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高考数学(文)二轮复习简易通配套课件(江苏专用)常考问题2 函数与方程及函数的应用_图文

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常考问题2 函数与方程及函数的应用 [真题感悟] [考题分析] 1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数 f(x) ,我们把使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 f(x) 的零 点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数 y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (3)零点存在性定理 如果函数 y = f(x) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲 线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0, 这个c也就是方程f(x)=0的 根. 注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解. 2.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题 建模 求解 反馈 ? ? ? ?文字语言? ?数学语言? ?数学应用? ?检验作答? 与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等 实际问题, 也可涉及角度、 面积、 体积、 造价的最优化问题. 解 答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式, 然后应用函 数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答. 3.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参 数的范围的问题时,数形结合是基本的解题方法,即把 方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉的函 数的解析式,然后构造两个函数f(x),g(x),即把方程写 成f(x)=g(x)的形式,这时方程根的个数就是两个函数图 象交点的个数,可以根据图象的变化趋势找到方程中字 母参数所满足的各种关系. 热点与突破 热点一 函数与方程问题 【例 1】 (2013· 苏锡常镇调研)已知直线 y=mx 与函数 f(x)= 1?x ? ? ? ,x≤0, ?2-? 3 ? ? ? ?1x2+1,x>0 ?2 的图象恰好有 3 个不同的公共点, 则实数 m 的取值范围是________. 解析 作出函数 1?x ? ? ? ,x≤0, ?2-? ?3? f(x)=? ?1x2+1,x>0 ?2 的图象, 如图所示.直线 y=mx 的图象是绕坐标原点 旋转的动直线.当斜率 m≤0 时,直线 y=mx 与函数 f(x)的图象只有一个公共点; 当 m>0 时, 直线 y=mx 始终与函数 ?1? y=2-?3?x(x≤0)的图象有一个 ? ? 公共点, 故要使直线 y=mx 与函数 f(x)的图象有三个公共点, 必须 1 2 有直线 y=mx 与函数 y=2x +1(x>0)的图象有两个公共点, 即方程 1 2 mx= x +1,在 x>0 时有两个 2 不相等的实数根,即方程 x2-2mx+2=0 的判别式 Δ=4m2-4×2>0,且 m>0,解得 m> 围是?? 答案 ? 2.故所求实数 m 的取值范 2,+∞???. ( 2,+∞) [规律方法] 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范 围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关 于参数的方程或不等式求解. 2 ? ? ,x≥2, 【训练 1】 已知函数 f(x)=?x 若关于 x 的方程 f(x) 3 ? ??x-1? ,x<2. =k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个 不同的交点. 作出函数 f(x)的图象,如图,由图象可知,当 0<k<1 时,函数 f(x)与 y=k 的图象有两个不同的交点, 所以所求实数 k 的取值 范围是(0,1). 答案 (0,1) 热点二 函数的实际应用问题 【例 2】 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万 元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内生产该 品牌服装 x 千件并全部销售完, 每千件的销售收入为 R(x)万元, 1 2 ? ?10.8-30x ,0<x≤10, 且 R(x)=? ?108-1 000 ,x>10. 3x2 ? x (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获 得的年利润最大. (注:年利润=年销售收入一年总成本) 解 (1)当 0<x≤10 时, x3 W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-30-10; 当 x>10 时, 1 000 W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x, 3x 3 x ? ?8.1x-30-10,0<x≤10, ∴W=? ?98-1 000-2.7x,x>10. 3x ? (2)①当 0<x≤10 时, x2 由 W′=8.1-10=0, 得 x=9. 当 x∈(0,9)时,W′>0; 当 x∈(9,10]时,W′<0, ∴当 x=9 时, W 取得最大值, 1 即 Wmax=8.1×9-30×93-10=38.6. ②当 x>10 时, ?1 000 ? W=98-? 3x +2.7x?≤98-2 ? ? 1 000 ×2.7x=38, 3x 1 000 当且仅当 3x =2.7x, 100 即 x= 9 时, W 取得最大值 38. 综合①②知:当 x=9 时, W 取得最大值 38.6, 故当年产量为 9 千件时, 该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大. [规律方法] (1)关于解决函数的实际应用问题,首先要在阅读 上下功夫,一般情况下,应用题文字叙述比较长,要耐心、 细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式, 然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法 及导数法. 【训练 2】 (2012· 江苏卷)如图

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