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高考一轮复习平面向量的数量积及应用

时间:2015-02-24






高三 胡居化

学科

数学

内容标题 编稿老师

平面向量的数量积及应用

一、学习目标:
1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义,理解两个向量的夹角的概念. 2. 掌握平面向量数量积的定义、性质、几何意义等,并能进行平面向量数量积的运算. 3. 会用平面向量数量积解决简单的实际问题.

二、重点、难点:
重点:平面向量数量积的定义、性质、几何意义及平面向量数量积的运算. 难点:用平面向量数量积解决简单的实际问题.

三、考点分析:
新课标高考对这部分知识主要以选择题、填空题的形式考查数量积的基本概念和性质, 重点考查平面向量数量积的概念及应用.重点体会向量为代数几何的结合体,此类题难度不 大.平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等内容 相联系,解决角度、垂直、共线等问题,题型以解答题为主.

一、平面向量数量积的有关概念 1. 两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹 角; 说明: (1)当 θ=0时, a 与 b 同向; (2)当 θ=π 时, a 与 b 反向; (3)当 θ=

? 时, a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b ; 2

(4)注意在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,范围为 0?≤?≤180?.

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2. 数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · ︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b b =︱ a ︱· 的数量积(或内积).规定 0 ? a ? 0 ; 向量的投影:︱ b ︱cos ? = 为射影. 二、平面向量数量积的几何意义及其性质、运算律 1. 几何意义: a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积. 2. 性质: (1) a ? a ? a 2 ?| a |2 . (2) a ? e ?| a | cos ? a, e ? (3) cos ? a , b ??

a ?b ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影.投影的绝对值称 |a|

a ?a b?b
ab |?|b | a| ?

(4) | a ? b |?| a | ? | b |

(5) a ⊥ b ? a · b =0 注:乘法公式成立

?

?

?

?

?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a
2 2 2 2 2

2

?b ; ? 2a ? b ? b ;
2

2

2

3. 运算律 (1)交换律成立: a ? b ? b ? a ;

? ? ?? ? R ? ; (3)分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? .
(2)对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b (4)向量的夹角:cos ? = cos ? a , b ??

? ?

aa ? ?bb
|a a? | ?b |b|



x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

.

注:平面向量数量积的运算不满足结合律. 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ = 0°,当且仅当 a 与 b 反方向时,θ =

180? ,同时 0 与其他任何非零向量之间不涉及夹角这一问题.
三、两个向量的数量积的坐标运算

b = x1 x2 ? y1 y2 . 已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·
(1)垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90°,则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b . 两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b ? a · b =0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,
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?

?

?

?

(2)平面内两点间的距离公式 设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |?

x2 ? y2 .

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) , 那么 | a |? (x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式). 四、向量的应用 1. 向量在几何中的应用; 2. 向量在物理中的应用.

知识点一:平面向量的数量积 例 1:基础题 1. 在 Rt△ABC 中, ?C ? 90?, AC=4,则 AB ? AC ? _______ 2. 已知向量 a, b满足: | a |? 1, | b |? 2, a与b 的夹角是 60?,则| a ? b |? ______ 【思路分析】 1. 利用 AB ? AC ? CB且CB ? AC 求解. 2. 先求 | a ? b |2 ,然后开方. 【解题过程】 1. 因 为
2

AB ? AC ? CB且CB ? AC
2





AB ? AC ? AC ( AC ? CB ) ? AC ? 4 2 ? 16
2. 因为: | a ? b |2 = a ? 2a ? b ? b ? 1 ? 2 ?1? 2 cos60? ? 4 ? 3
2

? | a ? b |? 3
【解题后的思考】 本例主要考查平面向量数量积的定义等基础知识, 对于这些基础知识的考 查主要以选择、填空题为主. 例 2:中等题. 1. 已知: | a |? 1, a ? b ?

1 1 , (a ? b)(a ? b) ? 2 2

(1)求 a与b 的夹角θ ; (2)求 a ? b与a ? b 的夹角 ? 的余弦值. 2. 在直角坐标系中,O(0,0) ,M(1,1) ,N(0,1) ,Q(2,3) ,动点 P(x,y) 满足: 0 ? OP ? OM ? 1 , 0 ? OP ? ON ? 1 ,求 z= OP ? OQ 的最大值. 【思路分析】

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1. (1)由已知可求 | b | ,再利用 cos ? a, b ??

a ?b | a |?|b |

求解;

(2)由已知求 | a ? b | 与 | a ? b |, 再利用 cos ?

?

(a ? b) ? (a ? b) | a ?b|?| a ? b|

求解.

2. 由已知得到变量 x,y 的线性约束条件,再根据线性规划知识求目标函数的最大值. 【解题过程】 1. (1)? (a ? b)(a ? b) ?

1 1 ?| a |2 ? | b |2 ? , | a |2 ? 1, 2 2

?| b |? | a | 2 ?

1 2 ? , 2 2

故 cos ? a, b ??

a ?b | a |?|b |



1 2 1? 2 2

?

2 ? ,? 0 ? ? ? ? ,?? ? . 2 4
1 1 1 2 ? ? ?| a ? b |? 2 2 2 2

(2)?| a ? b | 2 ? a ? 2a ? b ? b ? 1 ? 2 ? 1 ? 同理可求: | a ? b |?

2

2

10 2


? cos ? ?

( a ? b) ? (a ? b ) |a ?b|?|a ?b|

1 2 2 10 ? 2 2

?

5 . 5

2. 由已知得: OP ? ( x, y),OM ? (1,1),ON ? (0,1),OQ ? (2,3) 又 0 ? OP ? OM ? 1 , 0 ? OP ? ON ? 1 ,得: ? ∴z=2x+3y 在线性约束条件(*)下,画出其可行域如图所示.

?0 ? x ? y ? 1 ????(*) ?0 ? y ? 1

由可行域知:当 x=0,y=1 时,目标函数取得最大值 3. 【解题后的思考】 求 两 个 向 量 的 夹 角 问 题的 关 键 是 求 两 个 向 量 的数 量 积 及 其 模 , 在 求 模时 要 注 意

| a | 2 ? a 2 的应用,同时注意两个向量的夹角的范围.
例 3:应用与创新题
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手表的表面在同一平面上,整点为 1,2,3??,12 等间隔地分布在半径为

2 的圆周 2

上,从整点 i 到 i ? 1 的向量记为: t i t i ?1 ,求 t1t 2 ? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3t 4 ? ? ? t12 t1 ? t1t 2 的值. 【思路分析】 根据已知: t1t 2 ? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3t 4 ? ? ? t12 t1 ? t1t 2 ,共有 12 个数量积.且每两个向量的 夹角都是 30°, | t1t 2 |?| t 2 t 3 |? ? ?| t12 t1 | ,然后利用正弦定理求 | t1t 2 | . 【解题过程】

2 | t1t 2 | ? 2 ?| t 1 t 2 |? 在 ?OAB 中,由正弦定理得: sin 30? sin 75?

3 ?1 , 2

? t1t 2 ? t 2 t 3 ? (

3 ?1 2 2? 3 ) cos 30? ? ? 3, 2 4

由已知得: t1t 2 ? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3t 4 ? ? ? t12 t1 ? t1t 2 ,

? t1t 2 ? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3t 4 ? ? ? t12 t1 ? t1t 2 =12 ?
【解题后的思考】

2? 3 ? 3 ? 6 3 ?9. 4

解本题的关键是掌握两个特征:① t1t 2 ? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3t 4 ? ? ? t12 t1 ? t1t 2 ② | t1t 2 |?| t 2 t 3 |? ? ?| t12 t1 | ,这两个特征可通过图象反映出来,从而看出向量具有几 何与代数的双重特性,因此解决向量问题时需注重数形结合思想的应用. 知识点二:平面向量的简单应用 例 4:基础题 1. 在△ABC 中, (BC ? BA) ? AC ?| AC |2 ,则 ?ABC 的形状是______. 2. 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已 知 F1 , F2 成 60°角,且 | F1 | ? 2, | F2 |? 4,则 | F3 |? __________ _____. 【思路分析】
2 1. 注意利用 | AC | ? AC ? AC ? AC 进行变换. 2

2. 根据向量的平行四边形法则及物理学意义知: F3 ? F1 ? F2 【解题过程】 1. 由 (BC ? BA) ? AC ?| AC |2 ? (BC ? BA) ? AC ? AC ? AC ? 0

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?AC(BC ? BA ? CA) ? 0 ? AC ? 2BA ? 0 ? AC ? BA
故△ABC 为直角三角形. 2. 由已知: F3 ? F1 ? F2 ,

? | F3 |2 ?| F1 |2 ? | F2 |2 ?2F1 F2 ? 28 ?| F3 |? 2 7
【解题后的思考】掌握向量的基础知识,解决基础性问题是第一轮复习的重点,因此对基础 知识的掌握是获取高分的重要的因素之一. 例 5:中等题 设 x,y? R , a ? ( x ? 3, y),b ? ( x ? 3, y),且 | a | ? | b |? 4 (1)求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程. (2) 过点 P (0, 2) 作直线 L 与轨迹 C 交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 若 OA ? OB ? 求直线 L 的倾斜角. 【思路分析】 (1)根据 | a | ? | b |? 4 及结合圆锥曲线的定义求动点 M 的轨迹 C 的方程. (2)设直线 L 的斜率为 k,利用 OA ? OB ?

12 , 5

12 及根与系数的关系求 k,但要注意斜率 5

不存在的情况及直线 L 与曲线(轨迹 C)有两个交点的条件. 【解题过程】 (1)由已知 | a |? | b |? 4 ?

( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4 ,

假设 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) ,则有 | MF1 | ? | MF2 |? 4 ?| F1 F2 | , 故动点 M(x,y)的轨迹 C 是以 F1 , F2 为焦点、长轴为 4 的椭圆,

x2 ? y2 ? 1. 即轨迹 C 的方程为: 4
(2)若过点 P(0,2)的直线斜率不存在,则不满足 OA ? OB ? 故设直线 L 的斜率为 k,则直线 L 的方程是 y=kx+2

12 5

x2 ? y 2 ? 1 ,整理得: 把 y=kx+2 代入椭圆方程 4

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0???(*),
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是方程(*)的两个不等实根,

16k ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 ?? ? x x ? 12 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

??????????①

OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 )

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+4=

12 5

??????(2)

把①代入②得:

12(1 ? k 2 ) 32k 2 12 ? ?4? ? k 2 ? 1, 2 2 5 1 ? 4k 1 ? 4k
2 2 2

由于方程(*)有两个不等实根,故 ? ? (16 k ) ? 48(1 ? 4k ) ? 0 ? k ?
2 即 k ? 1 ? k ? ?1 满足条件,所求直线 L 的倾斜角是 ? ?

3 , 4

?
4



3? . 4

【解题后的思考】 利用向量知识解决解析几何问题仍是新课标高考命题的重点, 其题目一般 都是大题,难度都在中等以上,解决这一类问题的关键是弄清题意、准确分析已知条件中的 数量关系,注重函数与方程、分类讨论、等价转化数学思想的应用. 例 6:应用与创新题 在平面直角坐标系中, 已知点 An (n, an ), Bn (n, bn ),Cn (n ? 1,0), (n ? N ? ) , 满足 An An ?1 与 Bn Cn 共线,且点 Bn (n, bn ) 都在斜率为 6 的同一条直线上, (1)试用 a1 , b1与n表示an (2)设 a1 ? a, b1 ? ?a, 且12 ? a ? 15, 求数列 {an }中的最小项. 【思路分析】 (1) 根据点 Bn (n, bn ) 都在斜率为 6 的同一条直线上可知该数列是等差数列, 从而求出

bn ,再由 An An ?1 与 Bn Cn 共线求 an .
(2)用二次函数求最值的方法求. 【解题过程】 ( 1 ) ? 点 Bn (n, bn ) 都 在 斜 率 为 6 的 同 一 条 直 线 上 , 故 有

bn ?1 ? bn ? 6 ? bn ?1 ? bn ? 6 , (n ? 1) ? n

?{bn } 是公差为 6 的等差数列,即 bn ? b1 ? (n ? 1) ? 6 = 6n ? (b1 ? 6) ,

? An An?1 ? (1, an?1 ? an ), Bn Cn ? (?1,?bn ) ,由 An An ?1 与 Bn Cn 共线得:
1? (?bn ) ? (?1) ? (an?1 ? an ) ? 0 ? an?1 ? an ? bn ? 6n ? (b1 ? 6) ,

? a 2 ? a1 ? 6 ? 1 ? (b1 ? 6) a3 ? a 2 ? 6 ? 2 ? (b1 ? 6) ? ? a n ? a n ?1 ? 6(n ? 1) ? (b1 ? 6)
把上面的等式相加得: an ? a1 ? 6[1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)] ? (n ? 1)(b1 ? 6) ,

? an ? a1 ? 3n(n ? 1) ? (n ? 1)(b1 ? 6) .
(2)把 a1 ? a, b1 ? ?a代入an 得:an ? 3n 2 ? (a ? 9)n ? 6 ? 2a . 【解题后的思考】以向量为载体解决数列、不等式、解析几何、平面几何、三角函数等问题
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是新课标高考的热点题型之一, 目的在于考查学生应用数学知识解决实际问题的能力, 通过 向量建立等量或不等量的关系,充分体现了向量的作用.因此只有抓住向量与其他知识间的 联系才能解决这些问题.

(答题时间:45 分钟)
一、选择题 1. 在下列各命题中 (1) 0 ? a ? 0 ; (2) 0 ? a ? 0 ; (3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; (4)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意向量 a, b , c 都成立;
2 (6)对任意向量 a ,有 a ? a . 2

其中正确命题的个数有( A. 2 B. 3

) C. 4 D. 5 )

2. 已知: | a |=1, | b |=2,c = a + b , 且c ⊥a , 则向量 a 与 b 的夹角为 ( A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

*3. 在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上,且满足: AP ? 2PM , 则 PA( PB ? PC) ? ( A. ? ) B.

4 9

?

4 3

C.

4 3

D.

4 9

*4. 在 ?AOB 中,O 是坐标原点, OA ? (2 cos? ,2 sin ? ),OB ? (5 cos? ,5 sin ? ), 若

OA ? OB ? ?5,则S?AOB ? (
A.

)
C.

3 2

B.

3 3 2

3

D.

5 3 2

5. 设 A ( a , 1 ) ,B(2,b) ,C(4,5)为平面上三点,O 为坐标原点,若 ,则 a,b 满足的关系式是( OA 与OB 在OC方向上的投影相同 A. 4a-5b=3 二、填空题 6. 通过点 A(-1,2) ,且平行于向量 a ? (3,2) 的直线方程是__________. 7. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, a ? 3, a ? b ? 13, 则 b =________. *8. 已 知 非 零 向 量 AB 与AC 满 足 : ( B. 5a-4b=3 C. 4a+5b=14 ) D. 5a+4b=14

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0 , 且 满 足 :

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AB | AB |

?

AC | AC |

?

1 ,则 ?ABC 为__________. 2

三、计算题 *9. 给定抛物线 C:y 2 ? 4 x ,F 是 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点, 设 l 的斜率为 1,求 OA 与 OB 夹角的余弦值. *10. 已知直线 l:y=x+b 和圆 O:x 2 ? y 2 ? 1 ,问是否存在实数 b,使从点 A(3,3) 发出的光线被直线 l 反射后与圆 O 相切于点 B( 在,请说明理由.

24 7 , ) ?若存在,求出 b 的值;若不存 25 25

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一、选择题 1. A(解析: (1)错; (2)对; (3)错; (4)错; (5)错; (6)对.) 2. C(解析:设所求两向量的夹角为 ? ,
? ? ? ? ?

c ? a ? b    c ? a ,? c ? a ? (a ? b) ? a ? a ? a ? b ? 0
2 ? ?

2

?| a | ? ? | a || b | cos ?
所以θ =120°.

?

即: cos ? ?

? | a |2 | a || b |
? ?

?

??

|a| |b|
?

?

??

1 2

3. A(解析: PA( PB ? PC) ? PA ? 2PM ?

2 1 4 ? 2 ? cos ? ? ? ) 3 3 9

4. D (解析:由 OA ? OB ? ?5 ? cos(?-? ) ? - ? sin ?AOB ?

1 2

3 ? S ?AOB 2

?

5 3 ) 2
OB ? OC | OC |

5. A(解析:由投影的定义知:

OA ? OC | OC |

?

? OA ? OC ? OB ? OC ? 0 ? BA ? OC ? 0 ,

由向量的坐标运算知: 4a ? 5b ? 3 ) 二、填空题 6. 2x-3y+8=0 7. 4(解析: | a ? b |2 ? 13 ?| b |2 ?3 | b | ?4 ? 0 ?| b |? 4 ) 8. 等边三角形, (解析:由 (

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0 得: ?ABC 是等腰三角形,由

AB | AB |

?

AC | AC |

?

1 1 ? cos A ? ? A ? 60? ) 2 2

三、计算题 9. 解:由焦点 F(1,0) , kl ? 1 , 则 l:y ? x ? 1 , 代入 y ? 4 x ,整理,得
2

x 2 ? 6x ? 1 ? 0 ,
设 A( x1 ,y1 ) 、 B( x2 ,y2 ) ,则

x1 ? x2 ? 6,x1 x2 ? 1 ,

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于是有 OA ? OB = ( x1,y1 ) ? ( x2,y2 ) ,

? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? x 1 x 2 ? ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 2x 1 x 2 ? ( x 1 ? x 2 ) ? 1 ? ?3

| OA || OB |?

2 2 2 2 x12 ? y12 x 2 ? y2 ,把 y1 ? 4x1 , y2 ? 4x2 代入此式得:

| OA | ? | OB | ? x1x 2 [4(x1 ? x 2 ) ? 16] ? 41 , ? ? OA · OB 3 41 所以 cos ? OA . , OB ? ? ? ? ? ? 41 | OA|| OB|
10. 解:假设存在满足条件的实数 b,易得点 A(3,3)关于直线 l:y=x+b 的对称点 A'(3-b,3+b) ,则反射光线所在的直线为 A'B,如图

因为 OB ? (

24 7 , ), 25 25

A ?B ? (

24 7 ? 3 ? b, ? 3 ? b ) , 25 25 24 24 7 7 ( ? 3 ? b) ? ( ? 3 ? b) ? 0 , 25 25 25 25

又 OB ⊥ A?B , 则 OB ? A ?B ? 解得 b=4, 所以符合题给条件的实数 b 存在,其值为 4.

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