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含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

时间:2013-05-22


【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法 不等式
| x |? a ( a ? 0 )

解集
{ x | ? a ? x ? a}

| x |? a ( a ? 0 )

x | x ? ? a 或 x ? a}

把 a x ? b 看 成 一 个 整 体 , 化 成 | x |? a ,
| a x ? b |? c , | a x ? b | ? c ( c ? 0 ) | x | ? a ( a ? 0 ) 型不等式来求解

(2)一元二次不等式的解法 判别式
? ? b ? 4ac
2

? ? 0

? ? 0

? ? 0

二次函数
y ? ax ? bx ? c (a ? 0)
2

的图象
a ? 0
2

O

一元二次方程
ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的

x1, 2 ?

?b ?

b ? 4ac
2

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

2a



(其中 x1 ? x 2 )
{ x | x ? x1 或 x ? x 2 }
{x | x ? ?

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的
2

b 2a

}

R

解集
ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的
2

{ x | x1 ? x ? x 2 }

?

?

解集 判别式
? ? b ? 4ac
2

? ? 0

? ? 0

? ? 0

二次函数
y ? ax ? bx ? c (a ? 0)
2

的图象 一元二次方程
a ? 0
ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的
2

x1, 2 ?

?b ?

b ? 4ac
2

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

2a



(其中 x1 ? x 2 )
{ x | x1 ? x ? x 2 }

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的
2

?

?

解集
ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的
2

{ x | x ? x1 或 x ? x 2 }

{x | x ? ?

b 2a

}

R

解集

〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
(1)函数的概念 ①设 A 、B 是两个非空的数集, 如果按照某种对应法则 f , 对于集合 A 中任何一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及
A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B .

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,我们规定 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [ a , b ] ; 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a , b ) ;
? 满足 a ? x ? b , a ?x b 或

的实数 x 的集合叫做半开半闭区间, 分别记做 [ a , b ) , a , b ] ; (
a? x ,





x?

,a

? , x

的 实x 数 b x ? b















[ a , ? ? ), ( a , ? ? ), ( ? ? , b ], ( ? ? , b ) .

(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① f ( x ) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x ) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x ) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等 于 1.

⑤ y ? ta n x 中, x ? k ? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x ) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各 基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a , b ] ,其复合函 数 f [ g ( x )] 的定义域应由不等式 a ? g ( x ) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数, 求其定义域, 根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. 例 1:已知函数 f ( x ) ? (1)求函数的定义域; (2)求 f ( ? 3) , f ( ) 的值;
3 2
x?3? 1 x?2



(3)当 a ? 0 时,求 f ( a ) , f ( a ? 1) 的值。

练习 1:求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ?
1 4x ? 7



(2) f ( x ) ?

1? x ?

x ? 3 ?1;

练习 2:已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ,
3

(1)求 f (2) , f ( ? 2 ) , f ( 2 ) ? f ( ? 2 ) 的值; (2)求 f ( a ) , f ( ? a ) , f ( a ) ? f ( ? a ) 的值。

(4)确定常见基本函数值域的方法 在函数 y ? f ( x ) 中, 与自变量 x 的值对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合叫做函数的 值域,函数的值域受定义域的制约。 几种基本初等函数的值域 ① y ? kx ? b ( k ? 0 ) 的值域为 R
4ac ? b 4a 4ac ? b 4a
2 2

2 ② y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) :当 a ? 0 时,值域为 [

, ? ? ) ;当 a ? 0 时,值域为

(?? ,

]。

③y ?

k x

( k ? 0 ) 的值域是 { y / y ? R 且 y ? 0} 。
x

④ y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 的值域是 (0, ? ? ) 。 ⑤ y ? lo g a x ( a ? 0 且 a ? 1) 的值域是 R。 ⑥ y ? sin x , y ? co s x , y ? tan x 的值域分别为[-1,1],[-1,1],R。 求函数的值域 ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范 围确定函数的值域. ③不等式法:利用基本不等式确定函数的值域. ④换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最 值问题转化为三角函数的问题 只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 例 2:下列函数中哪个与函数 y ? x 相等? (1) y ? ( x ) 2 ; (2) y ?
3

x ;

3

(3) y ?

x ;

2

(4) y ?

x

2



x

练习 3:判断下列各组中的函数是否相等,并说明理由:
2 (1) 表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h ? 1 3 0 t ? 5 t 和二次函数 y ? 1 3 0 x ? 5 x ;

2

(2) f ( x ) ? 1 和 g ( x ) ? x 。
0

【1.2.2】函数的表示法
(5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.例: y ? 2 x 列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 (6)映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在 集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的 对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的映射,记作 f : A ? B . 理解:1、集合 A,B 均为非空集合,A 中的元素不可剩余,B 中的元素可剩余。 2、可以多对一,不可以一对多。 3、映射具有方向性,集合 A 到集合 B 的对应与集合 B 到集合 A 的对于所确定的 映射是不同的。 4、集合 A,集合 B 和对应法则 f 是映射的三要素,三者是一个有机整体,不可分 割。 ②映射与函数的关系 对于映射 f : A ? B 来说,集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合;而函数 定义中的两个集合必须是非空数集。因此,映射是函数概念的一种扩展,即将数集扩展到任 意元素的集合,函数是一种特殊的映射。所以映射不一定都是函数,而函数都是映射。 ③象与原象 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A , b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我 们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. 注意: (1)A 中元素必须都有象且唯一; (2)B 中元素不一定都有原象,原象不一定唯 一。
m ④ ca rd ( A ) ? m , ca rd ( B ) ? n , m 、 n ? N ,则映射 f : A ? B 的个数为 n

⑤ ca rd ( A ) ? ca rd ( B ) ? n , n ? N ,则 A 到 B 的一一映射的个数为 n! 练习 4:下述两个对应是 A 到 B 的映射吗? (1) A ? R , B ? { y / y ? 0} , f : x ? y ? x ; (2) A ? { x / x ? 0} , B ? { y / y ? R } , f : x ? y ? ? x 。

练习 5:若 A ? {1, 2, 3, 4} , B ? { a , b , c } , a , b , c ? R ,则 A 到 B 的映射有_____个?B 到 A 的映射有_____个? 练习 6: 设集合 M ? { ? 1, 0,1} ,N ? { ? 2, ? 1, 0,1, 2} , 如果从 M 到 N 的映射 f 满足条件: 对 M 中的每个元素 x 与它在 N 中的象 f(x)的和都为奇数,则映射 f 的个数是( ) (A)8 个 (B)12 个 (C)16 个 (D)18 个 练习 7: M ? {x /0 ? x ? 2 N { /0 设 }, ? y
?y2 ? }

, 给出如图 1-2-1-1 所示四个图形, )

其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的个数是(

A.0 D.3

B.1

C.2


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