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2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)及参考答案

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2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及参考答案 (5 月 5 日 8:00 至 10:00)
一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.设方程 x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4 ,则实数 m 的范围是
2 2



2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为



3.设实数 x , y 满足 x2 ? 4x ? y ? 3 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是



4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi)n ( i 是虚数单位, n ? N ) ,则 n 的最小值
*





5.若三角形 ABC 的三边 AB , BC , AC 成等差数列,则 ? A 的取值范围是



6.若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9 , (an?1 ? an ?1)(an?1 ? 3an ) ? 0 ( n ? N ) ,则满足条件的 a1 的
*

所有可能值之积是



7.已知 f ( x) ? x ? 94 x ? 2013 ,则
2

n ?30

? ? f ( n) ?

60

f ( n) ? ?



8.设 x , y ??0, 2? ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ? 为 .

1 ,则 x ? y 的最大值 2

1

9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB 、

DBC 、 DCA 的距离成等差数列,则 P 到面 DCA 距离的最大值是



10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数, 这个四位数为完全平 方数,再过 31 年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平 方数,小王现在的年龄是 .

二.解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.设 k 为实数, 0 ? k ? 6 ,椭圆 E1 :

( x ? k )2 x2 ? y 2 ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 A 和 9 9

C , E1 的左顶点为 B , E2 的右顶点为 D (如图) ,若四边形 ABCD 是正方形,求实数 k .

2

12.如图,梯形 ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' , A 、 C 关于 对角线 BD 对称的点分别是 A ' 、 C ' .证明:四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形.

13.设实数 a , b 满足 0 ? a ?

1 ? b ? 1 .证明: 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b . 2

14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点,恰为某等腰 梯形的顶点.

3

2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (5 月 5 日 8:00 至 10:00) 一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1 .设方程 x 2 ? 2mx ? m2 ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4 ,则实数 m 的范围是 (-1,3) .
17 . 33

2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为

3. 设实数 x ,y 满足 x2 ? 4x ? y ? 3 ? 0 , 则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是 (似乎出错)



4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi)n ( i 是虚数单位, n ? N* ) ,则 n 的 最小值是 3 . 5 .若三角形 ABC 的三边 AB , BC , AC 成等差数列,则 ? A 的取值范围是
0 ? ?A ?

?
3



6.若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9 , (an?1 ? an ?1)(an?1 ? 3an ) ? 0 ( n ? N* ) ,则满足条件的

a1 的所有可能值之积是 0


60

7.已知 f ( x) ? x2 ? 94 x ? 2013 ,则 ? ? f (n) ? f (n) ? ? 364 .
n ?30

1 8.设 x , y ??0, 2? ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ? ,则 x ? y 的最大值为 2
23? . 6

9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB 、 DBC 、 DCA 的 距 离 成 等 差 数 列 , 则 P 到 面 D C A 距 离 的 最 大 值 是 . (未学) 10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数,这个四位 数为完全平方数,再过 31 年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个 四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄是 12 . 二.解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分.
( x ? k )2 x2 2 ? y ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 11.设 k 为实数,0 ? k ? 6 ,椭圆 E1 : 9 9
A 和 C , E1 的左顶点为 B , E2 的右顶点为 D (如图) ,若四边形 ABCD 是正

4

方形,求实数 k . 解:BD=6-k=AC 又 AC= 得 k= 4.8 12.如图,梯形 ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' , A 、 C 关于对角线 BD 对称的点分别是 A ' 、C ' . 证明: 四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形. 连 A’O,B’O,C’O,D’O 易证 A’,O,C’; B’,O,D’共线(角度) ,由比例线段证毕。

36 ? k 2 3

13.设实数 a , b 满足 0 ? a ? 解: 记 f(x)= cos ? x ? 2 x 则 f ’(x)= ?? sin ? x ? 2

1 ? b ? 1 .证明: 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b . 2

arcsin
令 f ’(x)=0 ,则 x=

2

?

? ? 0.2196

所以 x<0.2196 时 f ’(x)>0 , x>0.2196 时 f ’(x)<0 所以 f(a)≥min{f(0),f(1)}=1 f(b)≤f(0.5)=1 所以 f(b)≤f(a) ,证毕。 14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点, 恰为某等腰梯形的顶点. 根据抽屉原理,必定存在 34 个点同色。该 34 个点连成 34*33/2=561 条线段。 考虑这 561 条线段的垂直平分线,显然它们都是正 100 边形的对称轴。正 100 边 形的对称轴有 200 条,所以必定存在 3 条线段它们的垂直平分线重合。 所以这 3 条线段两两平行,其中必有两条不等长,于是构成等腰梯形四个顶点且 同色,证毕。

5


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