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江苏省宿迁市沭阳县2014-2015学年高一数学下学期期中调研测试试题苏教版

时间:2018-10-04

2014~2015 学年度第二学期期中调研测试 高一数学试题
本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题—第 14 题) 、解答题(第 15 题—第 20 题) 。本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置 上.

x ?1 ?0 1.不等式 x ? 2 的解集是
2.已知数列



. ▲ .

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2n ? 1,则 a3 ?
?an ? 中, a ? , ,则 6
▲ .

3.在等比数列

4.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 则 cos C ?



. ▲ .

5.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, a ? 2, A ? 45?, B ? 60?, 则 b ? 6.在等差数列中, ,则数列的前项和
?



. ▲ ▲ . ▲ . . .

7.在 ?ABC 中, A ? 60 , AC ? 3 , AB ? 2 ,那么 BC 的长度为

?1, 2? ,则 a = 8.若关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 ? 0 的解集是
2

9.在 ?ABC 中, a ? 2b cos C, 则 ?ABC 的形状为 10.已知数列



{an } 是等差数列,且 a2 ? a5 ? a8 ? ? ,则 sin a5 ?

a9 ? a10 1 ? a1 , a3 , 2a2 {a } a ? a8 2 11.若等比数列 n 的各项均为正数, 且 成等差数列,则 7
12.已知等差数列

▲ . .
?

{an } 中, a1 ? ?3, 11a5 ? 5a8 , 则前 n 项和 Sn 的最小值为
?



13.已知向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a 与 b 的夹角等于 120 , b 与 c 的夹角等于 135 ,

c ?3

,则

a ?





14.数列

{an } 满足

a1 ? 1 ,

1 1 ? 2 ? 4, an?1 an



Sn ? a ? a ?
2 1 2 2

?a , 若
2 n

S 2 n?1 ? S n ?

m 30

对任意 n ? N * 恒成立,则正整数 m 的最小值是





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 设数列

{an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? n2 ? 2n. {an } 的通项公式;

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)证明

{an } 是等差数列.

16. (本题满分 14 分) 在 半 径 为 R 的 圆 的 内 接 四 边 形 ABCD 中 , AB ? 2
? , BC ? 4 , ?ABC ? 120 ,

AD ? CD ? 10 .

D

求: (Ⅰ) AC 的长及圆的半径 R ; (Ⅱ)四边形 ABCD 的面积.

C A B

17. (本题满分 14 分) 已知等差数列

{an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n , 数列 {bn } 为等比数列,且

b1 ? 1, b2 S2 ? 16 , b3 S3 ? 60 .
求: (Ⅰ)数列

{an } 与 {bn } 的通项公式;

1 1 ? ? S S2 (Ⅱ) 1

?

1 Sn .

18. (本题满分 16 分) 如图,一船由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为 ? ,前进 5km 后到达 B 处,测 得岛 M 的方位角为 ? .已知该岛周围 3km 内有暗礁,现该船继续东行. (Ⅰ)若 ? ? 2? ? 60 ,问该船有无触礁危险?
?

(Ⅱ)当 ? 与 ? 满足什么条件时,该船没有触礁的危险?

M

A

B

C

19. (本题满分 16 分)
2 * 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? N ) ,若不等式 f ( x) ? 2 x 的解集为 (1, 4) ,且方程

f ( x) ? x 有两个相等的实数根.
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? mx 在 x ? (1, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)解不等式 f ( x) ? mx.(m ? R)

20. (本题满分 16 分) 如图,将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并 擦去中间一段,得图(2).如此继续下去,得图(3)……,记第 n 个图形的边长 (Ⅰ)求数列

an 、周长为 bn .

{an } 、 {bn } 的通项公式;
Sn ? 2 3 5 .

S , S ? n ? 2? S (Ⅱ)若第 n 个图形的面积为 n ,试探求 n n?1 满足的关系式,并证明

(1)

(2)

(3 )

n a ? ? 2 a8 ? 15 7, Sa ? ?16 5 2 4 nn

2014~2015 学年度第二学期期中调研测试 高一数学参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置 上.

x ?1 ?0 ?x | x ? ?2或x ? 1? . 1.不等式 x ? 2 的解集是
2.已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2n ? 1,则 a3 ?
?an ? 中, a ? , ,则 6
32 .

4



3.在等比数列

4.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 则 cos C ?

?

1 4 .

5.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, a ? 2, A ? 45?, B ? 60?, 则 b ? 6.在等差数列中, ,则数列的前项和 n
2

3.



? 7.在 ?ABC 中, A ? 60 , AC ? 3 , AB ? 2 ,那么 BC 的长度为 7 .

?1, 2? ,则 a = 8.若关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 ? 0 的解集是
2

3

. .

9. 在 ?ABC 中, a ? 2b cos C, 则 ?ABC 的形状为 等腰三角形

3 { a } a ? a ? a ? ? sin a ? 5 8 5 2 . 10.已知数列 n 是等差数列,且 2 ,则
a9 ? a10 1 ? a1 , a3 , 2a2 { a } a ? a 3? 2 2 . 2 n 7 8 11.若等比数列 的各项均为正数, 且 成等差数列,则
12.已知等差数列

{an } 中, a1 ? ?3,11a5 ? 5a8 , 则前 n 项和 Sn 的最小值为
?

-4


?

13.已知向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a 与 b 的夹角等于 120 , b 与 c 的夹角等于 135 ,

c ?3

,则

a ?

6 .

{a n }满足a1 ? 1, a n ?1
14.数列

1 2 2 ? 4 ? 1, 记S n ? a12 ? a 2 ?? ? a n , S ?S ? m 2 2 n ?1 n an 30 若
10 .

对任意 n ? N * 恒成立,则正整数 m 的最小值是

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)

设数列

{an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? n2 ? 2n. {an } 的通项公式;

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)证明

{an } 是等差数列.

15.解: (Ⅰ)因为 当 n ? 2 时,
*

Sn ? n2 ? 2n, 所以a1 ? S1 ? 3. ………………………………………2 分

an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 2n ? [(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 2n ? 1, …………………5 分
an ? 2n ? 1.
……………………………………8 分 ……………12 分

则当 n ? N ,都有 (Ⅱ)因为 所以

an?1 ? an ? 2(n ? 1) ? 1 ? (2n ? 1) ? 2,

{an } 是首项为 3,公差为 2 的等差数列. ………………………………………14 分
? , BC ? 4 , ?ABC ? 120 ,

16. (本题满分 14 分) 在 半 径 为 R 的 圆 的 内 接 四 边 形 ABCD 中 , AB ? 2

AD ? CD ? 10 .
求: (Ⅰ) AC 的长及圆的半径 R ; (Ⅱ)四边形 ABCD 的面积.

D

C A B

16





: (







? ABC



















1 AC ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 22 ? 42 ? 2 ? 2 ? 4 ?? ? 2 7. 2 ………4 分
由 正 弦 定 理 得 :

2R ?

AC 2 7 4 21 2 21 ? ? ,R ? . sin ?ABC 3 3 3 2

…………………………7 分

(Ⅱ)设 AD ? m, CD ? n, m ? n ? 10

AC 2 ? m 2 ? n 2 ? mn ? ? m ? n ? ? 3mn. 在 ? ACD 中,由余弦定理得,
2

…………9 分

即 28 ? 100 ? 3mn,? mn ? 24.

…………11 分



S?ACD ?

1 1 mn sin 60? ? 6 3, S?ABC ? ? 2 ? 4 ? sin120? ? 2 3. 2 2

…………13 分

所以四边形 ABCD 的面积为 8 3. 17. (本题满分 14 分) 已知等差数列

…………………………14 分

{an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n , 数列 {bn } 为等比数列,且

b1 ? 1, b2 S2 ? 16 , b3 S3 ? 60 .
求: (Ⅰ)数列

{an } 与 {bn } 的通项公式;
? 1 Sn .

1 1 ? ? S S2 1 (Ⅱ)
17.解(Ⅰ)设

{an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d ? 0 ,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1.

?(6 ? d )q ? 16, ? (9 ? 3d )q 2 ? 60. ………………………3 分 依题意有 ?

6 ? d ?? ? ? 5 ?d ? 2 ? 10 ?q ? ? ? q ? 2 3 (舍去). 解得 ? 或?


……………………………5 分 ………………………………………7 分 ……………………………9 分

an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 2n?1 .
Sn ? 3 ? 5 ?
?

(Ⅱ)?

? (2n ? 1) ? n(n ? 2),
?

1 1 ? ? S ? 1 S2

1 1 1 1 ? ? ? ? Sn?1 Sn 1? 3 2 ? 4

1 1 ? (n ? 1)(n ? 1) n(n ? 2)

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ?

1 ? ?1 1 ?? ? 1 ?? ? ??? ? ?? ? n ?1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ? ? ………………12 分

1? 1 1 1 ? n(3n ? 5) ? ?1 ? ? ? . ?? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4(n ? 1)(n ? 2)
18. (本题满分 16 分)

……………………14 分

如图,一船由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为 ? ,前进 5km 后到达 B 处,测 得岛 M 的方位角为 ? .已知该岛周围 3km 内有暗礁,现该船继续东行. (Ⅰ)若 ? ? 2? ? 60 ,问该船有无触礁危险?
?

(Ⅱ)当 ? 与 ? 满足什么条件时,该船没有触礁的危险?

18. (Ⅰ)在△ABM 中可知,AB=BM=5,

……………………4 分

5sin 60? ?
从而 MC=

5 3 ?3 2 ,没有触礁危险。

……………………8 分

AB BM ? (Ⅱ)设 CM=x,在△ABM 中由正弦定理得, sin ?AMB sin ?MAB , ……12 分

5


sin(? ? ? )

?

x 5cos ? cos ? x? cos ? cos ? ,解得 sin(? ? ? ) ,

……………………14 分

5cos ? cos ? ?3 所以当 sin(? ? ? ) 时没有触礁危险.
19. (本题满分 16 分)

……………………16 分

2 * 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? N ) ,若不等式 f ( x) ? 2 x 的解集为 (1, 4) ,且方程

f ( x) ? x 有两个相等的实数根.
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? mx 在 x ? (1, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)解不等式 f ( x) ? mx.(m ? R) 19. (Ⅰ)由题意,1,4 是方程

ax2 ? ?b ? 2? x ? c ? 0

的两根,且 a ? 0,

2?b ? 1? 4 ? ? ?b ? 2 ? 5a ? a ,? ? , ? ?c ? 4 a ?1? 4 ? c ? a 由韦达定理得, ? ……………………………2 分

? b ? 1? ? 4ac ? 0, 因为方程 f ( x) ? x 有两个相等的实数根,所以
2

1 消去 b, c 得 a ? 1 或 9 (舍去) , b ? ?3, c ? 4. ……………………………4 分
所以

f ? x ? ? x2 ? 3x ? 4. x2 ? ? m ? 3? x ? 4 ? 0

……………………………5 分 在 x ? (1, ??) 上恒成立,

(Ⅱ)由题意,不等式



g ? x ? ? x2 ? ? m ? 3? x ? 4,

x?
其图像的对称轴方程为
2

m?3 . 2 …………6 分

? m ? 3 ? 16 ? ? m ? 3? m?3 g? ? 0, ?1 ?? 4 当 2 即 m ? ?1 时,有 ? 2 ? 得 ?1 ? m ? 1; ………8 分
m?3 ?1 g ?1? ? 2 ? m ? 0, m ? ?1; 当 2 即 m ? ?1 时,有 得
综上, m ? 1. (Ⅲ)方程 ………10 分 的判别式

x2 ? ? m ? 3? x ? 4 ? 0

? ? m ? 3? ? 16
2

当 ? ? 0 即 ?7 ? m ? 1 时,不等式的解集为 R;

………12 分 ………13 分 ………14 分 不 等 式 的 解 集 为

?x | x ? ?2?; 当 ? ? 0 时: m ? ?7 时,不等式的解集为
m ? 1 时,不等式的解集为 ?x | x ? 2?;


??0



m ? ?7或m ? 1





? ? m ? 3 ? m 2 ? 6m ? 7 m ? 3 ? m 2 ? 6m ? 7 ? ? x | x ? 或 x ? ? ?. 2 2 ? ? ? ?

………16 分

20. (本题满分 16 分) 如图,将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并 擦去中间一段,得图(2).如此继续下去,得图(3)……,记第 n 个图形的边长 (Ⅰ)求数列

an 、周长为 bn .

{an } 、 {bn } 的通项公式;

(Ⅱ)若第 n 个图形 的面积为

Sn ,试探求
满足
(1) (2 ) (3 )

Sn , Sn?1 , ? n ? 2?

的关系式,并证明

2 3 : Sn ? 5 .

1 , 20.解: (Ⅰ)由题意知,从第 2 个图形起,每一个图形的边长均为上一个图形边长的 3 所以

?1? 1 an ? ? ? {a } ? 3? 数列 n 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,则
设第 n 个图形的边数为

n ?1

.
………2 分

cn ,因为第 1 个图形的边数为 3,从第 2 个图形起,每一个图形的边数

均为上一个图形边数的 4 倍,则

cn ? 3? 4n?1.
n ?1

………4 分

?1? an ? cn ? ? ? b ? 3? 因此,第 n 个图形的周长 n =
S1 ? 3 4 ,当 n ? 2 时,

? ?3? 4

n ?1

4? ? ? 3? ? ? ? ? 3?

n ?1

.
………6 分

(Ⅱ)

………8 分
2

n ?1 n ?1 ? 3 2? 3 ?? 1 ? ? 3 3 ?4? n?2 Sn ? Sn?1 ? cn?1 ? ? ? a ? S ? 3 ? 4 ? ? ? S ? ? ?? ? ? n ?1 ? ? . ? 4 n ? ? n?1 4 3 16 ? ? ?9? ? ? ? ? ? ? ………12 分

Sn ? S1 ? ? S2 ? S1 ? ? ? S3 ? S 2 ? ? ? 3 3 3 ?4 ? 4 ? ? 4 ? ? ? ?? ? ?? ? ? 4 16 ? ?9 ? 9 ? ? 9 ?
2 3

? ? S n ? S n ?1 ? ?4? ?? ? ?9?
n ?1

? ? ? ?

n ?1 4 ? ?4? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 3 3 9 ? ? ?9? ? ? ? ? ? 4 4 16 1? 9

2 3 3 3 ?4? ? ? ?? ? 5 20 ? 9 ?

n ?1

,
………………………………15 分

? Sn ?

2 3 . 5

………………………………16 分


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