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高中数学(新课标人教A版)必修4

时间:2012-03-22


岳口高级中学

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在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移 与时间 在物理中 简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间 的 简谐运动中单摆对平衡位置的位移 与时间x的 关系、交流电的电流y与时间 的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 与时间x的关系等都是形 关系、交流电的电流 与时间 的关系等都是形 的函数(其中A, 都是常数) 的函数(其中 ω, φ都是常数). 都是常数 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间 变化的图象 下图是某次试验测得的交流电的电流 随时间x变化的图象 随时间 y y 6
6 4 2 4 2

o
-2 -4 -6

2

4

6

8

x

o
-2 -4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系? 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系? 何关系
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y = sin x就是函数y = A sin(ωx + ? )在 A = 1, ω = 1,? = 0时的情况.

你认为怎样讨论参数 ? , ω , A对y = A sin(ωx + ? )的 图象的影响 ?

函数 y = A sin(ωx + φ ) 的图象

复习回顾

y = sin x, x ∈[0,2π ] 的图象
2 注意:五点是指使函数值为 五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 注意 五点是指使函数值为 及达到最大值和最小值 的点. 的点

关键点: (0,0), ( 关键点:

π

,1), (π,0), ( π

3π ,-1), (2π,0) . π 2

y 1

. . . 3π/2 2π π .
x

o π/2 -1

.

(一)探索?对y = sin( x + ? ), x ∈ R的图象的影响.

y = sin( x +

1.y=sin(x+? )与y=sinx的图象关系 与 的图象关系 π π 例1、试研究 y = sin(x + ) 、y = sin( x ? ) 、 6 与 y = sin x 的图象关系3 y π 1
o

3

)

yy=y=y=y=xsinxx yy=y=y=sinxxx y=y=y=xsinx y=y=sinsin sinsinxx sinsinx sin=sin sinx x sin sin x=
y = sin( x ? ) 6

π

?

π
2

?

π
3

π
6

π 2π
2 3

π

3π 5π 2 3



13π 6

x

-1

函数y=sin(x+? ) 图象 一、函数 函数
函数y=sin(x+? )( ? ≠0)的图象可以看 函数y=sin(x+ )( 作是把y=sinx的图象上所有的点向左( y=sinx的图象上所有的点向左 作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当? > 或向右( 0时 )或向右(当 ? <0时 )平行移动 ? 个单位而得到的。 个单位而得到的。

练习:函数y = 3cos(x+

π )图像向左平移 4

π 个单位所得图像的函数表达式为 _____ 3

5π 思考:函数y = sin2x图像向右平移 12 个

单位所得图像的函数表达式为______

(二)探索ω对y = sin(ωx + ? )的图象的影响.

2. Y=sin x 与 y=sinx图象的关系 图象的关系

y = sin 1 x 的图象 的图象。 例2.作函数 y = sin 2 x 及 作函数 2 1.列表: 列表: 列表 π π x 3π 0 2 4 4 π 3π 2x π 0 2 2

π

0

sin 2 x
2. 描点: 2 y
y=sin2x 1 O ?1 ?2

0

1

0

?1

y=sinx
π
2

纵坐标不变 ,横坐标

y=sin2x

π

缩短为原来的1/2倍 缩短为原来的 倍 y=sinx 2π 3π x

对于函数 y = sin 1 x 2 1. 列表: 列表:

x
1 x 2 sin 1 x 2

0 0 0

π
π
2


π


3π 2


2π 0

1

0

-1

2. 描点 描点:
y 1 y=sinx

y=sinx

纵坐标不变, 纵坐标不变, 横坐标 变为原来的 2 倍 2π 3π y=sin 1x 2

y=

1 sin 2 x

O ?1

π



1 y 函数 y = sin 2 x 、 = sin x 与 y = sin x 2

的图象间的变化关系。 的图象间的变化关系。
y
2

y = sin 2 x

1

1 y = sin x 2
π
2

o

π



3π 2



-1

函数y=sinωx(ω>0)图象 二、函数 函数 ω ω 图象
函数y=sinωx (ω >0且ω≠1)的图象可以看 ω ω 且 函数 的图象可以看 作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短

1 (当ω>1时)或伸长 当0<ω<1时) 到原来的 或伸长(当 ω 时 当 时 或伸长
纵坐标不变) 倍(纵坐标不变 而得到的。 纵坐标不变 而得到的。

ω

(三)探索A对y = A sin(ωx + ? )的图象的影响.

3.y=Asinx与y=sinx图象的关系 图象的关系 1 的简图. 例3、作函数 y = 2 sin x 及 y = sin x 的简图 、
2
描点作图 解: 列表
x sinx 2sinx
1 2 sinx

0 0 0 0

π
2

π 0 0 0

3π 2

y


2 1
π
2

1 2
1 2

-1 -2
? 1 2

0 0 0

3π 2
0



π

x

-1 -2

y = sin x
y=Sinx

纵坐标缩短到原来的一半 横坐标不变

y = 1 sin x 2
y=2Sinx

纵坐标扩大到原来的2倍 纵坐标扩大到原来的 倍 横坐标不变

1 函数 y = 2sinx 、y = sin x 与 y = sin x 的图象间的变化关系。 的图象间的变化关系。 2
y
3

2
1

y=2sinx

y=sinx
o

1 y= 2
3π 2

sinx

π
-1

2



x

-2

函数y=Asinx(A>0)图象 三、函数 函数 图象
函数y=Asinx( 函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象可以看作 y= ≠1) 是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长( 是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1 y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长 到原来的A 或缩短( 时 )或缩短(当0<A<1时 )到原来的A倍(横坐 标不变)而得到的。y=Asinx, x∈R的值域是 的值域是[ 标不变)而得到的。y=Asinx, x∈R的值域是[-A, A],最大值是A,最小值是-A。 ],最大值是A 最小值是最大值是

例4、如何由 、

y = sin x 变换得 π y = 3 sin( 2 x + )的图象? 的图象? 3

方法1: 方法 : 按? , ω , A顺序变换 ) (
y
3 2

π y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx
1

o
?

π

π
3

?

π
6-1

π π
6 3

7 π 6

5π 3
π

2π π

7 π2 5π 12 3 π 6

x

-2 -3

y=sin(x+ ) 3 π y=sin(2x+ ) 3

π

(1)向左平移 3 ) 函数 y=sinx
1 2

y=sin(x+

π
3

) 的图象

(2)横坐标缩短到原来的 ) 纵坐标不变

倍 y=sin(2x+

π
3

) 的图象

(3)横坐标不变 ) 纵坐标伸长到原来的3倍 纵坐标伸长到原来的 倍

y=3sin(2x+

π
3

)的图象 的图象

方法2: 方法 : 按ω , ? , A顺序变换 ) (
y y=3sin(2x+ ) 3

π

3
2

y=sinx
1

?

π
6

o
-1

π
π
3
5π 6

π
3

5π 3

2π π

x

-2

y=sin2x π y=sin(2x+ ) 3

-3

(1)横坐标缩短到原来的 ) 函数 y=Sinx 纵坐标不变
π

1 2

倍 y=Sin2x的图象 的图象

(2)向左平移 6 )

y=Sin(2x+

π
3

) 的图象

(3)横坐标不变 ) 纵坐标伸长到原来的3倍 纵坐标伸长到原来的 倍

y=3Sin(2x+

π
3

)的图象 的图象

P59 例1

函数, y = A sin(ωx + φ ) A称为振幅
1 f = 称为频率 T



2π T= 称为周期 |ω |

ωx + φ 称为相位

φ

称为初相

一、复习回顾

1. y = sin x与y = A sin(ωx + ? )图象的关系
2.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤, “五点法”作函数 简图的步骤, 简图的步骤 其中“五点”是指什么? 其中“五点”是指什么?

例1:作函数y = 2sin(

1 x3

)的简图。

π

6

解: 列表
Z x Sin(Z) y 0
π
2

π
2

π
7π 2

3π 2


2π 1 2

13π 2



0 0

0 0

-1 -2

0 0

练习:作函数y =

π 3sin(2x+ 3

)的简图。

物理中简谐运动的物理量

y = A sin(ωx + ? )(其中A > 0, ω > 0)在简谐 运动中的相关概念 : (1) A 振幅 2π (2)T = 周期
1 ω (3) f = = T 2π (4)ωx + ? (5)?

ω

频率 相位 初相

例2、某简谐运动图象如图.试根据图象回 答下列问题 :

(1)这个简谐运动的振幅 , 周期与频率各是 多少;
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示 完成了一次往复运动?如从A点算起呢?

(3)写出这个简谐运动的函 数表达式.
y/cm
2 A 0.4 0.8 B D C E 1.2 F

o

x/s

例3:已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)一个周期内的函数图象,如 下图所示,求函数的一个解析式。
y
3

O

π
3

5π 6

x

? 3

练习: 练习: 已知函数 y = A cos(ω x + ? ) (A>0,ω>0, 0 < ? < π )的最小值是 -5 ,图象上相

π
邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ,且图象经

5 求这个函数的解析式。 过点 (0, ? ) ,求这个函数的解析式。 2

4

例4.求下列函数的最大值、最小值,以及 达到最大值、最小值时x的集合。 (1)y=sinx-2 (2)y= 4

1 sin x 2
)

1 π (3)y= cos(3x+ 2
4

3

作业: 已知函数 作业:1.已知函数y = A sin(ωx + φ ) ( A > 0, ω > 0) 在一个周期内的图象如右下,求其表达式。 在一个周期内的图象如右下,求其表达式。

2

? ?

Y

0 π -2

?

6

2 π 3

?

X

2.书P58 A4 B2 书


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