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抛物线专题复习讲义

时间:2014-01-26


抛物线专题复习讲义
★知识梳理★
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 ):
标准方程 图形
y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点

F( x??

p ,0) 2 p 2

F (? x? p 2

p ,0) 2

F (0, y??

p ) 2

F (0,? y? p 2

p ) 2

准线

p 2

范围 对称轴 顶点 离心率

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴
(0,0)

y轴

e ?1

2.抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦半径 PF ? y ? P ; 2 2 ② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦,则 x A xB ? 3. y 2 ? 2 px 的参数方程为 ? 数).
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

p2 2 , y A yB ? ? p , | AB | = xA ? xB ? p 4
? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

( t 为参数) , x 2 ? 2 py 的参数方程为 ?

( t 为参

1.要有用定义的意识 问题 1:抛物线 y=4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A.
2

)

17 16

B.

15 16
2

C.

7 8

D. 0

点拨:抛物线的标准方程为 x ?

1 1 y ,准线方程为 y ? ? ,由定义知,点 M 到准线的距离 4 16


为 1,所以点 M 的纵坐标是

15 16

2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题 2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线的条数有 点拨:抛物线的类型一共有 4 种,经过第一象限的抛物线有 2 种,故满足条件的抛物线有 2 条 3.研究几何性质,要具备数形结合思想, “两条腿走路” 问题 3:证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 点拨:设 AB 为抛物线的焦点弦,F 为抛物线的焦点,点 A'、B ' 分别是点 A、B 在准线上的 射影,弦 AB 的中点为 M,则 AB ? AF ? BF ? AA'? BB ' ,点 M 到准线的距离为

1 1 ( AA'? BB ' ) ? AB ,? 以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 2 2

★热点考点题型探析★
考点 1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例 1 ]已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和的最小值为 【解题思路】将点 P 到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离 [解析]过点 P 作准线的垂线 l 交准线于点 R,由抛物线的定义知, PQ ? PF ? PQ ? PR ,当 P 点为抛物线与垂线 l 的交点时, PQ ? PR 取得最小值,最小值为点 Q 到准线的距离 ,因准 线方程为 x=-1,故最小值为 3 【名师指引】 灵活利用抛物线的定义, 就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离 之间的转换,一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】 1.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ,y1 ),P ,y2 ) , P ,y3 ) 在抛 1 ( x1 2 ( x2 3 ( x3
2
2

物线上,且 | P 1F | 、 | P 2F | 、 | P 3 F | 成等差数列, 则有 A. x1 ? x2 ? x3 C. x1 ? x3 ? 2 x2 B. y1 ? y2 ? y3 D. y1 ? y3 ? 2 y2





2. 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时,
2

M 点坐标是 A. (0, 0) B. (3, 2 6 ) C. ( 2, 4)

(

)

D. (3, ? 2 6 )


考点 2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 [例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2) 【新题导练】 3.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 (2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值 3

4. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这抛物线方程为 y =10x 的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)
2

5. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A 为抛物线上一 点,且 | AM |? 17,| AF |? 3 ,求此抛物线的方程

考点 3 抛物线的几何性质 题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例 3 ]设 A、B 为抛物线 y 点坐标为__________.
2

? 2 px 上的点,且 ?AOB ? 90? (O 为原点),则直线 AB 必过的定

【新题导练】 6. 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,则实数 a ?
2

7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、 B,若 A、 B 在抛物线准线上的射影为 A1 , B1 , 则 ?A1 FB1 ? A. 45
?

( B. 60
?

)

C. 90

?

D.

120?



抛物线专题练习
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) ) ( )

2.圆心在抛物线 y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( A.x2+ y 2-x-2 y -

1 =0 B.x2+ y 2+x-2 y +1=0 4
D.x2+ y 2-x-2 y +

C.x2+ y 2-x-2 y +1=0

1 =0 4


3.抛物线 y ? x 2 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是 ( A. (1,1) B. (

1 1 3 9 , ) C. ( , ) 2 4 2 4

D. (2,4) )

4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为( A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m )

5.平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x

6.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是 6,则抛物线 的方程是 A. y 2=-2x C. y 2=2x ( B. y 2=-4x D. y 2=-4x 或 y 2=-36x )

7.过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那 么|AB|= A.8 B.10 ( C.6 ) D.4 )

8. 把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a ? (2,?3) 平移, 所得的曲线的方程是 ( A. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

B. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

C. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

D. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

9.过点 M(2,4)作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条





10.过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长



分别是 p、q,则

1 1 ? 等于 p q
D.





A.2a

B.

1 C.4a 2a

4 a

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离 为 . .

12.抛物线 y =2x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是

13.P 是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经 过一个定点 Q,点 Q 的坐标是 14 . 抛 物 线 的 焦 点 为 椭 圆 为 .

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程 9 4


三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C: x ? ( y ? 3) ? 1外切,求动圆圆心 M 的
2 2

轨迹方程.(12 分)



16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离 等于 5,求抛物线的方程和 m 的值. (12 分)

17.动直线 y =a,与抛物线 y ?
2

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中 2

点 M 的轨迹的方程.(12 分)

18.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载货后船露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时, 小船开始不能通航?(12 分)



19.如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任 一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|= 且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.(14 分) ,|AN|=3,

20.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交 于不同的两点 A、B, | AB |? 2 p . (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB面积的最大值.(14 分)




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