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福州一中2015-2016第一学期 高一期期中考试数学试卷

时间:2017-03-14

福州一中 2015-2016 第一学期期中考试 高一数学(必修 1)模块结业考试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ) 1. 函数 f ( x) ? A. {x | x ? 1}

x ?1 的定义域为( x?2
B. {x | x ? 1} )

) C. {x | x ? 1且x ? 2} D. {x | x ? 1且x ? 2}

2. 图中阴影部分所表示的集合是(

A. A ? (CU B)

B. (CU A) ? B

C. CU ( A ? B)

D. CU ( A ? B)

? x ?1 ,x ? 2 ? 3. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 ,则 f ( x) 的值等于( ? ? f ( x ? 3), x ? 2
A. 4 B. 3 C. 2 D. 无意义

)

4. 已知全集 U ? {1, 2,3} 且 CU A ? {2} ,则集合 A 的真子集共有( A. 1 个 B. 3 个 C. 4 个 ) D. (3, 4) D. 7 个

)

5. 函数 f ( x) ? ln x ? A. (0,1)

1 的零点所在的区间是( x
C. (2,3) )

B. (1, 2)

6. 下列大小关系正确的是( A. 0.43 ? 30.4 ? log4 0.3 C. log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4

B. 0.43 ? log4 0.3 ? 30.4 D. log4 0.3 ? 30.4 ? 0.43 ) D. f ( x) ? x
3

7. 下列函数中,满足“ f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y) ”且为单调递增函数的是( A. f ( x) ? 3
x

B. f ( x) ? log3 x

C. f ( x) ? x

?1

8. 已 知 函 数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ( 其 中 a ? b ) , 若 f(x) 的 图 象 如 右 图 所 示 , 则 函 数

g ( x) ? a x ? b 的图象是(

)
1/8

9. 已知函数 f ( x) ? ?

? 2 1 ? x ? ax ? 2, x ? 1 在 (0, ??) 上是增函数,则实数 a 的取 2 x ? ? a ? 1, x ? 1

值范围是( A. (1, 2]

) B. (1, 2) C. [2, ??) D. (1, ??)

10. 已知两条直线 l1 : y ? m 和 l2 : y ?

4 (m ? 0) , l1 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相 m

交于点 A,B,l2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于点 C,D。记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a , b ,当 m 变化时, A. 32 B. 16 C.

1 32

b 的最小值为( a 1 D. 16

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 11. 幂函数 f ( x) 的图像经过点 (2,8) ,则 f (?1) 的值为_________.

?1? 12. 在同一平面直角坐标系中,函数 y ? g ( x) 的图像与 y ? ? ? 的图像关于直线 y ? x 对 ?2?
称,而函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像关于 y 轴对称,若 f (m ) ? ? 1,则 m 的值等于 ________. 13. 已知奇函数 f ( x) 在 x ? 0 的图像如图所示,则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集是________.

x

14. 对于实数 x , 符号 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 例如 [3.1] ? 3 , [2] ? 2 , [?1.08] ? ?2 ,

2/8

定义函数 f ( x) ? x ? [ x] ,则下列命题正确的是_________________. (1)函数 f ( x) 的最大值为 1; (2)函数 G ( x ) ? f ( x ) ? (2)函数 f ( x) 的最小值为 0;

1 有无数个零点; (4)函数 f ( x) 是增函数. 2

三、解答题(本大题共有 5 题,共 48 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 ) 15. (本小题满分 8 分)

1 ?1? 已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0}, B ? {x | ? ? ? ? 4}, C ? {x | x ? m} . 2 ?2?
2

x

(1) 求 A ? B , (CR A) ? B ; (2) 若 A ? C ? C ,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 10 分)

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? 0, x ? 0 已知函数 f ( x ) ? ? 为奇函数. ? x 2 ? mx, x ? 0 ?
(1) 求 f (?1) 以及实数 m 的值; (2) 写出函数 f ( x) 的单调递增区间; (3) 若 f (a) ? 1 ,求 a 的值.

3/8

17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? e (其中 e 为自然对数的底数, e ? 2.718... )
x

(1) 设函数 g ( x) ? f ( x ) ? f ( x ? k ), k ? R ,讨论函数 g ( x) 的零点个数;
2

(2) 若 x ? [?2, ??) 时,不等式 f ( x ? mx ? 3) ? f (mx ?1) 恒成立,求 m 的取值范围.
2

18. (本小题满分 10 分)

a ? 0.1 ? 15ln ,x ?6 ? ? a?x 有时可用函数 f ( x) ? ? ,描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表 x ? 4.4 ? ,x ?6 ? x?4 ?
示某学科知识的学习次数( x ? N ), f ( x) 表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科
*

知识有关. (1) 证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 g ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降; (2) 根据经验, 学科甲, 乙, 丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] , (121,127] , (127,133] , 当学习某学科知识 5 次时,掌握程度是 70% ,请确定相应的学科. (参考数据: e
0.04

?

26 41 53 0.05 0.06 ? ? ,e ,e ) 25 39 50
4/8

19. (本小题满分 10 分)

? f ( x ) ? g ( x), x ? A ? B ? h( x) ? ? f ( x), x ? A ? (C R B ) 对于定义域分别是 A, B 的函数 y ? f ( x) , 规定: y ? g ( x) , ? g ( x), x ? (C A) ? B R ?
现给定函数 f ( x) ? log2 (4x ? 1) (1) 若 g ( x) ? log2 (4 ? 4x ) ,写出函数 h( x) 的解析式; (2) 当 0 ? x ? 2 时,求问题(1)中函数 h( x) 的值域; (3) 请设计一个函数 g ( x) ,使得函数 h( x) 为偶函数且不是常数函数,并予以证明.

5/8

参考答案
一、选择题: 1-5 DBCBB 二、填空题 11. -1 6-10 CDAAB

12.-213. (1, 2) ? (?2, ?1) 14. (2) (3)

三、解答题: 15.解:(1)由 x 2 ? x ? 2 ? 0 得 ?1 ? x ? 2 ,∴ A ? {x | ?1 ? x ? 2} ;

1 ?1? ?1? 由 ? ? ? ? ? ? 得 ?2 ? x ? 1 ∴ B ? {x | ?2 ? x ? 1} 2 ?2? ?2? ∴ A ? B ? {x | ?1 ? x ? 1} , (CR A) ? B ? {x | x ? 2或x ? 1} (2)因为 A ? C ? C ,所以 A ? C ∴ m ? ?1

x

?2

16.解: (1)因为 f ( x) 为奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?1 ∴ (?1) ? m ? (?1) ? ?1 得 m ? 2
2

(2)函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) (3)由 f (a) ? 1 ,当 a ? 0 时, ?a 2 ? 2a ? 1 得 a ? 1 当 a ? 0 时, f (a) ? 0 不符题意;
2 当 a ? 0 时, a ? 2a ? 1 得 a ? ?1 ? 2或 ? 1+ 2 (舍去)

因此, a 的值为 1 或 ?1 ? 2
2 2 17. 解: (1)由 g ( x) ? f ( x ) ? f ( x ? k ) ? 0 得 f ( x ) ? f ( x ? k )

,问题等价于方程(*)解的个数, ? x 2 ? x ? k (*)
6/8

方程(*)的判别式 ? ? 1 ? 4k ,因此:

1 时,方程(*)无解,函数 g ( x) 的零点个数为 0; 4 1 当 k ? 时,方程(*)有两个相等实数根,函数 g ( x) 的零点个数为 1; 4 1 当 k ? 时,方程(*)有两个不相等实数根,函数 g ( x) 的零点个数为 2; 4
当k ? (2)由 f ( x) ? e 是单调递增函数,
x

所以 f ( x ? mx ? 3) ? f (mx ?1) 可化为 x 2 ? 2mx ? 4 ? 0 在 x ? [?2, ??) 时恒成立.
2

分情况讨论: (1) m ? ?2 时, y ? x2 ? 2mx ? 4 在 x ? m 时取得最小值 ?m2 ? 4 ,由 ?m2 ? 4 ? 0 得
?2 ? m ? 2 ;

(2) m ? ?2 时, y ? x2 ? 2mx ? 4 在 x ? ?2 时取得最小值 4m ? 8 ,由 4m ? 8 ? 0 得
m ? ?2 ,无解 综上所述: m 的取值范围是 ?2 ? m ? 2

18.(1)证明:当 x ? 7 时, g ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

设 x1 ? x2 ? 7 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

0.4 0.4 ? ( x1 ? 3)( x1 ? 4) ( x2 ? 3)( x2 ? 4)

??

0.4( x2 ? x1 )( x1 ? x2 ? 7) ( x1 ? 3)( x1 ? 4)( x2 ? 3)( x2 ? 4)

因为 x1 ? x2 ? 7 ,所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 因为 x1 ? x2 ? 7 ,所以当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 g ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下


(2)由题意可知 0.1 ? 15ln 所以

a a ? 0.7 得 ln ? 0.04 a ?5 a ?5

a 26 ? e0.04 ? ,得 a ? 130 ? (127,133] ,因此,该学科为丙学科. a ?5 25

19. 解答:(1)因为 f ( x) ? log2 (4 ? 1) 的定义域为 R, g ( x) ? log2 (4 ? 4 ) 的定义域为
x x

7/8

(??,1)
所以 h( x) ? ?

?log 2 (4 x ? 1) ? log 2 (4 ? 4 x ), x ? 1 ? log 2 (4 x ? 1), x ? 1



(2) 1 ? x ? 2 时, h( x) ? log2 (4x ?1) ?[log2 5,log2 17] ;
0 ? x ? 1 时, h( x) ? log2 (4x ?1) ? log2 (4x ?1) ? log2[(4x ?1)(4 ? 4x )] ,
3 25 令 t ? (4 x ? 1)(4 ? 4 x ) ? ?(4 x ) 2 ? 3 ? 4 x ? 4 ? ?(4 x ? ) 2 ? , 2 4 25 25 因为 0 ? x ? 1 ,所以 4x ? (1, 4] ,所以 t ? (0, ] ,所以 h( x) ? (??, log 2 ] , 4 4
综上所述,当 0 ? x ? 2 时, h( x) ? (??,log 2 17] ; (3) g ( x) ? ? x ,此时 g ( x) 为奇函数,函数 h( x) 为偶函数且不是常数函数. 证明如下: g (? x) ? x ? ? g ( x) ,所以 g ( x) 为奇函数; 又因为 f ( x) ? log2 (4x ? 1) 的定义域为 R, g ( x) ? ? x 的定义域为 R. 所以 h( x) ? log2 (4x ? 1) ? x ,

h(? x) ? log 2 (4? x ? 1) ? x ? log 2 (

4x ? 1 ) ? x ? log 2 (4 x ? 1) ? log 2 4 x ? x ? log 2 (4 x ? 1) ? x ? h( x) x 4

所以 g ( x) ? ? x 时,函数 h( x) 为偶函数且不是常数函数.

8/8


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