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2015-2016学年高中数学 第1章 1.1第1课时 函数的平均变化率课时作业 新人教B版选修2-2

时间:2015-12-28


2015-2016 学年高中数学 第 1 章 1.1 第 1 课时 函数的平均变化率课 时作业 新人教 B 版选修 2-2

一、选择题 1.在表达式 A.大于 0 C.等于 0 [答案] C [解析] Δ x 可正,可负,但不为 0,故应选 C. 1 2 s?1+Δ t?-s?1? 2 2.自由落体运动的公式为 s(t)= gt (g=10m/s ),若 v= ,则下 2 Δt 列说法正确的是( )

f?x0+Δ x?-f?x0? 中,Δ x 的值不可能( Δx
B.小于 0

)

D.大于 0 或小于 0

A.v 是在 0~1s 这段时间内的速率 B.v 是从 1s 到(1+Δ t)s 这段时间内的速率 C.5Δ t+10 是物体在 t=1s 这一时刻的速率 D.5Δ t+10 是物体从 1s 到(1+Δ t)s 这段时间内的平均速率 [答案] D [解析] v=

s?1+Δ t?-s?1? =5Δ t+10, Δt

由平均速度的定义可知选 D. 3 .一质点运动的方程为 s = 5 - 3t ,则在一段时间 [1,1 +Δ t] 内相应的平均速度为 ( ) A.3Δ t+6 C.3Δ t-6 [答案] D [解析] = Δ s s?1+Δ t?-s?1? = Δt Δt
2 2

B.-3Δ t+6 D.-3Δ t-6

5-3?1+Δ t? -5+3 Δt

=-3Δ t-6. 1 4.函数 y= 在 x=1 到 x=2 之间的平均变化率为(

x

)

A.-1

1 B.- 2
1

C.-2 [答案] B 1 -1 Δy 2 1 [解析] = =- . Δx 1 2

D.2

5.函数 f(x)=2x+1 在区间[1,5]上的平均变化率为( A. 11 5 11 B.- 5 D.-2

)

C.2 [答案] C [解析]

Δ y f?x2?-f?x1? f?5?-f?1? = = =2. Δx x2-x1 5-1 )

Δy 2 6. 在曲线 y=x +1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δ x,2+Δ y), 则 为( Δx 1 A.Δ x+ +2 Δx C.Δ x+2 [答案] C [解析] Δ y ?1+Δ x? +1-1 -1 = =Δ x+2. Δx Δx
2 2 2

1 B.Δ x- -1 Δx 1 D.Δ x- +2 Δx

7. 一质点的运动方程是 s=4-2t , 则在时间段[1,1+Δ t]内相应的平均速度是( A.2Δ t+4 C.2Δ t-4 [答案] D [解析] Δ s 4-2?1+Δ t? -4+2×1 = =-2Δ t-4. Δt Δt
2 2

)

B.-2Δ t+4 D.-2Δ t-4

1 2 3 8.在 x=1 附近,取 Δ x=0.3,在四个函数①y=x;②y=x ;③y=x ;④y= 中,平

x

均变化率最大的是( A.④ C.② [答案] B

) B.③ D.①

[解析] Δ x=0.3 时,①y=x 在 x=1 附近的平均变化率 k1=1;②y=x 在 x=1 附近 的平均变化率 k2=2+Δ x=2.3;③y=x 在 x=1 附近的平均变化率 k3=3+3Δ x+(Δ x) = 1 1 10 3.99;④y= 在 x=1 附近的平均变化率 k4=- =- .∴k3>k2>k1>k4.故选 B. x 1+ Δ x 13
2
3 2

2

二、填空题 9.一物体运动方程是 s=2t ,则从 2s 到(2+Δ t)s 这段时间内位移的增量 Δ s 为 ________. [答案] 8Δ t+2(Δ t)
2 2

[解析] Δ s=2(2+Δ t) -2(2 ) =2[4+4Δ t+(Δ t) ]-8 =8Δ t+2(Δ t) . 10.函数 f(x)=8x-6 在区间[m,n]上的平均变化率为________. [答案] 8 [解析]
2 2

2

2

f?n?-f?m? ?8n-6?-?8m-6? = =8. n-m n-m

Δy 3 11.已知函数 y=x -2,当 x=2 时, =________. Δx [答案] (Δ x) +6Δ x+12 Δ y ?2+Δ x? -2-2 +2 2 [解析] = =(Δ x) +6Δ x+12. Δx Δx 1 12.函数 y= x在 x=1 附近,当 Δ x= 时平均变化率为________. 2 [答案] [解析] 6-2 Δy 1+Δ x- 1 1 = = = 6-2. Δx Δx 1+Δ x+1
3 3 2

三、解答题 13.求函数 f(x)=x +3 在[3,3+Δ x]内的平均变化率. [解析] = = Δ y f?3+Δ x?-f?3? = Δx Δx
2 2 2

?3+Δ x? +3-?3? -3 Δx 6Δ x+?Δ x? Δx
2

=Δ x+6.

一、选择题 1.函数 y=f(x),当自变量从 x0 到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函 数( ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在 x0 处的变化率
3

C.在 x1 处的变化率 D.在[x0,x1]上的变化率 [答案] A 1 2 ? 1? 2.已知曲线 y= x 和这条曲线上的一点 P?1, ?,Q 是曲线上点 P 附近的一点,则点 Q 4 ? 4? 的坐标为( )

1 2? ? A.?1+Δ x, ?Δ x? ? 4 ? ? 1 2? ? B.?Δ x, ?Δ x? ? 4 ? ? 1 2? ? C.?1+Δ x, ?Δ x+1? ? 4 ? ? 1 2? ? D.?Δ x, ?1+Δ x? ? 4 ? ? [答案] C 1 2 3.函数 y=-x 、y= 、y=2x+1、y= x在 x=1 附近(Δ x 很小时),平均变化率最

x

大的一个是( A.y=-x
2

) 1 B.y=

x

C.y=2x+1 [答案] C

D.y= x

1 2 [解析] y=-x 在 x=1 附近的平均变化率为 k1=-(2+Δ x);y= 在 x=1 附近的平

x

1 均变化率为 k2=- ;y=2x+1 在 x=1 附近的平均变化率为 k3=2;y= x在 x=1 附 1+ Δ x 近的平均变化率为 k4= 选 C. 4.物体做直线运动所经过的路程 s 可以表示为时间 t 的函数 s=s(t),则物体在时间 间隔[t0,t0+Δ t]内的平均速度是( A.v0 C. ) B. D. Δt s?t0+Δ t?-s?t0? 1 1+Δ x+1 ;当 Δ x 很小时,k1<0,k2<0,0<k4<1,∴最大的是 k3.故

s?t0+Δ t?-s?t0? Δt

s?t? t

[答案] C [解析] 由平均变化率的概念知 C 正确,故应选 C.

4

二、填空题 1 1 5.在 x=2 附近,Δ x= 时,函数 y= 的平均变化率为________. 4 x 2 [答案] - 9 1 1 - Δ y 2+Δ x 2 1 2 [解析] = =- =- . Δx Δx 4+2Δ x 9 6.已知圆的面积 S 与其半径 r 之间的函数关系为 S=π r ,其中 r∈(0,+∞),则当 半径 r∈[1,1+Δ r]时,圆面积 S 的平均变化率为________. [答案] 2π +π Δ r [解析] Δ S ?1+Δ r? ·π -π ·1 = =2π +π ·Δ r. Δr Δr
2 2 2

? π? ?π π ? 7.函数 y=cosx 在 x∈?0, ?时的变化率为________;在 x∈? , ?时的变化率为 6? ? ?3 2?
________. [答案] 3 3-6 π 3 - π

π cos -cos0 6 Δy 3 3-6 ? π? [解析] 当 x∈?0, ?时, = = ; 6 Δ x π π ? ? -0 6 π π 1 cos -cos 0- 2 3 2 Δy 3 ?π π ? 当 x∈? , ?时, = = =- . 3 2 Δx π π π π ? ? - 2 3 6 3 3-6 3 ? π? ?π π ? 因此,y=cosx 在区间?0, ?和区间? , ?上的平均变化率分别是 和- . 6 3 2 π π ? ? ? ? 三、解答题 8.已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在下列区间上 f(x)及 g(x)的平均变 化率: (1)[-3,-1];(2)[0,5]. [解析] (1)函数 f(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为 = [2×?-1?+1]-[2×?-3?+1] =2, 2

f?-1?-f?-3?
?-1?-?-3?

g(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为 g?-1?-g?-3?
?-1?-?-3?
5



[-2×?-1?]-[-2×?-3?] =-2. 2

(2)函数 f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为

f?5?-f?0?
5-0 = ?2×5+1?-?2×0+1? =2, 5

g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为 g?5?-g?0?
5-0 = -2×5-?-2×0? =-2. 5
3

9.已知函数 y=f(x)=x +x,证明函数 f(x)在任意区间[x,x+Δ x]上的平均变化率 都是正数. [证明] = Δ y f?x+Δ x?-f?x? = Δx Δx
3 3

?x+Δ x? +?x+Δ x?-x -x Δx
2 2

=3x +1+3xΔ x+(Δ x)
2 2

=3x +3Δ x·x+(Δ x) +1. 由于方程 3x + 3Δ x·x + (Δ x) + 1 = 0 的判别式为 (3Δ x) -4×3[(Δ x) + 1] =- 3(Δ x) -12<0, 则 3x +3Δ x·x+(Δ x) +1>0 对一切 x∈R 恒成立,所以
2 2 2 2 2 2 2

f?x+Δ x?-f?x? >0,故 Δx

f(x)在任意区间[x,x+Δ x]上的平均变化率都是正数.

6


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