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二元一次不等式组与平面区域与线性规划中求最值的问题_图文

时间:2018-07-01

二元一次不等式(组) 与平面区域
人教A版必修5 §3.3.1

想 问题 一 在平面直角坐标系中,直线x+y-1=0 想 将平面分成几部分呢? y? 答:分成三部分:
1

(1)点在直线上
1

0

x (2)点在直线的右上方 x+y-1=0 (3)点在直线的左下方

?不等式x+y-1>0对应平面内哪部分的点呢?

探索规律

表示直线x +y-1=0 (1,1) (0,0) 右上方的平面区域; (2,0) (-1,0) 2、点集{(x,y)|x+y-1<0} 代入点的坐标 表示直线 x) +y-1=0 (2,1 (-1,1) 左下方的平面区域。 (-1,-1) (2,2) 3、直线x+y-1=0 正 叫做这两个 负 x+y-1值的正负 区域的边界。

区域内的点

直线上的点的坐标满足x+y-1=0,那么直 线两侧的点的坐标代入x+y-1中,也等于 0吗?先完成下表,再观察有何规律呢? y 1、点集{(x,y)|x+y-1>0}
右上方点 左下方点

1

0

1

x

x+y-1=0

同侧同号,异侧异号

画二元一次不等式表示的平面区域的步骤:

方法总结:

1、一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+B y+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 1、线定界(注意边界的虚实) 平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界, 把边界画成实线。
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中,所得 2、 2、点定域(代入特殊点验证) 实数符号相同,所以只需在直线的某一侧取一个 特别地,当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中,从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

典例精析
题型一:画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域

y
x+4y>4

(1)x +4y>4 变式: (2)x-y-4<0 (3)x-y-4>0

x+4y=4

o

x
x+4y<4

y
o
x-y-4>0 x-y-4=0

x

题型二:画二元一次不等式组表示的区域 例2、画出不等式组表示的平面区域。 y

x-y+5≥0 x+y≥0 x ≤3
画二元一次不等式组表 分析: 由于所求平面区域的点的坐 示的平面区域的步骤: 标需同时满足两个不等式, 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集,即公共部分。
-5

x-y+5=0
5

o

x
4

x+y=0

x=3

跟踪练习

如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y)所在区域应为:( )
y 1 O 2

B y
O y 1

1

y 1
O 2

(A)

χ

2

χ

(B)

(C)

χ

O

2

(D)

χ

题型三:根据平面区域写出二元一次不等式(组) 例3、写出表示下面区域 的二元一次不等式组
y

(0,1)

x
(-4,-1) (2,-1)

典例精析 题型三:根据平面区域写出二元一次不等式(组)

例3、写出表示下面区域的二元一次不等式 y 解析:边界直线方程为 x+y-1≤0 紫色区域 x+y-1=0 代入原点(0,0) 绿色区域 x-2y+2 > 0 得0+0-1<0 即所求不等式为 蓝色区域 y≥-1 x+y-1≤0 黄色区域

1 -2

o
-1

1

x

x+y-1≤0 x-2y+2>0 y≥-1

方法总结

根据平面区域写出二元一次 不等式(组)的步骤:
求边界直线的方程 代入区域内的点定号 写出不等式(组)

题型五:综合应用

例 4、 试确定m的范围,使点(1,2)和 (1,1)在3x-y+m=0的异侧。 变式:若在同侧,m的范围又是什么呢?
解析: 由于在异侧,则( 解析 : 由于在同侧,则(1 1, ,2 2)和( )和(1 1, ,1 1) )
代入 代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值异号, 所得数值同号, 则有( <0 0 则有(3-2+m 3-2+m)( )(3-1+m 3-1+m) )>

所以( <0 所以(m+1 m+1) )(m+2) (m+2)> 0
即: 即:-2<m<-1 m <-2或m>-1

题型四:综合应用

x-y+5≥0

例5、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2

y
5

C x-y+5=0
D

所表示的平面区域的面积
解析: 如图,平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为
1 S= ?3 ? 5?? 2 ? 8 2

2A -5

B
2

y=2

o

x

x=2

题型四:综合应用 x-y+5≥0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

变式训练 题型四:综合应用 x-y+5≥0

y
7 5D

x-y+5=0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2

C

a y=7
y=5 a

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

答案:5≤a<7

-5

o

2 x=2

x
y=a

举一反三

x-y≥0 设x,y满足约束条件:x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1
求z=2x-y最大值与最小值 。

y x+y=1

y=2x x-y=0

①作可行域(如图) 解:
②由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动 直线y=2x,若直线截距-z取得最大值, 则z取得最小值;截距-z取得最小值, y=-1 则z取得最大值. B (-1,-1) ③因此z在A(2,-1)处取得最大值, 即Zmax=2×2+1=5; 在B(-1,-1)处取得最小值, 即Zmin=2×(-1)-(-1)=-1。 ④综上,z最大值为5;z最小值为-1.

1
0

C

x
1
(2,-1) A

问题思考2
作出下列不等式组的所表示的平面区域

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

在该平面区域上 问题 1:x有无最大(小)值?

y

x=1
C

问题2:y有无最大(小)值? 问题3:2x+y有无最大(小)值?

x-4y=-3
A
B

3x+5y=25

o

x

二.提出问题 把上面两个问题综合起来:

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
时,求z的最大值和最小值.

y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x-4y+3=0

? x ? 4 y ? ?3 ? 1.先 作 出 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ? 所表示的区域 .

5

C

2.作直线 l0 : 2 x ? y ? 0
3.作一组与直线 l 0 平行的 直线l : 2 x ? y ? t , t ? R

A B
O
1 x=1 5

2x ? y ? 0

直线L越往右平移 ,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点 B(1,1)的直线所对 应的t值最小. Z max ? 2 ? 5 ? 2 ? 12, Z min ? 2 ? 1 ? 1 ? 3

线性目 标函数

线性约 束条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 最优解 ?
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
可行域
所有的

任何一个满足 不等式组的( x,y)
可行解

有关概念
由x,y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x ,y 的约束条件。关于x,y 的一次不等式或方程 组成的不等式组称为x,y 的线性约束条件。欲达 到最大值或最小值所涉及的变量x,y 的解析式称 为目标函数。关于x,y 的一次目标函数称为线性 目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线 性约束条件的解(x,y)称为可行解。所有可行 解组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大 值或最小值的可行解称为最优解。

例1:设z=2x-y,式中变量x、y满足下列条件 求z的最大值和最小值。

典例讲评

x -4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

解:作出可行域如图:
当z=0时,设直线 l0:2x-y=0 平移l0 当l0经过可行域上点A时,
, -z 最小,即z最大。

y
3x+5y=25

2x-y=0

C (1,4.4)

平移l0 当l0经过可行域上点C时 , ,

x-4y=-3

o

B

(5,2)



x=1

x

-z最大,即z最小。 x-4y =-3 x=1 (1,4.4) ; (5,2) ; 由 得A点坐标_____ 由 得C点坐标_______ 3x+5y=25 3x+5y=25



zmax=2×5-2=8

zmin=2×1-4.4= -2.4

解线性规划问题的步骤:

画 画出线性约束条件所表示的可行域; 2、 移 在线性目标函数所表示的一组平行线
1、

中,用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线;

求 通过解方程组求出最优解; 4、 答 作出答案。
3、

例2 某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t甲 种产品需要A种原料4t、 B种原料12t,产 生的利润为2万元;生产1t乙种产品需要A 种原料1t、 B种原料9t,产生的利润为1万 元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t, 如何安排生产才能使利润最大?

在关数据列表如下:
A种原料 B种原料 甲种产品 4 12 利润 2

乙种产品
现有库存

1
10

9
60

1

设生产甲、乙两种产品的吨数

?4 x ? y ? 10 ?12x ? 9 y ? 60 ? ? x ? 0 ? ? ?y ? 0
利润

分别为x、y

P ? 2x ? y

何时达到最大?

三、当堂检测

已知

(1)求z=2x+y的最大值和最小值。 (2)求z=2x+y的最优解。

?x - y ? 0 ? ?x ? y - 1 ? 0 ?y ? 1 ? 0 ?

2x+y=0

y

y-x=0
5

1

O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

z max ? 3

zmin ? ?3

x+y-1=0

知识小结
1.线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤: 1)设出未知数,列出约束条件,确定目标 函数 2)作出可行域 3)作平行线 使直线与可行域有交点 4)求出最优解并作答

变式演练

x-y≥0 设x,y满足约束条件:x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1
求z=-x-y最大值与最小值 。

y x+y=1 1 0
C

①作可行域(如图) 解:

y=-x

x-y=0 x

②由z=-x-y得y=-x-z,因此平行移动 直线y=-x,若直线截距-z取得最大值, 则z取得最小值;截距-z取得最小值, 则z取得最大值. y=-1 ③因此z在B(-1,-1)处截距-z取 得最小值,z取得最大值即Zmax=2; 在边界AC处取得截距-z最大值, z取得最小值即Zmin=-2-(-1)=-1。
B (-1,-1)

1
(2,-1) A

学案P69典型例题 例1 已知x,y满足现行约束条件 ? x-2y ? 7 ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 求(1)u=4x-3y的最大值与最小值。 (2)z=(x+3)2 +(y+1)2的最大值和最小值。 y ?1 (3)t = 的最值。 x?3

4x-3y-12=0

X-2y+7=0

x+2y-3=0
P(-3,-1)

X-2y+7=0

4x-3y-12=0

P(-3,-1)

x+2y-3=0

tmax ? kPA
X-2y+7=0
Q(x,y)

t ?

y ?1 x?3

4x-3y-12=0

tmin ? kPB

P(-3,-1)

x+2y-3=0


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