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高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课件:3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

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第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数 模型的简单应用 【教材基础回顾】 1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的五个关键点 x ωx+φ y= Asin(ω x+φ) ? ? ___ ? ? ? ? _____ 2? ? ? ? ? _____ ? ? 3? ? ? _____ 2? ? 2? ? ? _____ ? ? __ 0 ? ___ 2 ___ π 3? ___ 2 ____ 2π 0 A 0 -A 0 2.图象变换 【金榜状元笔记】 1.图象变换的一个重要区别 由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种 变换的区别:①先相位变换再周期变换(伸缩变换),平 移的量是|φ|个单位长度;②先周期变换(伸缩变换)再 相位变换,平移的量是 (ω>0)个单位长度. |?| ? 2.由图象求解析式的三种必会方法 (1)如果从图象可确定振幅和周期,则可直接确定函数表达式y=Asin(ωx+φ)中的参数A和 ω,再选取“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”求得φ. (2)通过若干特殊点代入函数式求解,依据是五点法. (3)运用逆向思维的方法,根据图象变换可以确定相关的参数. 【教材母题变式】 1.为了得到y=3cos 图象上的所有点的 ( 的图象,只需把y=3cos ) ? (3x ? ) A.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变 8 B.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变 C.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变 D.横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 ? (x ? ) 8 1 3 1 3 【解析】选D.因为变换前后,两个函数的初相相同,所 以只需把y=3cos 图象上的所有点的纵坐标不变, 横坐标缩短到原来的 ,即可得到函数y=3cos 的图象. ? (x ? ) 8 1 3 ? (3x ? ) 8 2.(2016· 全国卷Ⅰ)将函数y=2sin (2x+ )的图象向 右平移 个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin ? 6 1 4 ? (2x ? ) 4 ? (2x ? ) 4 ? (2x ? ) 3 ? (2x ? ) 3 【解析】选D.由函数y=2sin (2x+ )得周期T= =π, 将函数y=2sin (2x+ )的图象向右平移 个周期,即为 函数y=2sin (2x+ )的图象向右平移 个单位,得 y=2sin ,即y=2sin ? ? [2(x ? ) ? ] 4 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 4 2? 2 1 4 ? (2x ? ). 3 3.已知函数f(x)=2sin 的图象经过点 (0,1),则该函数的振幅为____________, 周期T为 ? ( x初相 ? ?φ )(| ? |? ____________,频率为________________, 为 ______________. 3 ? ) 2 【解析】振幅A=2,T= =6,f= ,因为图象过点(0,1), 所以1=2sin φ,所以sin φ= φ= . 答案:2 6 2? ,又|φ|< ,所以 ? 3 1 6 ? 2 1 2 ? 6 1 6 ? 6 4.某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下 表是今年前四个月的统计情况: 月份x 收购价格y(元/斤) 1 6 2 7 3 6 4 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为 ____________. 【解析】设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T= ,所以 ω= ,所以y= 因为当x=1时,y=6,所以6= 结合表中数据得 +φ=2kπ ,k∈Z,可取φ=- , 所以 ? 2? ? 答案: sin( x ? ?) ? 6. ? ? 2 ? sin( ? ?) ? 6, 2 2 2 ? 2 ? ? sin( x ? ) ? 6. 2 2 ? ? sin( x ? ) ? 6 2 2 【母题变式溯源】 题号 知识点 源自教材 1 (伸缩)变换 P57·T1(2) 2 平移变换 P55·T2(1) A,ω,φ的物理意义 P56·T3 3 4 实际应用 P62·例4 考向一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换 【典例1】(1)(2017· 全国卷Ⅱ)已知曲线C1:y=cos x, C2:y=sin 则下面结论正确的是 ( ) 2? (2x ? ), 3 A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2 ? 6 ? 12 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2 ? 6 1 2 ? 12 1 2 (2)(2015· 湖北高考)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) 在某一个周期内的 图象时,列表并填入了部分数据,如表: ? (? ? 0,| ? |? ) 2 ①请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析 式; ②将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单 位长度,得到y=g(x)的图象. 若y=g(x)图象的一个对称 中心为 求θ的最小值. 5? ( ,0), 12 【解析】(1)选D.C1:y=cos x,C2:y= 首先把曲线C1,C2统一为同一三角函数名,可将C

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