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2015年山东师范大学附属中学高三第一次模拟考试理科数学试卷

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2015 年山东师范大学附属中学高三第一次模拟考试理科数 学试卷
1. 设全集 U ? ??1, ?2, ?3, ?4,0? ,集合 A ? ??1, ?2,0? , B ? ??3, ?4,0? ,则 (? U A) ? B ? ( A. )

?0?

B.

??3, ?4?

C.

??1, ?2?

D. ?

答案:B 分析:先利用集合的补集的定义求出集合 A 的补集,即 ?U A={-3,-4} ;再利用集合的交集的

B 定义求出 (? U A) ? B ? {?3, ?4} ,故应选

2.已知 f ? x ? ? x , i 是虚数单位,则在复平面中复数
2

f ?1 ? i ? 对应的点在( 3?i
D. 第四象限



A. 第一象限 答案:A

B. 第二象限

C. 第三象限

分析:因为函数 f ( x) ? x ,所以 f (1 ? i) ? (1 ? i) ,化简得 f (1 ? i) ? 2i ,
2 2

所以

f ?1 ? i ? 2i 2i (3 ? i ) 2 ? 6i 1? 3i 1 3 ? ? ? ? ? ? i ,根据复数的几何意义知, 3?i 3 ? i (3 ? i )(3 ? i ) 10 5 5 5

f ?1 ? i ? 1 3 所对应的点的坐标为 ( , ) ,所以其对应的点在第一象限,故应选 A 5 5 3?i

3.设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 0,1? ,若 P ?? ? 1? ? p ,则 P ? ?1 ? ? ? 0? ? ( A.



1 ?p 2

B. 1 ? p

C. 1 ? 2 p

D.

1 ?p 2

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答案:D 分析:因为随机变量 ? 服从正态分布 N ? 0,1? ,所以正态分布曲线关于直线 x ? 0 对称,

1 , P(? ? 1) ? P(? ? ?1) ? p , 2 1 所以 P ? ?1 ? ? ? 0? ? P(? ? 0) ? P(? ? ?1) ? ? p ,故应选 D 2
所以 P(? ? 0) ? P(? ? 0) ?

4.设 0 ? x ?

?
2

,则“ x sin 2 x ? 1 ”是“ x sin x ? 1 ”的( B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 答案:C

2 分析: 若 “ x sin x ? 1 ” , 则由 0 ? x ?

?
2

0 ? sin x ? 1 , 知, 所以 x sin x ?

1 1 ? 1, , 而 sin x sin x

2 此时不能推出 x sin x ? 1 ,即“ x sin x ? 1 ”不是“ x sin x ? 1 ”的充分条件;反过来,若

“ x sin x ? 1 ” ,
2 则 x sin x ? sin x ,又 0 ? x ?

?
2

2 ,所以 0 ? sin x ? 1 ,所以 x sin x ? sin x ? 1 ,

2 2 即“ x sin x ? 1 ”是“ x sin x ? 1 ”的充分条件,即“ x sin x ? 1 ”是“ x sin x ? 1 ”的必

要条件.
2 综上可知, “ x sin x ? 1 ”是“ x sin x ? 1 ”的必要不充分条件.故应选 B.

5.已知两个不同的平面 ? , ? 和两条不重合的直线 m, n ,则下列四种说法正确的为( A. 若 m ∥ n, n ? ? ,则 m ∥ ? B. 若 m ? n, m ? ? ,则 n ∥ ? C. 若 m ? ? , n ? ? , ? ∥ ? ,则 m, n 为异面直线



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D. 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n 答案:D 分析: A 中直线 m 也可能在平面内, 所以不正确;B 中 n 有可能在平面内, 所以不正确;C 中分别在两个平面内的两条直线也可能平行或相交,不一定异面,所以不正确;根据线面垂 直、面面垂直的性质可知 D 正确.

6.要得到函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?

? 个单位长度 2 ? C. 向左平移 个单位长度 4
A. 向左平移 答案:C

) 的图象, 只需将函数 g ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象 ( 3 3

?



? 个单位长度 2 ? D. 向右平移 个单位长度 4
B. 向右平移

分析:因为函数 f ? x ? ? cos(2 x ? 所以将函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?

? 个单位长度, 3 4 ? ? 5? ) 的图像,故应选 C 即可得到函数 y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? 4 3 6
) 的图象向左平移

?

? ? 5? ) ? sin[(2 x ? ) ? ] ? sin[2( x ? )] , 3 3 2 12

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交 5.已知双曲线 12 4
点,则此直线的斜率的取值范围是( A. [? ) C. (?

3 3 , ] 3 3

B. [? 3, 3]

3 3 , ) 3 3

D. (? 3, 3)

答案:A 分析:双曲线

x2 y 2 3 ? ? 1 的渐近线方程是 y ? ? x ,过右焦点 F (4, 0) 分别作两条渐近 12 4 3

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线的平行线 l1 和 l2 ,由下图图像可知,符合条件的直线的斜率的范围是 [? 选A

3 3 , ] ,故应 3 3

6.某班班会准备从甲、 乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言, 要求甲、 乙两人至少有一人参加, 当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( A. 360 答案:C
1 3 4 分析:根据题意,可分 2 种情况讨论:①只有甲乙其中一人参加,有 C2 ? C5 ? A4 ? 480 种情 2 2 4 况 ; ② 甲 乙 两 人 都 参 加 , 有 C2 ? C5 ? A4 ? 240 种 情 况 , 其 中 甲 乙 相 邻 的 有 2 2 3 2 2 2 3 2 C2 ? C5 ? A3 ? A2 ? 120 种情况;则不同的发言顺序种数为 C2 ? C5 ? A3 ? A2 ? 120 种,故应选



B. 520

C. 600

D. 720

C。

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7. 设 函 数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? bx? c , x ? 0, ?2, x ? 0.
) C. 2

若 f ? ?4? ? f ? 0? , f ? ?2? ? ?2 , 则 关 于

x 的方程

f ? x? ? x的解的个数为(
A. 4 答案:B B. 3

D. 1

分析:先由 f (?4) ? f (0) 可得, 16 ? 4b ? c ? c ,解之可得 b ? 4 ,再由 f (?2) ? ?2 可得

? x 2 ? 4 x ? 2 ,x ? 0 4 ? 2b ? c ? ?2 , 解 之 可 得 c ? 2 , 故 f ( x) ? ? , 令 f ( x) ? x 可 得 ?3, x ? 0
? x 2 ? 4 x ? 2 ? x ?3 ? x 或? ,解之可得 x ? 3 或 x ? ?1 或 x ? ?2 ,故应选 B ? ?x ? 0 ?x ? 0

8.已知向量 OA 与 OB 的夹角为 ? ,OA ? 2, OB ? 1, OP ? t OA, OQ ? (1 ? t ) OB, PQ 在 t 0 时取得最小值,当 0 ? t0 ? A. (0,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?
3

)

1 时,夹角 ? 的取值范围为( 5 ? ? ? 2? ) B. ( , ) C. ( , 3 2 2 3

) D. (0,

2? ) 3

答案:C 分析:由题意知, OA ? OB ? 2 ?1? cos? ? 2cos ? , PQ ? OQ ? OP ? (1 ? t )OB ? tOA , 所以 PQ ? (1 ? t )2 OB ? t 2 OA ? 2t (t ? 1)OA ? OB ? (1 ? t ) 2 ? 4t 2 ? 4t (1 ? t ) cos ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?2

??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ?

? (5 ? 4cos? )t 2 ? (?2 ? 4cos? )t ? 1由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,
t0 ? 1 ? 2 cos? 1 ? 2 cos ? 1 1 ? 2? 0? ? , , 由题意可得, 求得 ? ? cos ? ? 0 , 所以 ? ? ? , 5 ? 4 cos? 5 ? 4 cos ? 5 2 2 3

故应选 C 。

9.若 x ?1 ? x ? 3 ? k 对任意的 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围为_________

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答案: (??, 4) 分析:要使得不等式 x ?1 ? x ? 3 ? k 对任意的 x ? R 恒成立,需 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 的 最 小 值 大 于 k , 问 题 转 化 为 求 f ( x ) 的 最 小 值 , 首 先 设 f ( x) ? x? 1 ? x ? 3 , 则 有

??2 x ? 2 ,x ? ? 1 ? f (x ) ? ? 4 , ? 1 ?x? 3 ?2 x ? 2 ,x ? 3 ?
当 x ? ?1 时, f ( x ) 有最小值为 4 ; 当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x ) 有最小值为 4 ; 当 x ? 3 时,x ? 3 有最小值为 4 .综上所述, f ( x ) 有最小值为 4 ,所以, k ? 4 .故答案为 (??, 4)

10. 如图给出的是计算 ( )

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的程序框图,其中判断框内应填入的是 2 4 6 2014

A. i ? 2014 答案:A

B. i ? 2014

C. i ? 1007

D. i ? 1007

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分析:

11.已知圆 C 过点 ? ?1,0? , 且圆心在 x 轴的负半轴上, 直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长 为 l : y ? x ? 1 ,则圆 C 的标准方程为__________
2 答案: ? x ? 3? ? y ? 4 2

分析:设圆 C 的圆心 C 的坐标为 (a, 0)(a ? 0) ,则圆 C 的标准方程为 ( x ? a)2 ? y 2 ? r 2 .圆 心 C 到直线 l : y ? x ? 1 的距离为: d ?

a ?1 2

,又因为该圆过点 ? ?1,0? ,所以其半径为

r ? a ?1 , 由 直 线 l : y ? x ? 1 被 该 圆 所 截 得 的 弦 长 为 2 2 以 及 弦 心 距 三 角 形 知 ,
d2 ? (

a ?1 2 2 2 2 2 ) ? 2 ? ? a ? 1? , 解 之 得 : a ? ?3 或 a ? 1 ( 舍 ) . 所 以 ) ? r2 ,即 ( 2 2
2

r ? a ?1 ? 2 ,所以圆 C 的标准方程为 ? x ? 3? ? y 2 ? 4

12. 定 义 : mi n{ ab , }= ?

?a, a ? b ?0 ? x ? 2 .在区域 ? 内 任 取 一 点 P( x, y) , 则 x 、 y 满 ?b, a ? b ?0 ? y ? 6


min{x2 ? x ? 2 y, x ? y ? 4} ? x2 ? x ? 2 y 的概率为(
A.

5 9

B.

4 9

C.

1 3

D.

2 9

答案:B 分析:本题是一个几何概型, ∵试验包含的所有事件对应的集合 ? ? {( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 6} ,

? S? ? 2 ? 6 ? 12,
∵满足条件的事件 A ? {( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 6, x ? x ? 2 y ? x ? y ? 4}, 即
2

A ? {( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 6, y ? 4 ? x2},

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2 1 16 2 ? S A ? ? (4 ? x 2 )dx ? (4 x ? x 2 ) |0 ? , 0 3 3

16 4 ∴由几何概型公式得到 P ? 3 ? . 2? 6 9 4 故答案为: . 9

13.已知 x ? 0, y ? 0 ,若 答案: (?4, 2) 分析:令 Z ?

2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是________ . x y

2 y 8x ? ,∴原不等式恒成立转化成 Zmin ? m2 ? 2m 成立. x y

由Z ?

2 y 8x ? ? 2 2 ? 8 ? 8 (当且仅当 y ? 2 x 时取等号) x y

2 即 m ? 2m ? 8 ,解得 ?4 ? m ? 2 ,实数 m 的取值范围 ? ?4, 2 ? .


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