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第二章知识点总结(高等代数)

时间:2018-07-02


第二章行列式知识点总结

一行列式定义
a11
1、n 级行列式 aij
n

a12 ?

? a1n ?
(1)等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 ?anjn (2)的代

?

a21 ? an1

a22 ? a2 n an 2 ? ann

数和,这里 j1 j2 ? jn 是一个 n 级排列。当 j1 j2 ? jn 是偶排列时,该项前面带正号;当 j1 j2 ? jn 是奇排列时,该项前 面带负号,即:

a11 aij ?
n

a12 ?

? a1n ? ?
j1 j2 ? jn

a21 ? an1

a22 ? a2 n an 2 ? ann

?

(?1)? ( j1 j2 ? jn ) a1 j1 a2 j2 ? anjn 。

2、等价定义

aij ?
n

i1i2 ?in

? (?1)?

( i1i2 ?in )

ai11ai2 2 ? ain n 和 aij ?
n

i1i2 ?in和j1 j2 ? jn

?

(?1)? (i1i2?in )?? ( j1 j2? jn ) ai1 j1 ai2 j2 ? ain jn

3、由 n 级排列的性质可知,n 级行列式共有 n ! 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的负号)各 占一半。 4、常见的行列式 1)上三角、下三角、对角行列式

a11 a22 ? 0 ? a2 n ?1 ? an1

? ? ann a1n

a11 a22 ? ? 0 ? 0 an1

0 ? ann a1n a2,n ?1 ? ?

a11 a22 ? ann a1n ? an1 a2, n ?1 ? ? (?1)
n ( n ?1) 2

? a11a22 ? ann

2)副对角方向的行列式

a1n a2,n ?1 ? an1

3)范德蒙行列式:

1 a1 a ? a1n ?1
2 1

1 a2 a ?
2 2

? ? ? ?

1
2 an ? ? (ai ? a j ) 1? j ?i ? n ?

an

n ?1 n ?1 a2 ? an

(n ? 2)

1

二、行列式性质
1、行列式与它的转置行列式相等。 2、互换行列式的两行(列) ,行列式变号。 3、行列式中某一行(列)中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式。即:某一行(列)中所有的元 素的公因子可以提到整个行列式的外面。 4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零。 5、若某一行(列)是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行(列)以外全与原来 行列式的对应的行(列)一样。 6、把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上,行列式不变。

三、行列式的按行(列)展开
1、子式 1)余子式:在 n 级行列式 D ? aij 中,去掉元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列后,余下的 n-1 级行列式称为 aij 的余子式, 记作 Mij 。 2)代数余子式: Aij ? (?1)i ? j Mij 称为 aij 的代数余子式。
2 3) k 级子式:在 n 级行列式 D ? aij 中,任意选定 k 行和 k 列 (1 ? k ? n) ,位于这些行列交叉处的 k 个元素,按原来

顺序构成一个 k 级行列式 M,称为 D 的一个 k 级子式。当 (k ? n) 时,在 D 中划去这 k 行和 k 列后余下的元素按照原 来的次序组成的 n ? k 级行列式 M ? 称为 k 级子式 M 的余子式。 2、按一行(列)展开 1)行列式任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即 按第 i 行展开 D ? ai1 Ai1 ? ai 2 Ai 2 ? ? ? ain Ain (i ? 1, 2,?, n); 按第 j 列展开 D ? a1 j A 1 j ? a2 j A 2 j ? ? ? anj A nj ( j ? 1, 2,?, n); 2)行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即

ai1 Aj1 ? ai 2 Aj 2 ? ?? ain Ajn ? 0(i ? j ); 或 a1i A1 j ? a2i A2 j ? ?? ani Anj ? 0,(i ? j ).
3、按 k 行( k 列)展开 拉普拉斯定理:在 n 级行列式中,任意取定 k 个行( k 列) (1 ? k ? n ? 1) ,由这 k 行( k 列)元素组成的所有的 k 级 子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。 4、其他性质 1)设 A 为 n 阶方阵,则 A? ? A ; 2)设 A 为 n 阶方阵,则 kA ? k A ;
n

3)设 A, B 为 n 阶方阵,则 AB ? A ?B ,但 A ? B ? A ? B ; 4)设 A 为 m 阶方阵,设 B 为 n 阶方阵,则

A ? A 0 ? ? A ?B ,但 A ? B ? A ? B 。 0 B ? B

5)行列式的乘法定理:两个 n 级行列式乘积等于 n 级行列式
2

a11 ? a1n

b11 ? b1n

c11 ? c1n

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中cij ? ai1b1 j ? ai 2b2 j ? ? ainbnj , i, j ? 1, 2,? , n. an1 ? an1 bn1 ? bn1 cn1 ? cn1

四、行列式的计算
1、计算行列式常用方法:定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根据等到 式中行(或列)元素的特点来选择相应的解题方法。 方法一:递推法分为直接递推法和间接递推法。用直接递推法的关键是找出一个关于 Dn?1 的代数式来表示 Dn ,依次 从 D1 ? D2 ? D3 ? D4 ? ? Dn ,逐级递推便可以求出 Dn 的值。 方法二:数学归纳法。第一步发现和猜想;第二步证明猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到 Dn 关于 Dn?1 和 Dn?2 的递推关系式。 方法三:加边法。加边法是将所要计算的 n 级行列式适当地添加一行一列(或 m 行 m 列)得到一个新的 n+1(或 m+1) 级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的 n+1(或 m+1)级行列式较易计算。其一般做法如下:

0 a11 ? a1n b1 a11 ? a1n ? ? ? ? 或? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an1 ? an1 an1 ? an1 0 an1 ? an1 b1 an1 ? an1
特殊情况取 a1 ? a2 ? ?an ? 1或 b1 ? b2 ? ?bn ? 1。 方法四:拆行(列)法。将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和,然后再求行列式的值。拆行(列)法有两种 情况:一是行列式中有某行(列)是两项之和,可直接利用性质拆项;二是所给行列式中行(列)没有两项和形式, 这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和。 方法五:析因子法。如果行列式 D 中有一些元素是变数 x(或某个参变数)的多项式,那么可以将行列式 D 当作一个 多项式 f ( x ) ,然后对行列式 f ( x ) 实行某些变换,求出 f ( x ) 的互素的一次因式,使得 f ( x ) 与这些因式的乘积 g ( x) 只 相差一个常数因子 c,根据多项式相等的定义,比较 f ( x ) 与的 g ( x) 某一项系数,求出 c 值,便可求得 D ? cg ( x) 。 2、行列式计算中常用的类型: 类型一: “两条线”型行列式(非零元分布在两条线上,例如

a11 ? a1n

1

a1

?

an

a11 ? a1n

1

0

?

0

? ? ? ?



? ? ? ?

等等) 。

注: “两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算,或用拉普拉斯定理展开,降阶后的行列式或为三角形行列式, 或得到一个递推公式。 类型二: “三条线”行列式(非零元分布在三条线上) 。

? ?

? ?

(1) “三对角”行列式( ? ? ? , ? ? ? ) 。

? ? ? ?
注: “三对角”行列式可以按如下方法进行求解。 首先得到一个一般的递推公式 Dn ? pDn?1 ? qDn?2 ,然后可以用以下两种方法之一求出 Dn 的表达式:

3

先计算 D1 , D2 , D3 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明。 间接递推法:借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于 Dn 和 Dn?1 的方程组,从而消去 Dn?1 就可解 得 Dn 。

? ? ?
(2) “爪型”行列式(

? ?

? ) 。 ?

注: “爪型”行列式可以按行(列)提取公因子,然后化为上(下)三角形行列式进行求解。

? ? ?
(3)Hessenerg 型行列式(

? ?

? ) 。 ?

类型三:各行(列)元素之和相等(或多数相等仅个别不相等)的行列式。 注:行加法(或列加法)再化为三角形行列式进行求解。 类型四:除主对角线外其余元素相同(或成比例)型行列式。 注:拆行(列)法或再结合其他方法进行求解。 类型五:可利用范德蒙行列式计算的行列式。 类型六:其他形式行列式。

五、克莱姆法则
1、克莱姆法则:如果含有 n 个未知量的 n 个方程的线性方程组

? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 a11 ? a1n ?a x ? a x ? ? ? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 的系数行列式不等于零,即 D ? ? ? ? ? 0 , ? ? ? an1 ? an1 ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? bn
则方程组有唯一解:

x1 ?

D D1 D , x2 ? 2 ,? , xn ? n D D D

其中 D j ( j ? 1, 2,?n) 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 级行列式。 2、含 n 个未知量的 n 个方程的齐次线性方程组

? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0 ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n 只有零解的充要条件是系数行列式 D ? 0 ;有非零解的充要条件是系数行列式 D ? 0. ? ? ? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? 0

4


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