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2019届高考数学理科人教B版(全国通用)一轮总复习课件:10.6 圆锥曲线的综合问题_图文

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高考理数 §10.6 圆锥曲线的综合问题 知识清单 1.定点问题 定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程,选取合适的坐标(可通过取参数的不同特殊值, 及对应的方程组的根的求解完成),即可说明此坐标适合该曲线方程且与参数无关. 2.定值问题 (1)定值问题的求解:可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值,再推广到一般结论. (2)定值问题的证明:可运用函数的思想方法来解决.一般步骤如下:①选择适当的变量;②把要证 明的定值的量表示成上述变量的函数;③把定值的量化成与变量无关的形式,从而证明是定值. 3.最值问题 求最值问题常见的方法有两种: (1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象性质来解决,特别要关注是用圆锥 曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值. (2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则考虑先建立目标函数(通常为二次函 数),再求这个函数的最值.求函数的最值常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单 调性法、三角换元法等. 4.存在性问题 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元 素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实 数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法. 5.求定值、最值、范围等圆锥曲线综合问题的四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用. 突破方法 方法1 圆锥曲线中的定点、定值问题 “定点”“定值”问题是圆锥曲线中常考题型,难度较大,注重知识点之间的联系与综合, 更加注重对数学思想方法,尤其是函数思想,数形结合思想及分类讨论思想的考查. 1.圆锥曲线中的定点、定值问题常用的解题方法 (1)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点或定值; (2)从特殊情况入手,求出定点或定值,再证明定点或定值与变量无关. 2.求解定点问题的基本思路 (1)把直线或者曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把常量当作未知数,将方程一端化为0,即化为 kf(x,y)+g(x,y)=0的形式(这里把常量k当作未知数). (2)既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于0,这样就 ? f ( x, y ) ? 0, 得到一个关于x,y的方程组,即? x, y ) ? ? f (的点 (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,即满足? (x0, 0,y0)为直线 ? ? g ( x, y ) ? 0 ? ? g ( x, y ) ? 0, 或曲线所过的定点. 3.求解定值问题的基本思路 (1)首先求出这个几何量或代数表达式; (2)对表达式进行化简,整理成y=f(m,n,k)的最简形式; (3)根据已知条件列出必要的方程(或不等式),消去参数,最后求出定值,一般是根据已知条件列 出方程k=g(m,n),代入y=f(m,n,k),得到y=h(m,n)+c(c为常数)的形式. 例1 (2013陕西,20,13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的平分线, 证明直线l过定点. 解析 (1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,知|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交 MN于H,则H是MN的中点,∴|O1M|=? x,2 ? 42 ? 又|O1A|=?, ∴ ? (x ? ?= 4) 2 ? y,2 化简得y2=8x(x≠0). 又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2 =8x. (2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2), ( x ? 4) 2 ? y 2 x 2 ? 42 ? 将y=kx+b代入y2=8x,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0. 其中Δ=-32kb+64>0. 8 ? 2bk 由根与系数的关系得,x1+x2=? ,? ① 2 k b .?② x1x2=? 2 k2 y1=-?,y2 因为x轴是∠PBQ的平分线,所以? 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, ∴(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, x1 ? 1 x2 ? 1 整理得2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,?③ 将①②代入③并化简得8(b+k)=0, ∴k=-b,此时Δ>0,∴直线l的方程为y=k(x-1), 即直线l过定点(1,0). 1-1 (2015甘肃二模,20,12分)椭圆C:? ?,过椭圆右焦点F且斜率为1 x 2 +? y 2 =1(a>b>0)的离心率e=1 a2 b2 2 的直线l截椭圆所得弦长为?. (1)求椭圆C的方程; (2)已知A、B为椭圆长轴的两个端点,作不平行于坐标轴且不经过右焦点F的直线PQ,与椭圆交 于P、Q两点,若满足∠AFP=∠BFQ,求证:直线PQ恒经过一定点. 解析 依题意知l:y=x-c,?① 1 ,所以椭圆C:x y =1,?② 又e=? ?+? 2 2 24 7 2 4c 2 3c 2 联立①②得7x2-8cx-8c2=0, 24 =? 8c ? c=1,? 8c 2 ?,解得 所以? 所以 a? =2, ? 4? ? 2 7 ? ? 7? ?? 2 b=?, ? ? ? 7 ? 3 于是椭圆C的方程为? x 2 +? y 2 =1.?(5分) (2)设P(x1,y1),Q(x

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