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2011届六校(惠州一中、珠海一中、东莞中学、中山纪念中学、深圳实验中学、广州二中)高三联合考试试卷(文

时间:2011-02-17


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南海九江中学高三文科数学周测卷
2011 届六校(惠州一中、珠海一中、东莞中学、中山纪念中学、深圳实验中学、广州二中) 届六校(惠州一中、珠海一中、东莞中学、中山纪念中学、深圳实验中学、广州二中) 高三联合考试试卷( 2010.12.23 高三联合考试试卷(文) 选择题:(每小题 一、选择题 每小题 5 分,共 50 分) 1.若 A= {x | x ? 4 x < 0 },B={0,1,2,3},则 A ∩ B =
2

A. {0,1,2,3}

B.{1,2,3}

C.{1,2,3,4}

D. {0,1,2,3,4}

2. 已知平面向量 a = (3,1), b = ( x, ?3) ,且 a ⊥ b ,则 x = A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

3. 等比数列 {a n } 中,已知 a 2 = 2, a 4 = 4 ,则 a 6 = A. 6 B. 8 C. 10 D. 16

4. 下列函数中,既是偶函数又在 ( 0, +∞ ) 上单调递增的是 A. y = x 3 B. y = cos x C. y = tan x D. y = ln x

5.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 sin B = A.

3 3

B. ±

3 3

C.

6 3

D. ± ) .

6 3

6、已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,则椭圆的离心率等于( A.

1 3

B.

2 3

C.

2 2 3

D.

10 3

7. 已知 z = 2 x ? y ,式中变量 x , y 满足约束

? y ≤ x, ? 条件 ? x + y ≥ 1, ,则 z 的最大值为___________. ? x ≤ 2, ?
A. 0 B.5 C.6 D. 10

8. 为了了解某地区学生的身体情况, 抽查了该地区 100 名年龄为高三男生体重 (kg) , 得到频率分布直方图如下图,根据上图可得这 100 名学生中体重在[56.5,64.5] 的学生人数是( ) A.20 B.30 C.40 D.50

-1-

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9. 方程 log 3 x + x ? 3 = 0 的解所在的区间是( A. (0,1) B. (1,2) C.(2,3)

) D. (3,4)

10、已知过点(1,2)的二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如右图, 给出下列论断:① abc > 0 ,② a ? b + c < 0 ,③ b < 1 , ④a >

1 2

其中正确论断是( B. ②④ D. ②③④



A. ①③ C. ②③

(每小题 把正确答案填写在答卷相应地方上) 二、填空题: 每小题 5 分,共 30 分,把正确答案填写在答卷相应地方上) 填空题: ( 11. 已知 {a n } 是等差数列, a 2 = 3, a 3 + a 4 = 12 , 则 {a n } 的前 n 项和 S n =______ 12. 图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm 的几何 体的三视图,则 h=_________cm
3

13. 如下图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x = ________。

4

y3
2

x2 f(x) = 2
C(0,2) C(2,0)
B

第 14 题

1

x O
2 A(2,0)

-2-

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14. 如右上图示, 利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 y =

x2 与两直线x = 2及y = 0 所围 2

成的阴影部分的面积 S:(1)先产生两组 0~1 的均匀随机数,a=RAND(),b=RAND();

x2 (2)做变换,令 x=2a, y=2b;(3)产生 N 个点(x,y) ,并统计满足条件 y < 的点(x, y)的个 2
数 N1 .已知某同学用计算器做模拟试验结果当 N=1000 时 N 1 =332,则据此可估计

S=_________ 。 小题, 解答须写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 解答题: 15. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) = cos(

π
2

? x) + 3 sin(

π
2

? x)

(x ∈R ) .

(1)求函数 f (x ) 的最小正周期;(2)求函数 f (x ) 的最大值,并指出此时 x 的值.

16. (本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号恰好相同的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上的标号至少有一个大于 2 的概率.

17. 本小题满分 14 分) (本小题满分 ( 如图,已知四边形 ABCD 与 A' ABB ' 都是正方形, 点 E 是 A' A 的中点, A' A ⊥ 平面ABCD (1) 求证: A' C // 平面 BDE; (2) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE

18、(本小题满分 14 分) 本小题满分 某建筑公司用 8000 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 12 层、每层 4000 平 方米的楼房。经初步估计得知,如果将楼房建为 x(x ≥ 12)层,则每平方米的平均建筑费用为 Q(x)=3000+50x(单位:元),为了使楼房每平方米的平均综合费用 平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? 平均综合费用 每平方米的平均综合费最小值是多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用 平均综合费用

购地总费用 ) 建筑总面积

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19. 本小题共 14 分) . (本小题共 ( 已知 ?ABC 的边 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 = 0

y

0) , 点 B 关于点 M (2, 的对称点为 C, 点 T ( ?11) 在 AC 边所在直线

T
上且满足 AT ? AB = 0 . (I)求 AC 边所在直线的方程; (II)求 ?ABC 的外接圆的方程;

C O A

M

N

B

x

(III)若点 N 的坐标为 (? n,0), 其中 n 为正整数。试讨论在 ?ABC 的外接圆上是否存在点 P,使 得 | PN |=| PT | 成立?说明理由。

20.(本题满分 14 分) . 本题满分 已知 n 为正整数, 曲线 C n : y =

nx在其上一点Pn ( x n , y n )处的切线Ln 总经过定点( ? 1 ,0)

(1)求证点列: P1 , P2 , ? , Pn 在同一直线上 (2)若记 f(k)+f(k+1)+f(k+2)+ ? + f(n)=
n

∑ f (i) ,其中 k, n 为正整数且 k ≤ n
i=k

n

求证: ln(n + 1) <

∑y
i =1

1
2
i

< ln(n + 1) + 1 (n∈ N * )

2011 届六校高三毕业班联合考试试卷 文科数学答案 2010。12。23 。 。

-4-

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1.B 2. C 3. B 4. D 5.A 11.

6、C 7.B 8.C 9. C 13. 12

10、B

n2

12.

4

14. 1.328 …… 4 分 …… 6 分

15. 解: 1)∵ f ( x ) = sin x + 3 cos x (1 (

?1 ? 3 π π? ? = 2? sin x + cos x ? = 2? sin x cos + cos x sin ? ?2 ? 3 3? 2 ? ? ?

π? ? = 2 sin ? x + ? . 3? ? ∴ T = 2π .
(2) 当 sin ? x + 此时 x +

…… 7 分 …… 8 分 ……10 分 ……12 分

? ?

π?
=

? = 1 时, f ( x) 取得最大值, 其值为 2 . 3?

π
3

π
2

+ 2kπ ,即 x = 2kπ +

π
6

(k ∈ Z ) .

16.解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果: 解法一: 解法一 1 2 1 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 ……4 分 ……6 分

可以看出,试验的所有可能结果数为 16 种且每种结果是等可能的. (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相同整数的结果 有 1-1,2-2,3-3,4-4,共 4 种.

4 1 = . 16 4 1 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为 . 4
故根据古典概型公式,所求概率 P = (Ⅱ)记事件“取出的两个球上的标号至少有一个大于 2”为 A 则 A 的对立事件是 A =“取出的两个球上的标号都不于大 2” 所取出的两个球上的标号都不大于 3 的结果有 1-1,1-2,2-1,2-2, 共 4 种. ……10 分

……8 分

P ( A) =

4 1 3 = ∴ P ( A) = 1 ? P ( A) = . 16 4 4 3 . 4
……12 分

答:取出的两个球上的标号至少有一个大于 3 的概率为

(注:利用列表或列数对的方法求解以及 II 直接列出 A 的结果 仿照上述解法给分 注 的结果, 仿照上述解法给分) (1)设 BD 交 AC 于 M,连结 ME.∵ ABCD 为正方形,所以 M 为 AC 中点, ……2 分 17.

又 ∵E 为 A' A 的中点∴ ME 为 ?A' AC 的中位线∴ ME // A' C
-5-

……4 分

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又 ∵ ME ? 平面BDE , A' C ? 平面BDE
∴ A'C // 平面 BDE.
(2)∵ ABCD为正方形 ∴ BD ⊥ AC ……6 分 ……8 分

∵ A' A ⊥ 平面ABCD, BD ? 平面ABCD ∴ A' A ⊥ BD...........10分 又AC ∩ A' A = A ∴ BD ⊥ 平面A' AC. ∵ BD ? 平面BDE ∴ 平面A' AC ⊥ 平面BDE.
18、解:设楼房每平方米的平均综合费为 f ( x ) 元,依题意得

.........12分 ..........14分

f ( x) = Q( x) +

8000 × 10000 20000 = 50 x + + 3000 4000 x x

( x ≥ 12, x ∈ N ) ……..6 分

法一: f ( x) = 50 x +

20000 20000 + 3000 ≥ 2 50 x ? + 3000 = 5000 x x

……….11 分 ……….13 分

20000 即x = 20 上式取”=” x 因此,当 x = 20 时, f (x ) 取得最小值 5000(元).
当且仅当 50 x = 答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 20 层, 每平方米的平均综合费最小值为 5000 元 法二: f ( x ) = 50 x +

……….14 分 ………10 分

20000 20000 + 3000, f ' ( x) = 50 ? x x2 f ' ( x) = 0( x > 0) ? x = 20

0 < x < 20时, f ' ( x) < 0,f ( x)是减函数; x > 20时,f ' ( x) > 0,f ( x)是增函数 ∴当且仅当x = 20时, f ( x)有最小值f (20) = 5000
19.解: (I)∵ AT ? AB = 0

………13 分

∴ AT ⊥ AB, 又T在AC上 ∴ AC ⊥ AB, ?ABC为Rt?ABC , ………………..1 分
又 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 = 0 , ,所以直线 AC 的斜率为 ?3 .……2 分 又 因 为 点 T ( ?11) 在 直 线 AC 上 , 所 以 AC 边 所 在 直 线 的 方 程 为 y ? 1 = ?3( x + 1) . 即 ,

3 x + y + 2 = 0 . …………3 分
(II)AC 与 AB 的交点为 A,所以由 ?

? x ? 3 y ? 6 = 0, 解得点 A 的坐标为 (0, 2) ,…5 分 ? ?3 x + y + 2 = 0
…………6 分

∵ 点B关于M (2,0)的对称点为C ,

∴ M为Rt?ABC斜边上的中点, 即为Rt?ABC外接圆的圆心

-6-

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又 r= AM =

(2 ? 0) 2 + (0 + 2) 2 = 2 2 .
( x ? 2)2 + y 2 = 8 .

…………7 分 …………8 分

从 ?ABC 外接圆的方程为:

(III)若在 ?ABC 的外接圆圆 M 上存在点 P,使得 | PN |=| PT | 成立,则 P 为线段 NT 的垂直平 分线 L 与圆 M 的公共点。所以当 L 与圆 M 相离时,不存在满足条件的点 P;当 L 与圆 M 相交或 相切时则存在满足条件的点 P。

n +1 1 1 ,线段 NT 的中点为 ( ? , ) n ?1 2 2 1 n +1 线段 NT 的垂直平分线 L 为 y ? = ?( n ? 1)( x + ) 即2(1 ? n) x ? 2 y + (2 ? n 2 ) = 0 2 2
, 由 N (? n,0), T ( ?11) ,知 NT 的斜率为
………10 分 圆 M 的圆心 M 到直线 L 的距离为 d=

| 4(1 ? n) ? 0 + 2 ? n 2 | 4(1 ? n) 2 + (?2) 2

=

| n 2 + 4n ? 6 | 2 n 2 ? 2n + 2

…………11 分

i)当 n=1 时,d=

1 , 而r = 2 2, 由d < r ,此时直线 L 与圆 M 相交,存在满足条件的点 P 2

ii)当 n=2 时 d=

3 2 < 8 = r ,此时直线 L 与圆 M 相交,存在满足条件的点 P 2

iii)当 n ≥ 3 时,

d=

n 2 + 4n ? 6 2 n 2 ? 2n + 2

=

1 6n ? 8 1 ( n 2 ? 2n + 2 + ) > ? 2 6n ? 8 > 8 = r 2 2 n 2 ? 2n + 2
…………14 分

此时直线 L 与圆 M 相离,不存在满足条件的点 P。

(说明:(III) 求出 NT 的垂直平分线,与圆 M 方程联立方程组,消元得二次方程后提到用判别式讨 论的即可得 3 分; 用图形说明当 n 增大时 M 到 L 的距离 d 也增大,当 n=3 时有 d>r,所以 n>3 时 有 d>r,只扣 1 分) 20 解: (1)设切线 L n 的斜率为 k n ,由切线过点 (?1,0) 得切线方程为 y=k n (x+1) 则方程组 ?

? y = k n ( x + 1) ? y = nx( y ≥ 0)
2

有解 ?

? x = xn , ? y = yn
2 2 2

……1 分
2

由方程组用代入法消去 y 化简得 k n x + ( 2k n ? n) x + k n = 0 (*) 有 ? = ( 2k n ? n) ? 4k n ? k n = ?4nk n + n = 0 ∴ k n =
2 2 2 2 2 2 2

n ………2 分 4

代入方程(*),得

n 2 n n x + (2 ? ? n) x + = 0即x 2 ? 2 x + 1 = 0 4 4 4
即 P1 , P2 , ? , Pn 在同一直线 x=1 上 …4 分

∴ x = 1即有x n = 1, y n = nx n = n

-7-

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(2) 解:由(1)可知 y n = 设 函 数

n ∴ f (i ) =

1 yi
2

=

1 i

………5 分

F(x)=

x ? ln( x + 1), x ∈ (?1,+∞), 有F (0) = 0

x +1?1 x 1 = = x +1 x +1 x +1 ∴当 ? 1 < x < 0时, F ' ( x) < 0;当x > 0时,F ' ( x) > 0 ∴ F ' ( x) = 1 ? ∴ F ( x)在(?1,0)上是减函数, 在(0,+∞)上为增函数 ∴当0 < x < 1时有F ( x) > F (0) = 0即当0 < x < 1时有x > ln( x + 1)恒成立 即F ( x)有最小值F (0), x ≠ 0时有F ( x) > F (0). . ...........8分 当 ? 1 < x < 0时有F ( x) > F (0) = 0即当 ? 1 < x < 0时有x > ln( x + 1)恒成立
1 1 1 i )取x = (i = 1,2,3,? , n), f (i ) = > ln(1 + ) = ln(i + 1) ? ln i i i i 1 1 1 1 即有f (1) = > ln 2, f (2) = > ln(1 + ) = ln 3 ? ln 2,? , f (n) = > ln(n + 1) ? ln n 1 2 2 n n n 1 1 1 1 ∴ ∑ f (i ) =∑ = + + ? + > ln 2 + (ln 3 ? ln 2) + ? + [ln(n + 1) ? ln n] = ln(n + 1)......11分 1 2 n i =1 i =1 i 1 1 1 1 ii )再取x = ? (i = 2,3, ? , n), 有 ? > ln(1 ? ) = ln(i ? 1) ? ln i ∴ < ln i ? ln(i ? 1) i i i i 1 1 1 1 即有f (1) = = 1, f (2) = < ln 2 ? ln 1, f (3) = < ln 3 ? ln 2, ? , f (n) = < ln n ? ln(n ? 1) 综合上 1 2 3 n n n 1 1 1 1 ∴ ∑ f (i ) =∑ = + + ? + ≤ 1 + (ln 2 ? ln 1) + (ln 3 ? ln 2) + ? + [ln n ? ln(n ? 1)] 1 2 n i =1 i =1 i = ln n + 1 < ln(n + 1) + 1
述有 ln(n + 1) <

∑y
i =1

n

1
2 i

< ln(n + 1) + 1

…………………14 分

法二 : 先证当x > 0且x ≠ 1时x ? 1 > ln x 1 x ?1 ∴ G ( x) = x ? 1 ? ln x, G ' ( x) = 1 ? = x x ∴ 当0 < x < 1时, G ' ( x ) < 0;当x > 1时,G ' ( x ) > 0 ∴ G ( x)在(0,1)上是减函数, 在(1,+∞)上为增函数 ∴ 当x > 1时有G ( x) > G (1) = 0即当x > 1时有x ? 1 > ln x恒成立 即G ( x)有最小值G (1), x ≠ 1时有G ( x ) > G (1). 从而有 x ? 1 > ln x( x ≠ 1) 令x ? 1 = t则有t > ln(1 + t )(t ≠ 0)恒成立 以下同上法 ...........8分 . 当0 < x < 1时有G ( x) > G (1) = 0即当0 < x < 1时有x ? 1 > ln x恒成立

-8-


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