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2019年高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5_图文

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第二章 数 列 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式

课标要求:1.通过实例,了解数列的概念.2.掌握数列的两种分类,能对具体 数列作出判断.3.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写出数列 的通项公式.4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题.

自主学习
知识探究
1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的 项 . 2.数列的表示 数列中的每一项都和它的 序号 有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通 常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个 数列的第n项. 数列的项通常用字母加右下角标表示,其中右下角标表示项的位置序号,所以,数列 的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},例如,数列1,2,3,4,…,n,…, 可以简记为{n}. 我们还应注意到这里{an}与an是不同的:{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…;而an只表 示这个数列的第n项.这里{an}是数列的简记符号,并不表示一个集合.

(1)数列与集合的区别 数列

集合

数列中的项是有 集合中的元素是

序的

无序的

区 数列中的项可以 集合中的元素不

别 重复

能重复

数列的各项必须 是数

集合中的元素可 以是数、图形、 字母等

示例
数列1,2,3,4与4,3,2,1是 不同的数列;{1,2,3,4}与 {4,3,2,1}是相同的集合
数列1,-1,1,-1,…,构成集 合的元素则不可以重复
a,b,c不一定构成数列,但 可以构成集合

(2)数列与函数的区别与联系

数列

函数

区别

函数的定义域是实数 数列的定义域是正整数集


数列的图象是孤立的点

函数的图象是光滑的 曲线

联系

对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义, 那么我们可以得到一个数列

3.数列的分类

序号 1

分类标准
按项的 个数

2

按项的变 化趋势

名称 有穷数列 无穷数列 递增数列
递减数列 常数列
摆动数列

含义
项数有限的数列
项数无限的数列
从第2项起,每一项都大于它的 前一项的数列
从第2项起,每一项都小于它的 前一项的数列
各项相等的数列
从第2项起,有些项大于它的前 一项,有些项小于它的前一项的 数列

例子 1,2,3,4,…,100 1,4,9,…,n2,…
3,4,5,…,n

1, 1 , 1 ,…, 1

23

2012

6,6,6,6,…

1,-2,3,-4,…

3

按项的 绝对值

有界数列 无界数列

项的绝对值小于某 一正值
不存在某一正值能 使任一项的绝对值 小于它

1,-1,1,-1,1, -1,…
1,2,3,4,…

4.通项公式的定义
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这 个公式叫做这个数列的通项公式.如数列2,4,6,8的通项公式是an=2n(1≤n ≤4,n∈N*);全体正偶数组成数列的通项公式是an=2n(n∈N*).

5.对数列通项公式的理解

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,…,n}

为定义域的函数表达式.

(2)正如有些函数关系不一定有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公

式.例如,的不同近似值,精确到1,0.1,0.01,0.001,0.000 1,…所构成的数

列1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…就没有通项公式.

(3)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.例如:数列-1,1,-1,

1,…的通项公式可以写成an=(-1)n(n∈N*),也可以写成an= (4)数列通项公式的作用

??1(n为奇数), ??1(n为偶数).

依次用1,2,3,…代替公式中的n就可以求出数列的各项;用数列的通项公式

可以判断某数是否是数列中的项;借助通项公式能有利于对数列各种性质的

研究.

(5)掌握以下数列的通项公式
数列 1,2,3,4,… 1,3,5,7,… 2,4,6,8,… 1,4,9,16,… 1,2,4,8,… -1,1,-1,1,… 9,99,999,9 999,…
3,33,333,…
1, 1 , 1 , 1 ,… 234

通项公式 an=n
an=2n-1 an=2n an=n2 an=2n-1 an=(-1)n an=10n-1
an= 1 (10n-1) 3
an= 1 n

自我检测
1.下面三个结论: ①1,1,1,1,…是数列; ②cos 0,sin 1,tan 2不是数列; ③-3,-2,1,x,2,3,y,6是一个项数为8的数列. 其中正确的有( B ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

解析:①正确,是按一定次序排列的一列数,符合定义.②错误.cos 0, sin 1,tan 2都是数,而且是按一定次序排列的,所以它是数列.③错误. 因为数列必须是由一列数按一定次序排列而成,但x,y不一定为数.故 选B.

2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( C ) (A)1, 1 , 1 , 1 ,…
234 (B)-1,-2,-3,-4,… (C)-1,- 1 ,- 1 ,- 1 ,…
248 (D)1, 2 , 3 ,… n

解析:对于 A,an= 1 ,n∈N*,它是无穷递减数列; n
对于 B,an=-n,n∈N*,它也是无穷递减数列; D 是有穷数列;对于 C,an=-( 1 )n-1,
2 它是无穷递增数列.故选 C.

3.数列 2 , 4 , 6 , 8 ,…的第 10 项是( C )
3579

(A) 16 17

(B) 18 19

(C) 20 21

(D) 22 23

解析:由数列的前 4 项可知,数列的一个通项公式为 an= 2n ,当 n=10 时,a10= 2 ?10

2n ?1

2 ?10 ? 1

= 20 .故选 C. 21

4.已知数列 1 , 2 , 3 , 4 ,…,则这个数列的通项公式为

.

2345

解析:分子是序号,分母为序号加上 1, 故通项公式为 an= n .
n ?1 答案:an= n
n ?1

5.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=

.

解析:法一 a1=(-1)1×(3×1-2)=-1,a2=(-1)2×(3×2-2)=4,a3=(-1)3× (3×3-2)=-7,a4=(-1)4×(3×4-2)=10,a5=(-1)5×(3×5-2)=-13,a6= (-1)6×(3×6-2)=16,a7=(-1)7×(3×7-2)=-19,a8=(-1)8×(3×8-2)=22, a9=(-1)9×(3×9-2)=-25,a10=(-1)10×(3×10-2)=28,则a1+a2+…+a10= -1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+
(-19+22)+(-25+28)=3×5=15.
法二 事实上,an+1=(-1)n+1[3(n+1)-2],则an+an+1=3(n为奇数),从而a1+a2 =a3+a4=…=a9+a10=3,则a1+a2+…+a10=5×3=15. 答案:15

课堂探究
题型一 数列的概念与分类

【例 1】 已知下列数列:

(1)2 014,2 016,2 018,2 020,2 022;(2)0, 1 , 2 ,…, n ? 1 ,…;

23

n

(3)1, 1 , 1 ,…, 1 ,…;(4)1,- 2 , 3 ,…, (?1)n?1 ? n ,…;

24

2n ?1

35

2n ?1

(5)1,0,-1,…,sin nπ ,…;(6)9,9,9,9,9,9. 2

其中,有穷数列是

,无穷数列是

,递增数列是

,递减数列是

,

常数列是

,摆动数列是

.

解析:分析可知:(1)是有穷递增数列;

(2)是无穷递增数列(因为 n ? 1 =1- 1 );

n

n

(3)是无穷递减数列;

(4)是摆动数列,是无穷数列;

(5)是摆动数列,是无穷数列;

(6)是常数列,是有穷数列.

答案:(1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)

方法技巧 (1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列时主要分析它的 项数是有限的,还是无限的. (2)判断一个数列的增减性主要分析每一项与其前一项的大小关系.

即时训练 1-1:下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增数列?哪 些是递减数列?哪些是摆动数列?哪些是常数列?

(1)1, 1 , 1 ,…, 1 ,…;(2)1,3-1,3-2,…,3-63;

23

n

(3)1,-0.1,0.12,…,(-0.1)n-1,…;(4)10,20,40,…,1 280;

(5)-1,2,-1,2,…;(6)6,6,6,….

解:(2),(4)是有穷数列,(1),(3),(5),(6)是无穷数列,(4)是递增数列 (1)(2)是递减数列,(3)(5)是摆动数列,(6)是常数列.

题型二 根据数列的前几项写出通项公式
【例 2】 写出下列数列的一个通项公式. (1)3,5,9,17,33,…; (2)1 1 ,2 2 ,3 3 ,4 4 ,…;
2345

解:(1)数列可记为 21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…,所以数列的一个通项公式为 an=2n+1. (2)数列的整数部分 1,2,3,4,…恰好是项数 n,分数部分 1 , 2 , 3 , 4 ,…用项数可以表示
2345

为 n ,所以数列的一个通项公式为 an=n+ n = n2 ? 2n .

n ?1

n ?1 n ?1

(3)7,77,777,7 777,…;

(4) 2 ,-1, 10 ,- 17 , 26 ,…;

3

7 9 11

解:(3)将原数列改写为 7 ×9, 7 ×99, 7 ×999,…,易知数列 9,99,999,9 999,…的一个

9

9

9

通项公式为 an=10n-1,故所求数列的一个通项公式为 bn= 7 (10n-1).

9
(4)数列的偶数项为负,奇数项为正,故通项公式必含有因式(-1)n+1,第 2

项-1

改写成-

5

后,

5

数列各项的分母依次为 3,5,7,9,11,…与项数 n 的关系可记为 2n+1,而各项分子为

2,5,10,17,26, … , 与 项 数 n 的 关 系 可 记 为 n2+1, 所 以 数 列 的 一 个 通 项 公 式 为

an=(-1)n+1· n2 ? 1 . 2n ?1

(5)0, 22 ? 2 , 32 ? 3 , 42 ? 4 ,…;(6)1,- 2 , 4 ,- 8 ,….

5

10 17

35 7

解:(5)因为

5=22+1,10=32+1,17=42+1,…所以数列的一个通项公式为

an=

n2 n2

?n ?1

.

(6)原数列可写成 20 ,- 21 , 22 ,- 23 ,…,所以数列的一个通项公式为 an=(-1)n+1· 1 35 7

2n?1 . 2n ?1

方法技巧 (1)根据数列的前几项写通项公式的方法 ①统一项的结构,如都化成分数、根式等. ②分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对 应序号间的函数关系式. ③对于符号交替出现的情况,可观察其绝对值,再以(-1)n或(-1)n+1(n∈N*)调 节符号. ④对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期 函数,如三角函数等求通项. (2)熟练掌握一些基本数列的通项公式 ①数列-1,1,-1,1…的通项公式是an=(-1)n. ②数列1,2,3,4,…的通项公式是an=n. ③数列1,3,5,7,…的通项公式是an=2n-1.

④数列2,4,6,8,…的通项公式是an=2n. ⑤数列1,2,4,8,…的通项公式是an=2n-1. ⑥数列1,4,9,16,…的通项公式是an=n2.

⑦数列 1, 1 , 1 , 1 ,…的通项公式是 an= 1 .

234

n

即时训练 2-1:根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.

(1)-1,7,-13,19,…;(2)0.8,0.88,0.888,…;(3) 1 , 1 ,- 5 , 13 ,- 29 , 61 ,…; 2 4 8 16 32 64

解:(1)第一项为负且所有项正负相间隔.因此符号可用(-1)n 调节,其各项的绝对值的排列规

律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大 6,故它的一个通项公式为 an=(-1)n(6n-5).

(2)将数列变形为 8 (1-0.1), 8 (1-0.01), 8 (1-0.001),…,所以它的一个通项公式为 an=

9

9

9

8 (1- 1 ). 9 10n (3)各项的分母分别为 21,22,23,24,…,易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1

项变为- 2 ? 3 ,至此原数列已化为- 21 ? 3 , 22 ? 3 ,- 23 ? 3 , 24 ? 3 ,…所以它的一个通项公式

2

21

22

23

24



an=(-1)n·

2n ? 2n

3

.

(4) 3 ,1, 7 , 9 ,…;(5)3,5,7,9,11,…;(6) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ,…;

2 10 17

3 15 35 63 99

解:(4)将数列统一为 3 , 5 , 7 , 9 ,…对于分子 3,5,7,9,… 2 5 10 17

是序号的 2 倍加 1,可得分子的一个通项公式为 bn=2n+1, 对于分母 2,5,10,17,…联想到数列 1,4,9,16,… 即数列{n2},可得分母的一个通项公式为 cn=n2+1,

所以可得原数列的一个通项公式为

an=

2n n2

?1 ?1

.

(5)an=2n+1(n∈N*).

(6)an=

2n

(n∈N*).

(2n ? 1)(2n ? 1)

(7)0,1,0,1,0,1,…;(8)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…; (9)2,-6,12,-20,30,-42,….
解:(7)an= 1 ? (?1)n (n∈N*). 2
(8)将数列变形为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,所以 an=n+ 1 ? (?1)n (n∈N*). 2
(9)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,…,所以an=(-1)n+1n (n+1)(n∈N*).

题型三 数列通项公式的应用
【例 3】 已知数列{ 9n2 ? 9n ? 2 }. 9n2 ?1
(1)求这个数列的第 10 项; (2) 98 是不是该数列中的项,为什么? 101
解:设 f(n)= 9n2 ? 9n ? 2 = (3n ? 1)(3n ? 2) = 3n ? 2 . 9n2 ?1 (3n ? 1)(3n ? 1) 3n ?1
(1)令 n=10,得第 10 项 a10=f(10)= 28 . 31
(2)令 3n ? 2 = 98 ,得 9n=300. 3n ?1 101
此方程无正整数解,所以 98 不是该数列中的项. 101

(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.

解:(3)因为 an= 3n ? 2 = 3n ? 1 ? 3 =1- 3 ,

3n ?1 3n ? 1

3n ? 1

又 n∈N*,所以 0< 3 <1, 3n ? 1
所以 0<an<1.即数列中的各项都在区间(0,1)内.

方法技巧 (1)数列的通项公式给出的是第n项an与它的位置序号n之间的关 系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项;反过来,判断一个 数是不是该数列的某一项,只要看以n为未知数的方程有没有正整数解,若有 就是,否则就不是. (2)解决是否存在型问题,可先假设存在,然后代入条件或参数的值或范围,若 符合题意,则存在;若不合题意,则不存在.

变式探究:保持本例已知条件不变,试判断在区间( 1 , 2 )内有无数列的项?若有, 33
有几项?

解:令 1 <an= 3n ? 2 < 2 , 3 3n ?1 3

所以

?3n ??9n

?1 ? 9n ? 6, ? 6 ? 6n ? 2,

所以

???n ? ?n ??

? ?

7, 6 8. 3

所以

7 6

<n<

8 3

.

所以当且仅当 n=2 时,上式成立,

故区间( 1 , 2 )上有数列中的项,且只有一项为 a2= 4 .

33

7

即时训练

3-1:已知有穷数列:

4 5

,9 10

, 16 17

,

25 26

,…,

m2 m2 ?1

(m≥7,且

m∈N+).

(1)求出这个数列的一个通项公式;

(2)判断 0.98 是不是这个数列中的项,若是,是第几项?

解:(1)这个数列的一个通项公式为

an=

(n ?1)2 (n ?1)2 ?1

(n=1,2,…,m-1).

(2)是.设 0.98 是这个数列的第 k 项,因为数列的一个通项公式为 an=

(n ?1)2 (n=1,2,…,m-1),所以 (k ?1)2 =0.98,解得 k=6(k=-8 舍去),

(n ?1)2 ?1

(k ?1)2 ?1

所以 0.98 是数列中的第 6 项.


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