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2013-2014(1)高等代数1期末考试试卷(A卷)

时间:2015-01-03


2013 学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷)
得分 一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1. 下列关于多项式理论的说法中正确的是(


).

A. 零多项式整除任意多项式 C. 零多项式只能整除零多项式

B. 零多项式不整除零多项式 D. 零多项式的次数为零 ).

2. 设有 n 维向量组(I) :?1 , ? 2 ,?, ? r 和(II) :?1 , ? 2 ,?,? m (m ? r ) ,则( A. 向量组(I)线性无关时,向量组(II)线性无关


B. 向量组(I)线性无关时,向量组(II)线性相关 C. 向量组(I)线性相关时,向量组(II)线性相关 D. 向量组(I)线性相关时,向量组(II)线性无关 3. 设 A 为 m ? n 矩阵,齐次线性方程组 Ax ? 0 仅有零解的充要条件是( ).

线

A. A 的列向量线性相关 C. A 的行向量线性相关

B. A 的列向量线性无关 D. A 的行向量线性无关 ). D. B ? 0

4. 设 A, B 为 n 级方阵, A ? 0 ,且 AB ? 0 ,则有( A. A ? 0 或 B ? 0 B. BA ? 0

C. ( A ? B)2 ? A2 ? B2

5. 设 A 和 B 都是 n 级实对称矩阵 , 通过非退化线性替换能将实二次型

f ( x1, x2 ,L , xn ) ? X T AX 化为实二次型 g(y1, y2,
条件是( ). A. A 与 B 具有相同的秩 C. A 与 B 具有相同的正惯性指数

, yn) ? Y T BY 的充分必要

B. A 与 B 具有相同的符号差

D. A 与 B 具有相同的负惯性指数, 并且 A 与 B 具有相同的符号差 得分

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1. 设四级行列式 D 的第四列元素分别为 1, 0, 2, 3 ,且它们对应的余子式分别为
2, ? 3, 1, 2 ,则 D =__________.

2. 设向量组 ?1 ? (k,1,1), ?2 ? (0, 2, 3), ?3 ? (1, 0,1) 线性相关,则 k ? __________.
1

3. 设 A 为 n 级方阵, 且满足 A2 ? 2 A ? 4E ? 0 , 这里 E 表示 n 级单位矩阵, 那么
A?1 ?

.

?1 0 0 ? ? ? 4. 已知矩阵方程 X ? 0 2 1? ? (1, 2, 3) , 则 X =_________________. ?0 1 1 ? ? ?

5. 若 f ? x, y, z ? ? 2x2 ? 3 y2 ? 3z 2 ? 2? yz 是正定二次型,则 ? 的取值范围 是_________________.

得分

三、判别题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) (请在你认为正确的小题对应的括号内打“√”,否则打“?”) 1.( 2.( 3.( 4.( 5.( )有理数域为最小的数域. )设 A, B 是两个 n 级方阵,则 A ? B ? ? B ? A . )若两个向量组等价,则它们所包含的向量的个数相同. )若矩阵 A 的所有 r ? 1 级子式全为零,则 A 的秩为 r . )合同变换不改变实矩阵的对称性和正定性.

得分 四、解答题(本大题共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 1. 设 f ( x) ? 4x4 ? 2x3 ?16x2 ? 5x ? 9, g ( x) ? 2x3 ? x2 ? 5x ? 4, 求 ? f ( x), g ( x) ? .

2





1 ?1 1 x ?1 1 ?1 x ? 1 ?1 2. 计算行列式 . 1 x ?1 1 ?1 x ? 1 ?1 1 ?1

线

3. 求向量组

?1 ? (2,1,3, ?1), ?2 ? (3, ?1, 2,0), ?3 ? (1,3, 4, ?2), ?4 ? (4, ?3,1,1)
的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.

3

? x1 ? x2 ? kx3 ? ?1, ? 4. 讨论 k 取何值时,线性方程组 ? x1 ? x2 ? 2 x3 ? ?1, ? 2 ?? x1 ? kx2 ? x3 ? k
(1) 有唯一解;(2) 无解; (3) 有无穷多个解,并求出此方程组的通解.

5. 作非退化线性替换 X ? CY 化实二次型
2 f ( x1, x2 , x3 ) ? x12 ? x2 ? 4x2 x3

为规范形.

4




1.5CM

得分 五、证明题(本大题共 4 小题,共 25 分) 1. (本小题 7 分) 证明:n 维向量组 ?1 , ?2 ,

, ?n 线性无关的充要条件是任一 n

线

维向量 ? 都可由 ?1 , ?2 ,

, ?n 线性表出.

2. (本小题 6 分)设 A 是 n 级方阵且 A ? 0 ,证明:存在一个非零矩阵 B 使得
AB ? O .

3. (本小题6分)设 A 是 n 级方阵且 A ? 0 ,B 是 n ? m 矩阵,证明: R ? AB ? ? R ?B ? .

5

?A 4. (本小题6分)设 A ? ? 1 ?O
B2 合同,则 A 与 B 合同.

O? ? B1 ?, B ? ? A2 ? ?O

O? ? . 证明:如果 A1 与 B1 合同, A2 与 B2 ?

6


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