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人教A数学必修2-2.3.13

时间:2016-02-27


知识点 1 二面角 二面角

定 义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的 面.如图,记作:α-l-β 或 P-AB-Q 或 P-l-Q. 范 围 0° ≤θ≤180°

2.二面角的平面角 在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O, 以点 O 为垂 文字 足,在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 语言 和 OB, 则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平 面角. 图形 语言 符号 α∩β=l,O∈l,OA?α,OB?β,OA⊥l,OB⊥l? 语言 ∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角.

讲重点 作二面角的平面角的方法

① 方法一(定义法):在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面 内分别作垂直于棱的射线. 如图①,∠AOB 为二面角 α-a-β 的平面角.

方法二(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面 角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平 面角. 如图②,∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角.



方法三(垂线法):过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂 线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其 补角. 如图③,∠AFE 为二面角 A-BC-D 的平面角.



知识点 2 平面与平面垂直 平面与平面垂直 如果两个平面相交,且它们所成的二面角是直二面 定义 角,就说这两个平面互相垂直,记作:α⊥β. 通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂 直,如图: 画法

文字表述:一个平面过另一个平面的垂线,则这两 判定 个平面垂直. a⊥β? 定理 ? ??α⊥β. 符号表示: a?α? ?

讲重点 常用的两个平面互相垂直的判定方法 (1)定义法,即说明这两个平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理,即一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这 两个平面互相垂直; (3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂 直于第三个平面.

类型一 面面垂直关系的判定 【例 1】 对于直线 m,n 和平面 α,β,能得出 α⊥β 的一组 条件是( ) A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?β C.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 思维启迪:将符号语言转化为图形语言,再根据面面垂直的概 念或判定定理进行判断.

解析:A 与 D 中 α 也可与 β 平行,B 中不一定 α⊥β,故选 C. 答案:C

点评: 此类以符号语言的背景的位置关系的判断一般将符号语言转 化为图形语言,借助于图形的直观性和空间想象加以判断.

变式训练 1 如果直线 l,m 与平面 α,β,γ 满足:l=β∩γ,l ∥α,m?α 和 m⊥γ,那么必有( ) A.α⊥γ 且 l⊥m B.α⊥γ 且 m∥β C.m∥β 且 l⊥m D.α∥β 且 α⊥γ

答案:A

类型二 平面与平面垂直关系的证明

【例 2】 如图,已知∠BSC=90° ,∠BSA=∠CSA=60° ,又 SA=SB=SC,求证:平面 ABC⊥平面 SBC. 思维启迪:可以根据定义法也可根据面面垂直的判定定理.

解析: 证法一:利用定义证明.

∵∠BSA=∠CSA=60° ,SA=SB=SC, ∴△ASB 和△ASC 是等边三角形,则有 SA=SB=SC=AB= AC,令其值为 a,则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形. 则 BC 的中点 D,连接 AD,SD, 则 AD⊥BC,SD⊥BC, ∴∠ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角.

在 Rt△BSC 中, 2 2 BC ∵SB=SC=a,∴SD= 2 a,BD= 2 = 2 a. 2 在 Rt△ABD 中,AD= 2 a. 在△ADS 中,∵SD2+AD2=SA2,∴∠ADS=90° , 即二面角 A-BC-S 为直二面角, 故平面 ABC⊥平面 SBC.

证法二:利用判定定理. ∵SA=AB=AC, ∴点 A 在平面 SBC 上的射影为△SBC 的外心. ∵△BSC 为直角三角形, ∴A 在△BSC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点. ∴AD⊥平面 SBC. 又∵平面 ABC 过 AD,∴平面 ABC⊥平面 SBC.

点评: (1)对平面与平面垂直的判定定理的认识: 平面与平面垂直的判定定理告诉我们, 可以通过直线与平面垂 直来证明平面与平面垂直,通常我们将其记为“线面垂直,则面面 垂直”.因此,处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一 步转化为处理线线垂直问题.

(2)证明平面与平面垂直的方法:

根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成 了求二面角的平面角,通常情况下利用判定定理要比定义简单些, 判定定理是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只要转证 线面垂直, 其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平 面垂直.

变式训练 2 如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= AD=1, AA1=2, M 是棱 CC1 的中点. 证明: 平面 ABM⊥平面 A1B1M.

证明: 由长方体的性质可知 A1B1 ⊥平面 BCC1B1 ,又 BM ? 平面 BCC1B1,所以 A1B1⊥BM. 又 CC1=2,M 为 CC1 的中点, 所以 C1M=CM=1. 2 在 Rt△B1C1M 中,B1M= B1C2 1+MC1= 2, BM= BC2+CM2= 2,又 B1B=2,所以 B1M2+BM2=B1B2. 又 A1B1∩B1M=B1,所以 BM⊥平面 A1B1M, 因为 BM?平面 ABM,所以平面 ABM⊥平面 A1B1M.

类型三 求二面角

【例 3】 四边形 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB. (1)求二面角 A-PD-C 平面角的度数; (2)求二面角 B-PA-D 平面角的度数; (3)求二面角 B-PA-C 平面角的度数. 思维启迪:(1)证明面 PAD⊥面 PCD;(2)定义法确定二面角; (3)∠BAC 为所求角,可求.

解析: (1)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD,又四边形 ABCD 为正方形, ∴CD⊥AD,PA∩AD=A. ∴CD⊥平面 PAD,又 CD?平面 PCD, ∴平面 PAD⊥平面 PCD. ∴二面角 A-PD-C 平面角的度数为 90° . (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA. ∴∠BAD 为二面角 B-PA-D 的平面角. 又由题意∠BAD=90° , ∴二面角 B-PA-D 平面角的度数为 90° . (3)∵PA⊥平面 ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA. ∴∠BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角. 又四边形 ABCD 为正方形,∴∠BAC=45° . 即二面角 B-PA-C 平面角的度数为 45° .

点评: 求空间角,如二面角、直线和平面所成的角等,都是找出或作 出平面角,再把平面角放在三角形中,利用解三角形得到平面角的 大小或三角函数值.

变式训练 3 如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在平 面,C 是圆周上的一点,且 PA=AC,求二面角 P-BC-A 的大小.

解:由已知 PA⊥平面 ABC, BC?平面 ABC,∴PA⊥BC. ∵AB 是⊙O 的直径,且点 C 在圆周上, ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. 而 PC?平面 PAC,∴PC⊥BC. 又∵BC 是二面角 P-BC-A 的棱, ∴∠PCA 是二面角 P-BC-A 的平面角. 由 PA=AC 知△PAC 是等腰直角三角形, ∴∠PCA=45° ,即二面角 P-BC-A 的大小是 45° .

1.已知 m、n 为不重合的直线,α、β、γ 为不重合的平面,则 下列命题中正确的是( ) A.m⊥α,n?β,m⊥n?α⊥β B.α⊥γ,β⊥γ?α∥β C.α∥β,m⊥α,n∥β?m⊥n D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m?n⊥β

解析:α∥β,m⊥α?m⊥β,n∥β?m⊥n. 答案:C

2.如图所示,如果 MC⊥菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( ) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直

解析:连接 AC,因为 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC.又 MC⊥ 平面 ABCD, 则 BD⊥MC.因为 AC∩MC=C, 所以 BD⊥平面 AMC. 又 MA?平面 AMC, 所以 MA⊥BD.显然直线 MA 与直线 BD 不共面, 因此直线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交. 答案:C

3.已知 P 是二面角 α-AB-β 的棱 AB 上一点,分别在 α、β 上引射线 PM、PN.如果∠BPM=∠BPN=45° ,∠MPN=60° ,则二 面角 α-AB-β 的平面角大小是________.

解析:在 PM 上截取 PC=a,在 PN 上截取 PD=a,过 C 作 CO⊥AB 于 O.连结 OD,则△CPO≌△DPO. ∴OD⊥AB,∠COD 为二面角的平面角. 在△CPD 中∠CPD=60° ,∴CD=a. 2 2 由 CO= 2 a,OD= 2 a 得 CD2=CO2+OD2,∴∠COD=90° . 答案:90°

4.如图,二面角 α-l-β 的大小是 60° ,线段 AB?α,B∈l, AB 与 l 所成的角为 30° ,则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是 ________.

解析:如图,过点 A 作 AC⊥l,垂足为 C,AD⊥β,垂足为 D, 连接 CD、BD. 由题意知∠ACD=60° ,∠ABC=30° ,∠ABD 即为 AB 与平面 β 所成的角. 3 设 AC=a,则 AB=2a,AD= 2 a, 3 a 3 AD 2 ∴sin∠ABD= AB = 2a = 4 . 3 答案: 4

5. 如图, 在三棱锥 S-ABC 中, ∠SAB=∠SAC=∠ACB=90° , AC=2,BC= 13,SB= 29,求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面 角的大小.

解:∵∠SAB=∠SAC=90° , 即 SA⊥AB,SB⊥AC,∴SA⊥平面 ABC, 那么 AC 为 SC 在平面 ABC 内的射影, 又∠ACB=90° ,即 BC⊥AC,∴BC⊥SC. ∴∠SCA 为二面角 S-BC-A 的平面角. 在 Rt△ACB 中,AC=2,BC= 13, ∴AB= AC2+BC2= 17. 在 Rt△SAB 中,SB= 29, ∴SA= SB2-AB2= 29-17=2 3. 在 Rt△SAC 中, SA 2 3 tan∠SCA=AC= 2 = 3,∴∠SCA=60° , 即侧面 SBC 与底面 ABC 所成的二面角为 60° .


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