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2005年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含解答)

时间:2012-09-23


橙子奥数工作室

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2005 年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题
一、选择题(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1、在△ ABC 中,若 a 2 + b 2 = 6c 2 ,则 ( cot A + cot B ) tan C 的值等于

1 2 1 2 (B) (C) (D) 5 5 7 7 2 、 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 0 的 函 数 , 若 对 于 任 意 的 a 、 b ∈ R 都 满 足
(A)

f ( ab ) = af ( b ) + bf ( a ) ,则函数 f ( x )
(A)是奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (B)是偶函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数

3、设由正整数有序数对( x , y )组成如下数列: (1,1)(1,2)(2,1)(1,3) , , , , (2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1) , , , , , ,…,按 x + y 的值由小到大的顺序排 ( 列,当 x + y 的值相等时,按 x 的值由小到大的顺序排列,则有序数对( m , n ) m , n 均 为正整数)在该数列中的位置是 (A)第 2m + n ? 1 位 (C)第 (B)第 2m + n ? 2 位 (D)第

(m + n ? 1)(m + n) +m位 2

(m + n ? 2)(m + n ? 1) +m位 2

4、将 A、B、C、D、E 五种不同的文件放入一排编号依次为 1,2,3,4,5,6,7 的七个 抽屉内,每个抽屉至多放一种文件.若文件 A、B 必须放入相邻的抽屉内,文件 C、D 也必 须放入相邻的抽屉内,则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 (A)60 种 (B)120 种 (C)240 种 (D)480 种

5、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、F 分别是AB、AA1 的中点,则平面 CEB1 与平面

D1 FB1 所成二面角的平面角的正弦值为
2 3 (C) (D)1 2 2 x+ y x , 2 + 2 y = 2t ,其中 x, y, t , a 均 6、设集合 M = { a a = t
(A)

D1 A1 B1

C1

1 2

(B)

F A

D E B

C

为整数}, 则集合 M 中所有元素的和等于 (A)1 (B)4 (C)7 (D)8 二、填空题(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 7、已知定点 A(4, 7) ,若动点 P 在抛物线 y 2 = 4 x 上,且点 P 在 y 轴上的射影为点 M ,则

PA ? PM 的最大值是_____.

8 、 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (?∞, 3] 上 的 减 函 数 , 且 对 于 x ∈ R , f a 2 ? sin x ≤

(

)

f ( a + 1 + cos 2 x ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是__________.
9、在数列 {an } 中,已知 a1 = 2, an + an +1 = 1 ( n ∈ N*) ,若 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,则

S 2003 ? 2S 2004 + S2005 的值是_____.
10、如图,菱形 ABCD 的边长为 1, ∠ABC = 120 , 若 E 是 BC 延长线上任意一点, AE 交 CD 于点 F , 则向量 BF 与 ED 的夹角的大小等于_____度.

A

D F B C E

11、已知,如图(甲)正方体八个顶点分别赋值为 a, b, c, d , e, f , g , h ,然后将与每个顶点相 邻的正方体的三个顶点所赋值的算术平均值 a, b, c, d , e, f , g , h 记在另一个正方体的相应顶点 处,如图(乙) .

d
a
h

c b
g f

d a
h

c b
g f

e
(甲)

e
(乙)

若 a = 9, b = 8, c = 11, d = 10, e = 13, f = 12, g = 15, h = 14 ,则 a + g 的值为_____.

1 12、已知二次函数 f ( x) 满足 f ( ?1) = 0 ,且 x ≤ f ( x) ≤ ( x 2 + 1) 对一切实数 x 恒成立,那么 2 函数 f ( x) 解析式为 _____.
三、解答题(本题共 3 小题,每小题 20 分,满分 60 分) 13、已知函数 f ( x ) = 1 ?

1 . x

(Ⅰ)是否存在实数 a , b ( a < b) ,使得函数 f ( x) 的定义域和值域都是 [a, b] .若存在, 请求出 a , b 的值,若不存在,请说明理由; ( Ⅱ ) 若 存 在 实 数 a , b ( a < b) , 使 得 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 [ a, b] , 值 域 是

[ma, mb] ( m ≠ 0) ,求实数 m 的取值范围.

14、已知椭圆

x2 y 2 + =1( a > b > 0 ) ,其长轴为 A1 A ,P 是椭圆上不同于的 A1 、 A 的一个 a 2 b2

动点,直线 PA、PA1 分别与同一条一条准线 l 交于 M 、M 1 两点,试证明:以线段 MM 1 为直 径的圆必经过椭圆外的一个定点. 15、若 P 是一个由数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成的 2n 位正整数,并同时满足如下 两个条件: ① 数字 1,2,3,…, n 在 P 中各出现两次; ② 每两个相同的数字 i ( i =1,2,3,…, n )之间恰有 i 个数字. .例如,当 n =3 时, P 可以是 312132. 此时,我们称这样的正整数 P 为“好数” 试确定满足条件的正整数 n 的值;并各写出一个相应的好数 P .

简略参考答案 1、B 7、5 2、A 3、D 4、C 5、C 6、D 11、20 12、

8、 [? 2,

1 ? 10 ] 2

9、3

10、120

1 2 ( x + 1) 4

详细参考解答 一、选择题 1、在△ ABC 中,

cos A cos B sin C cos A sin B + sin A cos B sin C + ) = ? sin A sin B cos C sin A ? sin B cos C 2 sin( A + B ) sin C sin C 1 ? = ? . = sin A ? sin B cos C sin A ? sin B cos C a b c a2 + b2 ? c2 ∵ = = , cos C = ,且已知 a 2 + b 2 = 6c 2 , 2ab sin A sin B sin C c2 2ab 2c 2 2c 2 2 ∴ (cot A + cot B) tan C = ? 2 = 2 = 2 = . 2 2 2 2 2 5 ab a + b ? c a + b ? c 6c ? c 2、∵ f (ab) = af (b) + bf (a) ,∴ f (? x) = f (?1 ? x) = (?1) f ( x) + xf (?1) .

(cot A + cot B) tan C = (

又∵ f ( ?1) = f (?1 ? 1) = (?1) × f (1) + 1× f (?1) = ? f (1) + f (?1) ,得 f (1) =0. 而 f (1) = f ((?1) × (?1)) = (?1) × f (?1) + (?1) × f (?1) = ?2 f (?1) , ∴ f ( ?1) =0.∴ f (? x) = ? f ( x) .又 f ( x) 在 R 上不恒为 0, ∴ f ( x) 是奇函数. 3、按 x + y 的值分群. 当 x + y =2 时,为第一群; 当 x + y =3 时,为第二群; … 当 x + y = m + n 时,为第 m + n -1 群. ∵该数列的前 m + n -2 群共有有序数对

[1 + (m + n ? 2)](m + n ? 2) (m + n ? 2)(m + n ? 1) = . 2 2
而对于有序数对( m , n ) ,当 x = m 时,为第 m + n -1 群中的第 m 位, ∴有序数对( m , n )在该数列的第

(m + n ? 2)(m + n ? 1) + m 位. 2

4、将放入 A、B 两个文件的相邻抽屉记为“AB” ,将放入 C、D 两个文件的相邻抽屉记为 “CD” ,将放入文件 E 的抽屉记为“E” .于是, “AB”“CD”“E”及两个空抽屉可视为五 , ,
5 2 个元素,则这五个元素的全排列为 A5 ,由于文件 A、B 及文件 C、D 的排列数均为 A2 ,而

两个空抽屉又是两个相同的元素, 故满足条件的所有不同的方法的种数是 5、如图,延长 CE 、 D1 F 、 DA , 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,由 E、F 分别是AB、AA1 的中点,
5 2 2 A5 ? A2 ? A2 =240(种) . 2

可知 CE 、 D1 F 、 DA 三线交于一点 G .连结 B1G . 设正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, 根据平面几何的知识, 可得 B1C = 2, B1G = 3, CG = 5, F 满足 B1C + B1G = CG .
2 2 2

D1 A1 B1

C1

D A B

C

∴ B1C ⊥ B1G . 同理, B1 D1 ⊥ B1G .

E

G

∴ ∠CB1 D1 为平面 CEB1 与平面 D1 FB1 所成二面角 C ? B1G ? D1 的平面角. 连结 CD1 ,在△ B1CD1 中,∵ B1C = B1 D1 = CD1 = 2 ,∴ ∠CB1 D1 = 60 °. ∴ sin ∠CB1 D1 =

3 . 2

6、不妨设 x ≤ y ,有 2t = 2 x + 2 y ≤ 2 y + 2 y = 2 y+1 .∴ t ≤ y +1. 由 2 x > 0 ,得 2t = 2 x + 2 y > 2 y .有 t > y . ∴ y < t ≤ y +1. 又已知 x 、 y 、 t 均为整数, ∴ t = y +1.有 2 y +1 = 2 x + 2 y ,即 2 x = 2 y .∴ x = y = t -1. 于是, a =

x+ y 2 = 2 ? .这里 a, t ∈ Z ,可得 t =±1,±2. t t

∴ a =0, 1, 3, 4. ∴集合 M 中所有元素的和为 0 + 1 + 3 + 4 = 8 . 二、解答题 7、连结 PM ,并延长交抛物线 y 2 = 4 x 的准线于点 N , 又根据已知,抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F (1,0) , ∴ PM = PN ? MN = PF ? 1 . ∴ PA ? PM = PA ? ( PF ? 1 )=( PA ? PF ) + 1 ≤ AF + 1 =4+1=5. 8、由已知,函数 f ( x) 是定义在 (?∞, 3] 上的减函数,得

a + 1 + cos 2 x ≤ a 2 ? sin x ≤3 对 x ∈ R 恒成立.

?a 2 ≤ 3 + sin x, ? 即? 2 对 x ∈ R 恒成立. 2 ?a ? a ≥ 1 + cos x + sin x ?
若 a 2 ≤ 3 + sin x 对 x ∈ R 恒成立, 有 a 2 ≤ (3 + sin x) min = 2 ,解得 ? 2 ≤ a ≤ 2 ;

1 9 若 a 2 ? a ≥ 1 + cos 2 x + sin x = 2 + sin x ? sin 2 x = ?(sin x ? ) 2 + 对 x ∈ R 恒成立, 2 4 1 ? 10 1 + 10 1 9 9 或a ≥ . 有 a 2 ? a ≥ [?(sin x ? ) 2 + ]max = ,解得 a ≤ 2 2 2 4 4 1 ? 10 ∴实数 a 的取值范围是 [? 2, ]. 2 9、根据题意,
当 n 为偶数时,有 a1 + a2 = 1 , a3 + a4 = 1 ,…, an ?1 + an = 1 ,共 ∴ Sn =

n 个, 2

n .可得 S 2004 = 1002 . 2 n ?1 个, 2

当 n 为奇数时,有 a2 + a3 = 1 , a3 + a4 = 1 ,…, an ?1 + an = 1 ,共 ∴ S n = a1 + a2 + a3 +

+ an ?1 + an = 2+

n ?1 n + 3 = . 2 2

可得 S 2003 = 1003 , S 2005 = 1004 . ∴ S 2003 ? 2S 2004 + S2005 =1003-2×1002+1004 = 3. 10、如图,建立平面直角坐标系.则 y A D F B C E x

1 3 1 3 A(? , ) , B (0,0) , C (1,0) , D( , ) . 2 2 2 2 设 E (a,0) ( a > 1 ) ,有
直线 CD 的方程为 y = ? 3( x ? 1) , 直线 AE 的方程为 y = ? 两方程联立, 可得直线 CD 与直线 AE 的交点 F (

3 ( x ? a) , 2a + 1

a + 1 3(a ? 1) , ). 2a 2a a + 1 3(a ? 1) 1 ? 2a 3 于是, BF = ( , ) , ED = ( , ). 2a 2a 2 2 BF ? ED = ? a2 ? a + 1 a2 ? a + 1 , BF = , ED = a 2 ? a + 1 , 2a a

设 BF 与 ED 的夹角为 θ ,则 cos θ = 11、根据题意,可得

1 = ? .即 θ = 120 . 2 BF ? ED

BF ? ED

b+d +e a+c+ f b+d +g a+c+h ,b = ,c = ,d = , 3 3 3 3 a+ f +h b+e+ g c+ f +h d +e+ g e= ,f = ,g= ,h= , 3 3 3 3 a=
∴ a =( b + d + e )-2 g , g =( c + f + h )-2 a . ∴ a + g =( b + c + d + e + f + h )-2( a + g ) . ∵ a = 9, b = 8, c = 11, d = 10, e = 13, f = 12, g = 15, h = 14 , ∴ a + g =20. 12、设 f ( x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 ) (

1 由已知, x ≤ f ( x) ≤ ( x 2 + 1) 对一切实数 x 恒成立, 2 当 x =1 时,有 1≤ f (1) ≤1.∴ f (1) =1.即 a + b + c =1.
又 f ( ?1) = 0 ,即 a ? b + c =0. ∴由①、②,得 a + c = b =

① ②

1 . 2

∵ f ( x) ≥ x 即 ax 2 + (b ? 1) x + c ≥0 对于一切实数 x 恒成立,

? a > 0, 1 1 代入 b = ,得 ac ≥ . 必须 ? 2 2 16 ?(b ? 1) ? 4ac ≤ 0.
又c =



1 1 1 1 1 ? a ,有 a ( ? a ) ≥ .即 (a ? ) 2 ≤0.得 a = . 2 2 16 4 4 1 1 1 1 ∴此时, f ( x) = x 2 + x + = ( x + 1) 2 . 4 2 4 4 1 2 1 1 同理,若 f ( x) ≤ ( x + 1) 即 (a ? ) x 2 + bx + (c ? ) ≤0 对于一切实数 x 恒成立, 2 2 2 1 ? ? a ? 2 < 0, 1 1 1 ? 必须 ? 代入 b = ,得 ac ≥ .得 a = . 2 16 4 ?b 2 ? 4(a ? 1 )(c ? 1 ) ≤ 0. ? ? 2 2 1 综上,函数 f ( x) 解析式为 ( x + 1) 2 . 4
13、 (Ⅰ)不存在实数 a , b ( a < b) 满足条件. 事实上,若存在实数 a , b ( a < b) ,使得函数 f ( x) 的定义域和值域都是 [a, b] ,则有

? 1 ?1 ? x , x ≥ 1, ? x ≥ a > 0 .于是 f ( x) = ? ? 1 ? 1,0 < x < 1. ?x ?
( 1 ) ① 当 a、b ∈ 0, 时, f ( x) =
1 ? 1 在 0, 上为减函数,所以 ( 1 ) x

? f ( a ) = b, ? ? f (b) = a,

?1 ? a ? 1 = b, ? 即? ? 1 ? 1 = a, ?b ?

由此推得 a = b 与已知矛盾,故此时不存在实数 a , b 满足条件; …………5 分 ② 当 a、b ∈ [1, ∞) + 时, f ( x) = 1 ?

1 在 [1, ∞) + 上为增函数,所以 x

? f ( a ) = a, ? ? f (b) = b,

? 1 ?1 ? a = a, ? 即? ?1 ? 1 = b, ? b ?

于是 a、b 是方程 x 2 ? x + 1 = 0 的根,

而此方程无实根,故此时不存在实数 a , b 满足条件. ③ 当 a ∈ (0,1), b ∈ [1 + ∞) 时,显然 1 ∈ [a, b] ,而 f (1) = 0, 故 0 ∈ [a, b] ,矛盾, 故此时不存在实数 a , b 满足条件. 综上可知,不存在实数 a , b ( a < b) 满足条件. (Ⅱ)若存在实数 a , b ( a < b) ,使得 函数 f ( x) 的定义域是 [ a, b] ,值域是 [ma, mb] ( m ≠ 0) ,易得 m > 0, a > 0 . 仿照(Ⅰ)的解答可知, ……………………………10 分

( 1 ) 当 a、b ∈ 0, 或 a ∈ (0,1), b ∈ [1 + ∞) 时,满足条件的 a , b 不存在.
故只有当 a、b ∈ [1, ∞) + 时, f ( x) = 1 ?

1 在 [1, ∞) + 上为增函数, x

? f ( a) = ma ? ? f (b) = mb

? 1 ?1 ? a = ma, ? 即? ?1 ? 1 = mb, ? b ?

于是 a、b 是方程 mx 2 ? x + 1 = 0 的两个大于 1 的实数根,

?m > 0, ?Δ = 1 ? 4m > 0, ? 1 ? 只须 ?1 ? 4m > 0, 解得 0 < m < . 所以 ? 1 ± 1 ? 4m 4 >1 ? ?x = 2m ? 1 ? 1 ? 4m > 2m. ?

故 m 的取值范围是 0 < m <

1 . 4

……………………………20 分

14、由已知,可设 A1 (? a,0), A(a,0) ,一条准线 l 的方程为 x = 椭圆上动点 P 的坐标为 ( x0 , y0 )且y0 ≠ 0,则 直线 PA 的方程为 y =

a2 . c

y0 ( x ? a) , x0 ? a

y0 ? ? y = x ? a ( x ? a), ? 0 解方程组 ? 2 ?x = a , ? c ?
又直线 PA1 的方程为 y =

得 M(

a 2 a (a ? c) y0 , ). c c( x0 ? a )

……………5 分

y0 ( x + a) , x0 + a

y0 ? ? y = x + a ( x + a), ? 0 解方程组 ? 2 ?x = a , ? c ?

得 M1 (

a 2 a(a + c) y0 , ). c c( x0 + a) a2 , c

设线段 MM 1 的中点为 Q( x1 , y1 ) ,则 x1 =

y1 =

1 ? a (a ? c) y0 a(a + c) y0 ? ay0 [(a ? c)( x0 + a ) + (a + c)( x0 ? a)] + ? ?= 2 2 ? c( x0 ? a ) c( x0 + a) ? 2c( x0 ? a 2 )

=

a 2 y0 ( x0 ? c) a 2 y0 ( x0 ? c) b 2 ( x0 ? c) = = . 2 2 a 2 y0 c( x0 ? a 2 ) ?cy0 c(? 2 ) b

……………10 分

MM 1 =

a (a + c) y0 a (a ? c) y0 ay [(a + c)( x0 ? a) ? (a ? c)( x0 + a) ? = 0 2 c( x0 + a ) c( x0 ? a ) c( x0 ? a 2 )

=

2ay0 (cx0 ? a 2 ) 2ay0 (cx0 ? a 2 ) 2b 2 (cx0 ? a 2 ) . = = 2 2 a 2 y0 c( x0 ? a 2 ) acy0 c( ? 2 ) b

故以线段 MM 1 为直径的圆的方程为

? b 2 (c ? x0 ) ? ? b 2 (cx0 ? a 2 ) ? a2 ? ? x? ? +? y? ? =? ? . ? c ? ? cy0 acy0 ? ? ? ?
令 y = 0 ,得

2

2

2

……………15 分

? b 2 (c ? x0 ) ? ? b 2 (cx0 ? a 2 ) ? ? a2 ? b4 2 2 2 2 x ? ? = ?? ? +? ? = 2 2 2 [(cx0 ? a ) ? a (c ? x0 ) ] ? c ? cy0 acy0 a c y0 ? ? ? ? ? 2 2 4 4 a y b b = 2 2 2 ? b2 ? 2 0 = 2 . a c y0 b c
所以 x =

2

2

2

a 2 b2 a2 + b2 ± ,即 x = c ,或 x = . c c c

? a 2 + b2 ? 可见,以线段 MM 1 为直径的圆必经过椭圆外的一个定点 ? ,0 ? .………20 分 ? c ?
当 l 为左准线 x = ?

a2 时,也有相应的结论. c 15、由好数的定义,可知 n ≤ 9 .
对于好数 P 中的数字由左到右的顺序考虑, 如果数字 i ( i =1,2,3,…, n )第一次出现的位置记作 ai , 那么,根据题意,数字 i ( i =1,2,3,…, n )第二次出现的位置应该是 ai + (i + 1) . 于是,
n

∑ a + ∑ [a
i =1 i i =1

n

n

i

+ (i + 1)] =

∑k .
k =1

2n

……………………5 分

记 S = ∑ ai ,则 S + S +
i =1

n[2 + (n + 1)] 2n(1 + 2n) n(3n ? 1) = .即 S = . 2 2 4

∵ S 是正整数,可得 n(3n ? 1) 能被 4 整除, 又 n 为正整数, ∴ n =4 或 7 或 8. 当 n =4 时,好数 P 可以是 41312432; 当 n =7 时,好数 P 可以是 71316435724625; 当 n =8 时,好数 P 可以是 8131573468524726. ……………………20 分 ……………………10 分


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