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2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷,解析版)

时间:2014-07-14

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)若复数 z 满足 z (2 ? i) ? 11 ? 7i(i 为虚数单位),则 z 为 (A)3+5i 【解析】 z ? (B)3-5i (C)-3+5i (D)-3-5i

11? 7i (11? 7i)(2 ? i) 15 ? 25i ? ? ? 3 ? 5i .故选 A. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5

【答案】A (2)已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2,3} , B ? {2, 4} ,则 (CU A) ? B为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}

【解析】 CU A ? {0,4} ,所以 (CU A) ? B ? {0,2, 4} ,选 C. 【答案】C (3)函数 f ( x) ? (A) [?2, 0)
1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)

(0, 2]

(B) (?1, 0)

(0, 2]

(C) [?2, 2]

(D) (?1, 2]

?x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ? ? 【解析】要使函数有意义则有 ?ln(x ? 1) ? 0 ,即 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 2 , ?? 2 ? x ? 2 ?4 ? x 2 ? 0 ? ?
选 B. 【答案】B (4)在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同 的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差

【解析】设 A 样本的数据为变量为 X ,B 样本的数据为变量为 Y ,则满足 Y ? X ? 2 ,根据 方差公式可得 DY ? D( X ? 2) ? DX ,所以方差相同,标准差也相同,选 D. 【答案】D (5)设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 对称.则下列判断正确的是

? ? ;命题 q:函数 y ? cos x 的图象关于直线 x ? 2 2

-1-

(A)p 为真

(B) ?q 为假

(C) p ? q 为假

(D) p ? q 为真

【解析】函数 y ? sin 2 x 的周期为

2? ? ? ,所以命题 p 为假;函数 y ? cos x 的对称轴为 2

x ? k? , k ? Z ,所以命题 q 为假,所以 p ? q 为假,选 C.
【答案】C
? x ? 2 y ? 2, ? (6)设变量 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4, 则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是 ?4 x ? y ? ?1, ?

3 (A) [? ,6] 2

3 (B) [? , ?1] 2

(C) [ ?1, 6]

3 (D) [?6, ] 2

【解析】做出不等式所表示的区域如图

,由 z ? 3x ? y 得

y ? 3x ? z ,平移直线 y ? 3x ,由图象可知当直线经过点 E (2,0) 时,直线 y ? 3x ? z 的截距
最小,此时 z 最大为 z ? 3x ? y ? 6 ,当直线经过 C 点时,直线截距最大,此时 z 最小,由

1 ? ?4 x ? y ? ?1 3 3 ?x ? ,解得 ? 2 ,此时 z ? 3x ? y ? ? 3 ? ? ,所以 z ? 3x ? y 的取值范围是 ? 2 2 ?2 x ? y ? 4 ? ?y ? 3
3 [ ? ,6] ,选 A. 2
【答案】A (7)执行右面的程序框图,如果输入 a =4,那么输出的 n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

0 【 解 析 】 当 a ? 4 时 , 第 一 次 P ? 4 ? 1, Q ? 3, n ? 1 , 第 二 次

P ? 41 ? 4, Q ? 7, n ? 2 , 第 三 次 P ? 4 2 ? 16, Q ? 15, n ? 3 , 此 时
P ? Q 不满足,输出 n ? 3 ,选 B.
【答案】B

-2-

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 (8)函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

(A) 2 ? 3

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

【 解 析 】 因 为 0? x?9 , 所 以 0?

?
6

x?

9? ? ? ? 9? ? ? , ? ? x? ? , 即 6 3 6 3 6 3

?

?
3

?

?
6

x? ?

?
3

?

7? ? ? ? ? , 所 以 当 x ? ? ? 时 , 最 小 值 为 2 sin( ? ) ? ? 3 , 当 6 6 3 3 3

?
6

x?

?
3

?
2

时,最大值为 2 sin

?
2

? 2 ,所以最大值与最小值之和为 2 ? 3 ,选 A.

【答案】A (9)圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离

【解析】两圆的圆心分别为 (?2,0) , (2,1) ,半径分别为 r ? 2 , R ? 3 两圆的圆心距离为

(?2 ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 ? 17 ,则 R ? r ? 17 ? R ? r ,所以两圆相交,选 B.
【答案】B (10)函数 y ?

cos6 x 的图象大致为 2x ? 2? x

【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A, 令 y ? 0 得 cos 6 x ? 0 ,所以

6x ?
(

?
2

? k? , x ?

?
12

k ? ? ,函数零点有无穷多个,排除 C, 且 y 轴右侧第一个零点为 12 6

?

,0) ,又函数 y ? 2 x ? 2 ? x 为增函数,当 0 ? x ?

?

12

时, y ? 2 ? 2
x

?x

? 0 , cos 6 x ? 0 ,

所以函数 y ? 【答案】D

cos 6 x ? 0 ,排除 B,选 D. 2 x ? 2?x
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦 a 2 b2

(11)已知双曲线 C1 :

点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 (A) x 2 ?
8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x 2 ? 8 y

(D) x2 ? 16 y

-3-

【 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 (0,

b p b ) ,双曲线的渐近线为 y ? ? x ,不妨取 y ? x ,即 a 2 a

a?
bx ? ay ? 0 ,焦点到渐近线的距离为
2

p 2
2

a ?b

? 2 ,即 ap ? 4 a 2 ? b 2 ? 4c ,所以

c p c c p ? 双曲线的离心率为 ? 2 ,所以 ? ? 2 ,所以 p ? 8 ,所以抛物线方程为 a 4 a a 4

x 2 ? 16y ,选 D.
【答案】D (12)设函数 f ( x) ?

1 ,g ( x) ? ? x2 ? bx .若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且仅有两个不同 x

的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是 (A) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (C) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (B) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (D) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

【解析】方法一:在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,要想满足条件,则有如图

,做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为 (? x1,? y1 ) ,由图象知

? x1 ? x2 ,? y1 ? y2 , 即 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 ,故答案选 B.
方法二:设 F ( x) ? x3 ? bx2 ? 1 ,则方程 F ( x) ? 0 与 f ( x) ? g ( x) 同解,故其有且仅有两个不同零

2 2 点 x1 , x2 . 由 F ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? b . 这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b) ? 0 ,因为 3 3 2 3 2 F (0) ? 1 , 故 必 有 F ( b) ? 0 由 此 得 b ? 3 2 . 不 妨 设 x1 ? x2 , 则 x2 ? b ? 3 2 . 所 以 3 2 3
F ( x) ? ( x ? 1 x ) ( x?3
y1 ? y2 ?
2 ,比较系数得 2 ) ? x1 3 4 ? 1 ,故 x1 ? ?

13 1 2 . x1 ? x2 ? 3 2 ? 0 ,由此知 2 2

1 1 x1 ? x2 ? ? ? 0 ,故答案为 B. x1 x2 x1 x2

【答案】B

-4-

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, E 为线段 B1C 上的一点, 则三棱锥 A ? DED1 的 体积为_____.

1 1 1 【解析】以△ ADD1 为底面,则易知三棱锥的高为 1,故 V ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? . 3 2 6
【答案】

1 6

(14)右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图, 其中平均气温的范围是[ 20.5 , 26.5 ] ,样本数据的分组为 [20.5, 21.5) , [21.5, 22.5) ,
[22.5, 23.5) , [23.5, 24.5) , [24.5, 25.5) , [25.5, 26.5] .已知样本中平均气温低于 22.5℃的城

市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为____.

【解析】最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为 11÷0.22=50, 最右面矩形面积为 0.18×1=0.18,50×0.18=9. 【答案】9

(15) 若 函 数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在 [ - 1 , 2 ] 上 的 最 大 值 为 4 , 最 小 值 为 m , 且 函 数

g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____.
【解析】当 a ? 1 时,有 a2 ? 4, a?1 ? m ,此时 a ? 2, m ?
1 ,此时 g ( x) ? ? x 为减函数,不合题 2

1 1 意.若 0 ? a ? 1 ,则 a?1 ? 4, a2 ? m ,故 a ? , m ? ,检验知符合题意. 4 16

【答案】

1 4

(16)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点

-5-

P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为

____. 【 解 析 】 因 为 圆 心 移 动 的 距 离 为 2 , 所 以 劣 弧 PA ? 2 , 即 圆 心 角

?PCA ? 2

,

,



?PCA ? 2 ?

?
2

,





PB ? s

2 i ?n)? ( ?c 2

?

2 o ,s CB ? cos( 2 ? ) ? sin 2 , 所 以 x p ? 2 ? CB ? 2 ? sin 2 , 2

?

y p ? 1 ? PB ? 1 ? cos2 ,所以 OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos2) .
另解:根据题意可知滚动制圆心为( 2,1 )时的圆的参数方程为 ?

? x ? 2 ? cos? ,且 ? y ? 1 ? sin ?

3? ? x ? 2 ? cos( ? 2) ? 2 ? sin 2 ? 3? 2 ?PCD ? 2, ? ? ?2 , 则 点 P 的 坐 标 为 ? , 即 3? 2 ? y ? 1 ? sin( ? 2) ? 1 ? cos 2 2 ?

OP ? (2 ? s i 2 n,1 ? c o 2 s ).
【答案】 (2 ? sin 2,1 ? cos2) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 【答案】(17)(I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

-6-

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

(18)(本小题满分 12 分) 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片 颜色不同且标号之和小于 4 的概率. 【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红
1

蓝 1,红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜
3 . 10

色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况,故所求的概率为 P ?

(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外, 多出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种情况,其中颜 色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P ?
8 . 15

(19) (本小题满分 12 分) 如 图, 几何体 E ? ABCD 是 四 棱锥, △ ABD 为 正三角 形,
CB ? CD, EC ? BD .

(Ⅰ)求证: BE ? DE ;

-7-

(Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC . 【答案】(19)(I)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知 ,
CO ? BD ,

又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE ? DE . (II)取 AB 中点 N,连接 MN , DN , ∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB . 由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC ? AB , 所以 ND∥BC, 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC.

(20) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和
Sm .

?5a ? 10d ? 105, 【答案】 (I)由已知得: ? 1 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 , 即 bm ? 72m?1 . ∵
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7

∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, ∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

-8-

(21) (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 M :
3 x2 y 2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

ABCD 的面积为 8.
(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m( m ? R ) 与椭圆 M 有两个不同的交点
P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S , T .求
| PQ | 的最 | ST |

大值及取得最大值时 m 的值. 【答案】(21)(I) e ?
c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ……① a 2 a2 4

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2b ? 8 ……② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , y ? x ? m , ?

8 4m2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5
由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 ? 5 ?
当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,

2

| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , | ST | 5 (3 ? m)2 5 t t
| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. | ST | t 4 3 3 5

②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 ,

| PQ | 5 2 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

-9-

由此知,当 m ? 0 时,

| PQ | 2 取得最大值 5. | ST | 5

| PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

(22) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 ex

(1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

- 10 -

1 ? ln x ? k 【答案】(I) f ?( x) ? x , ex

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 . e

1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex

设 k ( x) ?

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x

由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x ) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x ) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) .
g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e ?2 , (III)由(II)可知, 当 x ? 1 时, 故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在 0 ? x ? 1

时成立. 当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?
1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 .

- 11 -


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