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高考数学(理)一轮复习题库:8.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

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1.两条异面直线所成角的求法 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 l1 与 l2 所成的角 θ 范围 求法 π (0, ] 2 |a· b| cos θ= |a||b| a 与 b 的夹角 β [0,π] cos β= a· b |a||b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角为 θ,a 与 n 的夹 角为 β,则 sin θ=|cos β|= 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 → → θ=〈AB,CD〉 . |a· n| . |a||n| (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足|cos θ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角). 【知识拓展】 利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 → 设点 A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则|AB|=|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2. (2)点到平面的距离 如图所示,已知 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α 的距离为 → n| → |AB· |BO|= . |n| 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × ) π π (4)两异面直线夹角的范围是(0, ],直线与平面所成角的范围是[0, ],二面角的范围是[0, 2 2 π].( √ ) (5)若二面角 α-a-β 的两个半平面 α,β 的法向量 n1,n2 所成角为 θ,则二面角 α-a-β 的 大小是 π-θ.( × ) 1.(2017· 烟台质检)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二 面角为( A.45° C.45° 或 135° 答案 C m· n 1 2 解析 cos〈m,n〉= = = , |m||n| 1× 2 2 即〈m,n〉=45° . ∴两平面所成的二面角为 45° 或 180° -45° =135° . 1 2.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉=- ,则 2 l 与 α 所成的角为( ) ) B.135° D.90° A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 A 1 解析 设 l 与 α 所成角为 θ,∵cos〈m,n〉=- , 2 1 ∴sin θ=|cos〈m,n〉|= ,∵0°≤θ≤90°,∴θ=30° .故选 A. 2 3.(2016· 郑州模拟)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB, 则直线 BC1 与直线 AB1 所成角的余弦值为( ) A. C. 5 5 5 6 B. D. 5 3 5 4 答案 A → 解析 设 CA=2,则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1(0,2,1),可得向量AB1=(- → → → 2,2,1),BC1=(0,2,-1),由向量的夹角公式得

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