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【高中数学】高中数学平面解析几何直线与圆圆与圆的位置关系_图文

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第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 基础诊断 考点突破 课堂总结 最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位 置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;3.初步了解用代 数方法处理几何问题的思想. 基础诊断 考点突破 课堂总结 知 识 梳 理 1.直线与圆的位置关系 设圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线 l:Ax+By+C=0,圆 心 C(a,b)到直线 l 的距离为 2 2 2 ? ??x-a? +?y-b? =r , d,由? ? ?Ax+By+C=0 消去 y(或 x),得到关于 x(或 y)的一元二次方程,其判别式 为 Δ. 基础诊断 考点突破 课堂总结 方法 位置关系 相交 几何法 d<r 代数法 Δ>0 相切 相离 d=r d>r Δ=0 Δ<0 基础诊断 考点突破 课堂总结 2.圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆 的位置关系可用下表来表示: 位置关系 几何特征 外离 d>R+r 外切 d=R+r 一组实 相交 R-r<d 内切 d=R- 内含 d<R-r 无实数 <R+r r 代数特征 无实数解 公切线 条数 两组实数 一组实 数解 3 解 2 数解 1 解 0 4 基础诊断 考点突破 课堂总结 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“k = 1”是“直线 x - y + k = 0 与圆 x2 + y2 = 1 相交”的 必要不充分条件. (×) (×) ( ×) (2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则 两圆外切. (3) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相 交. (4) 从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方 程是两圆的公共弦所在的直线方程. 基础诊断 考点突破 ( √) 课堂总结 2.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是 ( A.[-3,-1] C.[-3,1] B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) ) 解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, |a-0+1| ∴ 2 2≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 1 +?-1? 答案 C 基础诊断 考点突破 课堂总结 3. (2014· 浙江卷)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2 =0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是 ( A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 解析 将圆的方程化为标准方程为 (x+1)2 +(y-1)2 =2- ) a,所以圆心为(-1,1),半径 r= 2-a,圆心到直线 x+y |-1+1+2| +2=0 的距离 d= = 2, 故 r2-d2=4, 即 2-a 2 -2=4,所以 a=-4,故选 B. 答案 B 基础诊断 考点突破 课堂总结 4.(2014· 湖南卷)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y +m=0 外切,则 m= ( A.21 B.19 C.9 D.-11 解析 圆 C1 的圆心 C1(0,0),半径 r1=1,圆 C2 的方程可化 ) 为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心 C2(3,4),半径 r2= 25-m,从而|C1C2|= 32+42=5.由两圆外切得|C1C2|=r1 +r2,即 1+ 25-m=5,解得 m=9,故选 C. 答案 C 基础诊断 考点突破 课堂总结 5.(人教 A 必修 2P133A9 改编)圆 x2+y2-4=0 与圆 x2+y2- 4x+4y-12=0 的公共弦长为________. 解析 2 2 2 ? ?x +y -4=0, 由? 2 2 ? ?x +y -4x+4y-12=0, 2 得 x-y+2=0. 2 又圆 x +y =4 的圆心到直线 x-y+2=0 的距离为 = 2. 2 由勾股定理得弦长的一半为 4-2= 2, 所以,所求弦长为 2 2. 答案 2 2 基础诊断 考点突破 课堂总结 考点一 直线与圆的位置关系问题 【例 1】 (1)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax +by=1 与圆 O 的位置关系是 ( A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 ) 3 (2)直线 y=- 3 x+m 与圆 x2+y2=1 在第一象限内有两个 不同的交点,则 m 的取值范围是 A.( 3,2) ? C.? ? ? ( ) B.( 3,3) ? 2 3? ? ? D.?1, 3 ? ? ? 基础诊断 考点突破 课堂总结 3 2 3? ? , 3 3 ? ? 解析 (1)因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,所以 a2+b2>1, |a· 0+b· 0-1| 1 而圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= = 2 < a2 + b 2 a +b2 1,故直线与圆 O 相交. (2)当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时 m =1;当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d= |m| ? 1+? ? ? 3? ?2 3? ? = 2 3 1,解得 m= 3 (切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一 2 3 象限内有两个不同的交点,则 1<m< 3 . 答案 (1)B (2)D 基础诊断 考点突破 课堂总结 规律方法 (1)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或 圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数, 或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法. (2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数 形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式 解决. 基础诊断 考点突破 课堂总结 【训

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