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高一数学等比数列的前n项和测试题

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等比数列的前 n 项和·例题解析 【例 1】 设等比数列的首项为 a(a>0),公比为 q(q>0),前 n 项和为 80,其 中最大的一项为 54,又它的前 2n 项和为 6560,求 a 和 q. 解 由 Sn=80,S2n=6560,故 q≠1 ? a (1 ? q n ) ? 1 ? q = 80 ? ? 2n ? a (1 ? q ) = 6560 ? ? 1? q ① ? q n = 81 ② ③ ∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前 n 项中最大项为 an. ∴an=aqn-1=54 ④ 将③代入①化简得 a=q-1 ⑤ ③ 化简得3a = 2q ④ 由⑤,⑥联立方程组解得 a=2,q=3 ⑥ 2 【例2】求证:对于等比数列,有S2 n +S2n = S n (S2n +S3n ) . 证 ∵Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 S2n=Sn+(a1qn+a1qn+1+…+a1q2n-1) =Sn+qn(a1+a1q+…+a1qn-1) =Sn+qnSn =Sn(1+qn) 类似地,可得 S3n=Sn(1+qn+q2n) 2 2 n 2 ∴S 2 n + S 2n = S n +[S n (1+q )] n 2n = S2 n (2 + 2q +q ) S n (S 2n +S 3n ) = S n [S n (1+q n ) +S n (1+q n +q 2n )] n 2n = S2 n (2 + 2q +q ) 2 ∴S 2 n +S 2n = S n (S 2n +S 3n ) 说明 本题直接运用前 n 项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处 理了 S2n、S3n 与 Sn 的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因 式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 【例 3】 一个有穷的等比数列的首项为 1, 项数为偶数, 其奇数项的和为 85, 偶数项的和为 170,求这个数列的公比和项数. 分析 设等比数列为{an},公比为 q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是 等比数列,公比为 q2,首项分别为 a1,a1q. 解 设项数为 2n(n∈N*),因为 a1=1,由已知可得 q≠1. ? a 1 (1 ? q 2 n ) = 85 ? 2 ? 1? q ∴? 2n ? a 1q (1 ? q ) = 170 2 ? ? 1? q ① ② ① 得:q = 2 把q = 2 代入 ② 1? 4n 得 = 85 1? 4 ∴ 4 n = 256 n = 4 ① 即公比为 2,项数为 8. 说明 运用等比数列前 n 项和公式进行运算、推理时,对公比 q 要分情况讨 论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相 除的方法达到降次的目的. 【例 4】 选择题:在等比数列{an}中,已知对任意正整数 n,有 Sn=2n 2 2 -1,则a 1 +a 2 2 +…+a n 等于 [ ] A. (2 n -1) 2 C.2 n -1 解 D. ∵a1=S1=1,an=Sn-Sn-1=2n-1 ∴an=2n-1 ∴bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1 1 B. (2 n -1) 2 3 1 D. (4 n -1) 3 2 2 ∴b 1 +b 2 +…+b n = a 1 +a 2 2 +…+a 2 = 1+ 4 + 4 2 +…+ 4 n ?1 4n ? 1 1 n = ? (4 ? 1) 4 ?1 3 【例 5】 设 0<V<1,m 为正整数,求证: (2m+1)Vm(1-V)<1-V2m+1 分析 直接作,不好下手.变形: 1 ? V 2 m?1 (2m+1)V < 1? V m 右边分式的外形,使我们联想到等比数列求和公式,于是有: (2m+1)Vm<1+V+V2+…+V2m 发现左边有(2m+1)个 Vm,右边有(2m+1)项,变形:Vm+Vm+…+Vm<1 +V+V2+…+V2m. 显然不能左右各取一项比较其大小,试用“二对二”法,即左边选两项与右 边的两项相比较. 鉴于左、 右两边都具有 “距首末等远的任意两项指数之和均相等” 的特点,想到以如下方式比较: Vm+Vm<1+V2m,Vm+Vm<V+V2m-1,…,Vm+Vm<Vm-1+Vm+1, Vm=Vm. 即 2Vm<1+V2m,2Vm<V+V2m-1,…. 根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值” ,这些式子显然成立. (具体证法从略). 说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考” : 要证A·B<C(B>0) ,改证A< C 1 ? V 2 m?1 ;见到 ,去逆向运用S n = B 1? V a 1 ? a·q n ,化成1+V+V 2 +…+V 2m ;要证A+B<C+D,先证A< 1? q C,B<D,等等.善于进行逆向思考,是对知识熟练掌握的一种表现,同时 也是一种重要的思维能力,平时应注意训练. 【例 6】 数列{an}是等比数列,其中 Sn=48,S2n=60,求 S3n. 解法一 利用等比数列的前 n 项和公式 若 q=1,则 Sn=na1,即 na1=48,2na1=96≠60,所以 q≠1 a 1 (1 ? q n ) ∵S n = 1? q S 2n a 1 (1 ? q 2 ) = 1? q ? a 1 (1 ? q n )(1 + q n ) 1? q n ? S n (1 ? q n ) ∴q n = S 3n 1 4 a 1 (1 ? q 3n ) = 1? q a 1 (1 ? q n )(1 ? q n ? q 2 n ) ? 1? q =Sn(1+qn+q2n) ∴ S 3n = 48(1 ? 1 1 + ) = 63 4 16 解法二 利用等比数列的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成

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