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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修四) 第一章三角函数 1.3.2(二) 课时作业]

时间:2015-03-25


1.3.2

三角函数的图象与性质(二)

课时目标 1.能准确迅速绘出正弦曲线和余弦曲线,并会利用图象研究函数的有关性质. 2.掌握 y=sin x 与 y=cos x 的周期、最值、单调性、奇偶性等性质,并能解决相关问题.

正弦函数、余弦函数的性质: 函数 y=sin x 图象 定义域 值域 奇偶性 周期性

y=cos x

单调性

最值

最小正周期:________ 在___________________________ _____上单调递增;在_________ __________________________ 上 单 调 递减 在______________________时, ymax=1;在__________________ ______时,ymin=-1

最小正周期:______ 在 _________________________ ___上单调递增;在______ ______________________上 单调递减 在 _______________________ 时, ymax=1; 在____ ____ 时,ymin=-1

一、填空题 1.函数 y=sin x 和 y=cos x 都递增的区间是________. 2.函数 y=sin x-|sin x|的值域为________. 3.函数 f(x)=|sin x|的单调递增区间是__________. 4.函数 y=sin2x+sin x-1 的值域是________. 5.sin 1,sin 2,sin 3 按从小到大排列的顺序为__________________. 6.函数 y= 2cos2x+5sin x-1的值域是________. 3 3 sin π?与 sin?cos π?的大小关系是______. 7.sin? ? 8 ? ? 8 ? π ? ? 3 ? 8.已知 sin α>sin β,α∈? ?-2,0?,β∈?π,2π?,则 α+β 与 π 的大小关系是________. 9.欲使函数 y=Asin ωx(A>0,ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现 50 个最小值,则 ω 的最小 值是________. 10.已知奇函数 f(x)在[-1,0]上为单调递减函数,又 α、β 为锐角三角形两内角,则下列 结论正确的序号是________. ①f(cos α)>f(cos β); ②f(sin α)>f(sin β); ③f(sin α)>f(cos β); ④f(sin α)<f(cos β). 二、解答题 11.判断函数 f(x)=ln(sin x+ 1+sin2x)的奇偶性.

π? ? π? 12.已知函数 f(x)=2asin? ?2x-3?+b 的定义域为?0,2?,最大值为 1,最小值为-5,求 a 和 b 的值.

能力提升 π π? 13.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间? ?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ________. 14.设 0<a≤2,且函数 f(x)=cos2x-asin x+b 的最大值为 0,最小值为-4,求 a,b 的值.

1.判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则,即先求定义域,看它是否关于原点对 称. 2.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函 数值的大小比较,再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用求法 将 y 表示成以 sin x(或 cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函 数的单调性等来确定 y 的范围.

1.3.2
知识梳理 R R [-1,1] [-1,1]

三角函数的图象与性质(二)
偶函数 2π 2π

π π π [- +2kπ, +2kπ](k∈ Z) [ + 2 2 2 3π π 2kπ, +2kπ] (k∈Z) [-π+2kπ,2kπ] (k∈Z) [2kπ,π+2kπ] (k∈Z) x= +2kπ (k∈ 2 2 π Z) x=- +2kπ (k∈Z) x=2kπ (k∈Z) x=π+2kπ (k∈Z) 2 作业设计 π 1.[2kπ- ,2kπ],k∈Z 2 2.[-2,0] ? sin x≥0, ?0, 解析 y=sin x-|sin x|=? ?2sin x, sin<0. ? ∴y∈[-2,0]. π? 3.? ?kπ,kπ+2?,k∈Z π 解析 f(x)=|sin x|的周期 T=π, 且 f(x)在区间[0, ]上单调递增, ∴f(x)的单调增区间为[kπ, 2 π kπ+ ],k∈Z. 2 5 - ,1? 4.? ? 4 ? 1 5 解析 y=sin2x+sin x-1=(sin x+ )2- , 2 4 1 5 当 sin x=- 时,ymin=- ; 2 4 当 sin x=1 时,ymax=1. 5.sin 3<sin 1<sin 2 π 解析 ∵1< <2<3<π, 2 sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3. π? π y=sin x 在? ?0,2?上递增,且 0<π-3<1<π-2<2, ∴sin(π-3)<sin 1<sin(π-2), 即 sin 3<sin 1<sin 2. 6.[0,2] 解析 ∵2cos2x+5sin x-1 =-2sin2x+5sin x+1 奇函数

5 33 =-2(sin x- )2+ . 4 8 ∵-1≤sin x≤1,∴2cos2x+5sin x-1∈[-6,4]. ∵2cos2x+5sin x-1≥0,∴y∈[0,2]. 3 ? ? 3 ? 7.sin? ?sin8π?>sin?cos8π? 3 π 解析 ∵cos π=sin , 8 8 3 3 ∴0<cos π<sin π<1. 8 8 而 y=sin x 在[0,1]上单调递增. 3 ? ? 3 ? ∴sin? ?sin8π?>sin?cos8π?. 8.α+β>π 3 ? 解析 ∵β∈? ?π,2π?, π ? ∴π-β∈? ?-2,0?,且 sin(π-β)=sin β. π - ,0?上单调递增, ∵y=sin x 在 x∈? ? 2 ? ∴sin α>sin β?sin α>sin(π-β) ?α>π-β?α+β>π. 199 9. π 2 解析 要使 y 在闭区间[0,1]上至少出现 50 个最小值, 3 则 y 在[0,1]上至少含 49 个周期, 4 3 49 T≤1 4 199 即 ,解得 ω≥ π. 2 2π T= ω

? ? ?

10.④ π π π 解析 ∵α+β> ,∴ >α> -β>0, 2 2 2 π ? ∴sin α>sin? ?2-β?,即 sin α>cos β. ∴-1<-sin α<-cos β<0, ∵f(x)在[-1,0]上单调递减, ∴f(-sin α)>f(-cos β), ∴-f(sin α)>-f(cos β),∴f(sin α)<f(cos β). 11.解 ∵sin x+ 1+sin2x≥sin x+1≥0, 若两处等号同时取到,则 sin x=0 且 sin x=-1 矛盾, ∴对 x∈R 都有 sin x+ 1+sin2x>0. ∵f(-x)=ln(-sin x+ 1+sin2x) =ln( 1+sin2x-sin x) - =ln( 1+sin2x+sin x) 1 =-ln(sin x+ 1+sin2 x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. π π x 2 12.解 ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ π, 2 3 3 3

π? 3 ≤sin? ?2x-3?≤1,易知 a≠0. 2 当 a>0 时,f(x)max=2a+b=1, f(x)min=- 3a+b=-5. ∴-

?a=12-6 3 ?2a+b=1 由? ,解得? . ?- 3a+b=-5 ?b=-23+12 3
当 a<0 时,f(x)max=- 3a+b=1, f(x)min=2a+b=-5.

?a=-12+6 3 ?- 3a+b=1 由? ,解得? . ?2a+b=-5 ?b=19-12 3 3 13. 2
π π T π 3 要使函数 f(x)=2sin ωx (ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2,则应有 ≤ 或 3 4 4 3 4 π 2π π 6π 3 T≤ ,即 ≤ 或 ≤π,解得 ω≥ 或 ω≥6. 4 4ω 3 ω 2 3 ∴ω 的最小值为 . 2 14.解 f(x)=-sin2x-asin x+b+1 a a2 =-(sin x+ )2+b+1+ , 2 4 a ∵0<a≤2,∴-1≤- <0. 2 a a2 当 sin x=- ,f(x)max=b+1+ , 2 4 当 sin x=1 时,f(x)min=b-a. a2 ? ?b+1+ 4 =0, 故由题意知,? 解析

?b-a=-4, ?

?a=2, ? ∴? ?b=-2. ?


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