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三轮复习高考数学有关参数的问题详解

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三轮复习高考有关参数的问题详解
1.

设P是椭圆2x 2 ? 3y 2 ? 12上的一个动点,则x ? 2y的最大值是

,最小值是



分析一:注意到变量(x,y)的几何意义,故研究二元函数 x+2y 的最值时,可转化为几何 问题。若设 x+2y=t,则方程 x+2y=t 表示一组直线(t 取不同的值,方程表示不同的直线) ,

显然(x,y)既满足 2x2+3y2=12,又满足 x+2y=t,故点(x,y)是方程组

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 12 ? ?x ? 2 y ? t



公共解。依题意,可知直线 x ? 2 y ? t 与椭圆总有公共点。从而转化为研究消元后的一元二 次方程的判别式 ? ? 0

解法一:
令x ? 2y ? t,x,y还满足2x 2 ? 3y 2 ? 12,故
?x ? 2 y ? t 方程组 ? 2 有公共解,消去x 2 ?2x ? 3y ? 12

得y的一元二次方程:11y 2 ? 8t ? y ? 2t 2 ? 12 ? 0 由? ? 64t 2 ? 4 ? 11 ? 2t 2 ? 12 ? 0解得: ? 22 ? t ? 22
? x ? 2y的最大值为 22,最小值为 ? 22
分析二: 由于研究二元函数 x+2y 相对困难,因此有必要消元,但由 x,y 满足的方程 2x2+3y2=12 表出 x 或 y,会出现无理式,这对进一步求函数最值依然不够简洁,能否有其他途径把二元 函数 x+2y 转化为一元函数呢?

?

?

?

?

方法是利用椭圆的参数方程
变量的一元函数。 解法二:

?x ? 6 cos? x2 y2 ? ? 1? ? 代入x ? 2y中,即可转化为以 6 4 ?y ? 2 sin ? ? 为

由椭圆的方程2x 2 + 3y 2 = 12,可设x = 6 cos?,y ? 2 sin ? 代入x ? 2y,得:x ? 2y ? 6 cos? ? 2 ? 2 sin ? ? 22 sin?? ? ? ?
6 ,由于 ? 1 ? sin?? ? ? ? ? 1,所以 ? 22 ? x ? 2 y ? 22 4 ? x ? 2 y的最小值为 ? 22 ,最大值为 22 其中tg? ?

[注]以上两种解法都是通过引入新的变量来转化问题,解法一是通过引入 t,而把 x+2y 几何化为直线的纵截距的最值问题;解法二则是利用椭圆的参数方程,设出点 P 的坐标

( 6 cos?, 2 sin ?),代入 x ? 2 y 中,转化为一元函数 f (? ) 求其最值,这两种解法不妨都称
为“参数法” 。
x2 y2 ? ? 1上一点P与定点(1, 0)之间距离的最小值 4 2. 求椭圆 9

解: (先设出点 P 的坐标,建立有关距离的函数关系)

设P?3 cos ?, 2 sin ? ?,则P到定点(1, 0)的距离为 d?? ? ? 3? 16 ?3 cos? ? 1? 2 ? ?2 sin ? ? 0? 2 ? 5 cos2 ? ? 6 cos? ? 5 ? 5? ? cos ? ? ? ? ? ? 5 5
3 4 5 时,d?? ) 取最小值 5 5
2 2
2

当 cos ? ?

3.已知实数

x, y 满足 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 25,求 x 2 ? y 2 ,2x ? y 的最值。

? x ? 1 ? 5 cos? ??为参数? ? y ? 2 ? 5 sin ? ? 解:设圆的参数方程为
⑴ x ? y ? ?1 ? 5 cos? ? ? ?2 ? 5 sin ? ? ? 30 ? 10 5 sin?? ? ? ? ,
2 2 2 2

最大值与最小值分别是 30 ? 10 5,30 ? 10 5 ⑵ 2 x ? y ? 2(1 ? 5 cos? ) ? 2 ? 5 sin ? ? 4 ? 15sin?? ? ? ?, 最大值与最小值分别是 19 与-11。

cos A b 4 ? ? 4.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a、b、c,且 c=10, cos B a 3 ,P 为△ABC
的内切圆的动点,求点 P 到顶点 A、B、C 的距离的平方和的最大值和最小值。 解:由,运用正弦定理,可得: ∵sinA· cosA=sinB· cosB ∴sin2A=sin2B 由 A≠B,可得 2A=π-2B。 ∴A+B=,则△ABC 为直角三角形。 又 C=10,,可得: a=6,b=8,r=2

? x ? 2 ? 2 cos? ??为参数? ? y ? 2 ? 2 sin ? 如图建立坐标系,则内切圆的参数方程为 ?

所以圆上动点 P 的坐标为 (2 ? 2 cos? ,2 ? 2 sin ? ) ,从而 因 0≤θ <2π,所以所最大值与最小值是 88,72

PA ? PB ? PC

2

2

2

? 80 ? 8?

x2 y2 C: ? ?1 9 4 5.设直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 ,交椭圆 于 A、B 两点,在椭圆 C 上找一点 P,
使 ?ABP 面积最大。

? x ? 3 cos? ??为参数? ? y ? 2 sin ? s ,2 s i n ?? , 到 直 线 ? 解:设椭圆的参数方程为 , 则 P?3 c o ?
l : x ? 2y ? 2 ? 0 的 距 离 为 :

d?

3 cos? ? 4 sin ? ? 2 5

?

5 sin?? ? ? ? ? 2 5
, 当

s i?? n? ? ? ? ?1 ,即

? ?? ?

3? 2 时,此时

9 ? ? x ? 3 cos? ? ? 5 ? ?9 8? 8 ? y ? 2 sin ? ? ? P? , ? 5 ,所以 ? 5 5 ? ?
6.求直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的参数方程,并说明参数的几何意义。

1 ? x ? 1 ? t ? ? 2 ?t为参数? ? ? y? 3t ? 2 解: ?


M 0 ?1,0? ,M 是直线上任意一点,则 t 表示有向线段 MM 0 的数量。

4 2 P ( 2 , 0 ) 7.已知:直线 l 过点 ,斜率为 3 ,直线 l 和抛物线 y ? 2 x 相交于 A, B 两点,设线
段 AB 的中点为 M , 求 (1)P, M 两点间的距离。 (2)M 点的坐标。 (3) 线段 AB 的长

AB



3 ? x ? 2 ? t ? 5 ?t为参数? ? 4 4 4 3 ? y? t tan ? ? sin ? ? , cos ? ? 5 3 得: 5 5, 解: 由 所以直线的参数方程为 ? ,

16 2 6 15 25 t ? t ? 4 ? 0 t1 ? t 2 ? , t1 t 2 ? ? 5 8 4 代入 y ? 2 x 化简得: 25 ,
2

PM ?
(1)

t1 ? t 2 15 ? 2 4

3 15 17 ? ?x ? 2 ? 5 ? 4 ? 4 ? ? 17 ? 4 15 ? y? ? ?3 M ? ,3 ? 5 4 (2) ? 所以 ? 4 ?
AB ?
(3)

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

?

5 65 8


?x ? 2 ? t 直线? (t为参数)被双曲线x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长为 ?y ? 3t 8.

分析与解: 方法之一可把直线的参数方程化为普通方程,与双曲线方程联立,消元,再结合韦达
定理,利用弦长公式 AB ?

?1 ? k? 2 ?x1 ? x 2 ? 2 可求得弦长;若不把参数方程化为普通方

?x ? x 0 ? t cos ? 程,又怎样求弦长呢?注意到直线参数方程不是标准形式 ? ,故上述方程 ?y ? y 0 ? t sin ? 中的t不具有显而易见的几何意义,因此有必要先将其化为标准形式:

1 ? x ? 2? t ? 2 ? (t 为 参 数 ) ? ?y ? 3 t ? 2 ?
2 1 ? ? 3 ? 代入x ? y ? 1,得: 2 ? t t ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 2

? ? ?1 ? ?

2

2 整 理 , 得 t: ? 4t ? 6 ? 0

设其二根为 t1 ,t 2 ,则

t1 ? t 2 ? 4,t1 ?t 2 ? ?6
从而弦长为AB ? t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1 t 2

? 4 2 ? 4?? 6? ? 40 ? 2 10

1 ? x ?1? t ? 2 ? (t为参数)与圆x 2 ? y 2 ? 16交于A、B两点 ? ?y ? ?3 3 ? 3 t ? 2 9 直线 ? ,则 AB 的中点坐标为 __________。

中点坐标为

?3, ? 3?
1 3 t,y ? ?3 3 ? t 2 2 2 2 2 代入 x ? y ? 16,得:t ? 8t ? 12 ? 0 ,设 A、B 对应的

(把

x ?1?

参数分别为 t 1 ,t 2 ,则 AB 中点对应的参数为 参数方程,可求得中点的坐标。 )

t0 ?

1 1 ?t 1 ? t 2 ? ? ? 8 ? 4 2 2 ,将 t 0 ? 4 代入直线

10 (1) 写出经过点

M 0 (1,5) ,倾斜角是 ? / 3 的直线 l 的参数方程;

(2) 利用这个参数方程,求这条直线 l 与直线 x ? y ? 2 3 ? 0 的交点到点 M0 的距离。 (3) 求这条直线 l 和圆 x ? y ? 16 的两个交点到点 M0 的距离的和与积。
2 2

解:(1)

1 ? ? x ? 1? 2 t ? ?t为参数? ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ?

(2) 10 ? 6 3

1 ? x ? 1? t ? ? 2 ?t为参数? ? ?y ? 5 ? 3 t 2 2 2 ? 2 (3)把 ? 代入 x ? y ? 16 化简得: t ? 1 ? 5 3 t ? 10 ? 0

?

?

t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

? 36 ? 10 3

, t1t 2 ? 10

x2 ? y2 ? 1 11 求经过点(1,1),倾斜角为 135°的直线截椭圆 4 所得的弦长。

? x ? 1? ? ? ? ?y ? 1? ? 解: 直线的参数方程为 ?

2 t 2 ?t为参数? 2 x2 t ? y2 ? 1 2 2 4 代入 化简得 5t ? 6 2t ? 2 ? 0

t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

?

4 2 5

1 1 y?? x P ? 4,0 ? ? 2 .过点 12. 已知双曲线 G 的中心在原点, 它的渐近线方程是 作斜率为 4
的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和

y 轴交于点 C ,并且点 P 在线段 AB 上,又满足

PA ? PB ? PC

2

.求双曲线 G 的方程;

1 y?? x 2 2 2 ,可设双曲线 G 的方程为: x ? 4 y ? m . 解:由双曲线 G 渐近线方程是
4 ? x ? ?4 ? t ? ? 17 (t为参数) ? 1 ? y? t ? 17 ?

把直线 l 的参数方程方程

代入双曲线方程,整理得

12 2 32 322 12 t ? t ? 16 ? m ? 0 ?? ? 4 ? ? ?16 ? m? ? 0 17 17 17 17 ,设 A, B 对应的参数为 t1 , t 2 , 得

m?

46 3

由韦达定理:

t1 t 2 ?

17 ?16 ? m ? ? PA ? PB ? t1 ? t 2 ? 17 ?m ? 16 ? 12 12 ,
P ? C
2

?4?


4 17

t?0

P A ? P B ? PC ? 17 , 得 t ? 17 , , 由

17 ?m ? 16 ? ? 17 得 12 ,

m ? 28

x2 y 2 ? ?1 7 所以,双曲线的方程为 28 .
13.已知 ll,l2 是过点 P( ? 2 ,0 )的两条互相垂直的直线,且 ll,l2 与双曲线 y2?x2=1 各有两个交 点,分别为 A1,B1 和 A2,B2.若|A1B1| ? 5 |A2B2|,求 ll,l2 的方程.

? x ? ? 2 ? t cos? (t为参数) ? y ? t sin ? l ? 解:设 1 的参数方程为: , 则 l2 的 参 数 方 程 为 :

? ? ? x ? ? 2 ? t cos( 2 ? ? ) (t为参数) ? x ? ? 2 ? t sin ? ? ? (t为参数) ? ? y ? t sin( ? ? ) y ? t cos ? 2 ? ,即 ?
2 把它们代入 y ? x ? 1 得: t ? cos2? ? 2 2t ? cos? ? 3 ? 0

2

2

t 2 ? cos2? ? 2 2t ? sin ? ? 3 ? 0 ,设 A1 , B1 , A2 , B2 对应的参数是 t1 , t 2 , t3 , t 4 ,
由韦达定理得

t1 ? t 2 ?

2 2 cos? 3 , t1t 2 ? cos 2? cos 2? ,

? A1 B1 ? t1 ? t 2 ? A2 B2
2

2

2

? ?t1 ? t 2 ? ? 4t1t 2 ?
2 2 2

8 cos2 ? 12 ? 2 cos 2? cos 2? 8 sin 2 ? 12 ? 2 cos 2? cos 2?

同理:

? t3 ? t 4

? ?t 3 ? t 4 ? ? 4t 3t 4 ?



A1 B1 ? 5 A2 B2

? 8 sin 2 ? 8 cos2 ? 12 12 ? ? ? ? ? 5 ? 2 2 ? ? cos 2? c o 2s ? cos 2 ? cos 2 ? ? ? ,化简得: 得 :

2 c o2 s ? ? s i 2n? , tan? ? ? 2 ,所以所求的直线方程为:

?l1 : y ? 2 x ? 2 ? ? 2 ?l2 : y ? ? x? 2 ? 2

?

?

?

?

?l1 : y ? - 2 x ? 2 ? 或? 2 ?l2 : y ? x? 2 ? 2 .]

?

?

?

?

14.已知直线 l 过点 P?3,2? ,且与 x 轴 小值时的直线 l 的方程.

y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,求 PA ? PB 的值为最

x ? y ?5 ? 0
15.下表是一条直线上的点和对应参数的统计值 参数 横坐标 纵坐标 2 1 6

2

6

2 2
0 7
2 2

2? 2 5? 2

2?3 2 5?3 2

根据数据,可知直线的参数方程为 的弦长为

,直线被圆 ?x ? 2? ? ? y ? 5? ? 8 截得

? x ? 2? ? ? ? ?y ? 5 ? ? ?

2 t 2 ?t为参数? 2 t 2 ,4 2
y 轴上的截距相等,

16.给出两条直线 l1 , l 2 ,斜率存在且不为 0,如果满足斜率互为相反数,且在 那么直线 l1 , l 2 叫做孪生直线.

(1)现给出 4 条直线:
? x ? 3? ? ? l2 : ? ? x ? 2 ? 2t ?t为参数? ? l1 : ? ?y ? 4 ? ? y ? ?4 ? 2t ; ? 2 t 2 ?t为参数? 2 t 2 ;

? ? x ? 6? ? l4 : ? ?x ? 1 ? t ?t为参数? ? l3 : ? y ? ?8 ? ? ? ?y ? 1? t ;

2 t 2 ?t为参数? 2 t 2

? x ? x 2 ? t cos ? 2 ? x ? x1 ? t cos? 1 ?t为参数 ? ?t为参数? l 2 : ? y ? y l1 : ? y ? y1 ? sin ? 1 2 ? sin ? 2 ? (2)给出两条直线 ? ,
那么 l1 , l 2 构成孪生直线的条件是什么? (1) l1 , l 4 ;(2) tan?1 ? tan? 2 且 y1 ? y 2 ? x1 tan?1 ? x2 tan? 2

17.已知点 M ?2,1? 和双曲线 的直线 l 的方程。

x2 ?

y2 ?1 2 ,求以 M ?2,1? 为中点的双曲线右支的弦 AB 所在

?x ? 2 ? t cos? y2 ??为参数? x2 ? ?1 ? 2 解 : 设 所 求 的 直 线 l 的 方 程 为 : ? y ? 1 ? t sin ? 代入 化简得:

1 5 ? ? t 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ? t ?4 cos? ? sin ? ? ? ? 0 2 2 ? ? ,

? t1 ? t 2 ?

sin ? ? 4 cos? ?0 1 2 2 cos ? sin ? 2

? k ? tan ? ? 4 ,所求的直线 l 的方程为: 4 x ? y ? 9 ? 0
18.过点 B?0,?a ? 作双曲线 x ? y ? a 右支的割线 BCD,又过右焦点 F 作平行于 BD 的直
2 2 2

线,交双曲线于 G、H 两点。

BC BD ? ?2 (1)求证: GF FH ;

(2)设 M 为弦 CD 的中点,

S ?MBF ?

3 2 2 a 2 ,求割线 BD 的倾斜角的正切值。

? x ? t cos? ?t为参数 ? l BC : ? 2 ? y ? ?a ? t sin ? 证明: (1)设 代入 x

? y 2 ? a 2 得:t 2 cos2? ? 2at sin ? ? 2a 2 ? 0

BC ? BD ? t1t 2 ? ?

2a 2 cos 2?

? x ? 2a ? t cos? ?t为参数? lGH : ? 2 2 2 2 2 y ? t sin ? ? 设 代入 x ? y ? a 得: t cos2? ? 2 2at cos? ? a ? 0

GF ? FH ? t 3t 4 ? ?

a2 cos 2?

BC BD ? ?2 GF FH
2 cos ? a sin ? t1 ? t 2 ? ? ? BM ? cos 2? , cos 2? ,F 到 BD 距离为 (2)由(1)知
2 tan? ? 1 sin ? 3 2 2 ? ? a2 ? a 2 2 tan ? ? 1 cos?

2 tan? ? 1 tan2 ? ? 1

tan? ? ?


2 2

x2 y2 ? ?1 4 19.从椭圆 9 上任一点向短轴的两端点分别引直线,求这两条直线在 x 轴上截距
的乘积。

? x ? 3 cos? ? y ? 2 sin ? (θ 为参数) 解: 化方程为参数方程: ?
y ? 2 sin ? x ? 3 cos ? ? ? 3 cos ? 设 P 为椭圆上任一点, 则 P(3cosθ,2sinθ)。 于是, 直线 BP 的方程为:2 ? 2 sin ? y ? 2 sin ? x ? 3 cos ? ? ? 3 cos ? 直线 AP 的方程为: ? 2 ? 2 sin ?
3 cos ? 3 cos ? 1 ? sin ? 1 令 y=0 代入 AP,BP,的方程,分别得它们在 x 轴上的截距为 , ? sin ?

3 cos ? 3 cos ? ? ?9 1 ? sin ? 1 ? sin ? 故截距之积为:


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