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2016届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:3-4 定积分与微积分基本定理(共54张PPT)_图文

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第 4 课时 定积分与微积分基本定理 2014?考纲下载 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解 定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 请注意! 本节为新教材新增内容,高考中多以选择填空题形式考查, 主要借助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识. 1.定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi- 1<xi<…<xn=b,将区间[a,b]等分成 - n 个小区间,在每个区间[xi 1 , xi] 上 取 一 点 ξi(i = 1,2 , … , n) , 作 和 式 ,当 n→+∞时,上述和式无限接近某个常数, ?b ? f(x)dx ?b ? 这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上定积分,记作 ?a ,即? ? ? = a f(x)dx= . 其定义体现求定积分的四个步骤: ① 分割 ;② 近似代替 ;③ 取和 ;④ 取极限 . 2.定积分运算律 b k? ? f(x)dx ? b ?a (1)? ? kf(x)dx= ? ?a ; ?a b (2)? f2(x)]dx= ? [f1(x)± ? ?a ?b ? ? ?a ?b f1(x)dx± ? f2(x)dx ? ; . b (3)? ? f(x)dx= ? ?a ?c ? ? ?a b f(x)dx+? ? f(x)dx(a<c<b) ? ?c 3.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x) ?b ? ? ?a =f(x),那么 基本定理. f(x)dx=F(x)| b a=F(b)-F(a) ,这个结论叫做微积分 4.定积分的几何和物理应用 (1) ① 如 图 所 示 , 由 曲 线 y1 = f1(x) , y2 = f2(x)( 不 妨 设 f1(x)≥f2(x)≥0)及直线 x=a,x=b(a<b)围成图形的面积为: S= f1(x)dx- f2(x)dx a a ?b ? ? ? ?b ? ? ? ②如图所示,在区间[a,b]上,f(x)≤0,则曲边梯形的面积 为: S=| f(x)dx|=- f(x)dx a a ?b ? ? ? ?b ? ? ? (2)作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a,b]上的定积分,即 ?b ? v(t)dt ? ?a s= . (3)如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动, 并且物体沿着 与 F(x)相同的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做 ?b ? F(x)dx ? 的功 W= ?a . 1 x 1.? ? (e +2x)dx 等于( ? ?0 ) B.e-1 D.e+1 A.1 C.e 答案 C 解析 ?1 x x 2 ? ?1 ? (e +2x)dx=(e +x )? ? ?0 ? 0 =(e1+1)-e0=e,故选 C. 2.一个弹簧压缩 x cm 产生 4x N 的力,那么将它从自然长 度压缩 0.05 cm 所做的功是( A.50 J C.500 J 答案 B ) B.0.5 J D.5 J T 2 3.(2013· 湖南)若? ? x dx=9,则常数 T 的值为________. ? ?0 答案 3 ?T ? ? ?0 1 3 解析 ∵ x dx=3T =9,T>0,∴T=3. 2 4.(2012· 湖北)已知二次函数 y=f(x)的图像如图所示,则它 与 x 轴所围图形的面积为( ) 2π A. 5 3 C.2 4 B.3 π D.2 答案 B 解析 由题意知二次函数 f(x)=-x2+1, 它与 x 轴所围图形 的 面 积 为 故选 B. = 5.(2012· 山东)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所 围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________. 4 答案 9 【解析】 ?2 ? ? ?1 1 2 3 (1)函数 y=2x -x 的一个原函数是 y=3x -lnx, 2 1 2 3 所以 (2x -x )dx=(3x -lnx)| 2 1 2 16 2 14 = 3 -ln2-3= 3 -ln2. 1 2 1 ?3 (2) ( x+ ) dx=? (x+x +2)dx ? x ? ?3 ? ? ?2 2 1 2 =(2x +lnx+2x)| 3 2 9 =(2+ln3+6)-(2+ln2+4) 3 9 =ln2+2. (5)y= 1-x2,∴x2+y2=1,y≥0. ∴ ∴ ?1 ? ? ? 0 1 1-x dx 几何意义为4个圆的面积. 2 ?1 ? ? ?0 1 1-x dx=4π. 2 14 3 9 1 1 π 【答案】 (1) 3 -ln2 (2)ln2+2 (3)-4 (4)2 (5)4 探究 1 (1)求定积分借助微积分基本定理, 关键是求出被积 函数的原函数, 求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆 运算,因此应注意掌握一些常用函数的导数.此外,如果被积函 b 数是绝对值函数与分段函数, 那么可以利用定积分的性质? ? f(x)dx ? ?a c ?b =? ? f(x)dx+? f(x)dx,根据函数的定义域,将积分区间分解为若干 ? ? ?a ?c 部分,代入相应的解析式,分别求出积分值,相加即可. (2)对于不便求出被积函数的原函数的,可考虑用定积分的 几何意义求解. 思考题 1 求下列积分. 3 x 2 2 ?2 2 ?2 ?2 |2 【解析】 (1)? ? (x +2x+1)dx=? x dx+? 2xdx+? 1dx= 1+ ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 1 1 1 1 19 2 2 2 | | x 1+x 1=

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