N为中点,则NG∥BM, 所以∠ANG为BM与AN所成的角,可知AN=AG= 5 ,NG= 6 , AN 2 ? NG 2 ? AG 2 则cos∠ANG= 2AN NG 5? ? ? 6? ?? 5? ? ? 2 2 2 2 5 6 30 ? . 10 【一题多变】将题目中的条件“BC=CA=CC1”改为 “BC=CA=2CC1”,其余条件不变.则BM与AN所成的角 为 ( ? A. 2 ? C. 3 ) ? B. 4 ? D. 6 【解析】选A.建系方式和原题相同,设BC=CA=2CC1=2, 则A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,1),N(

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