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高二数学(文)期末复习推理与证明课本回归

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信心来自于实力,实力来自于勤奋!

高二数学(文)期末复习推理与证明课本回归
1.观察式子 1 ? 12 ,2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 , 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 7 ,从
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中归纳出一般性法则为____________________________________________. 2. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因: (1)整数是自然数,-3 是整数,-3 是自然数; ____________________________________________________________________________. (2)无理数是无限小数, (0.333 ?) 是无限小数,

1 3

1 是无理数. 3

____________________________________________________________________________. 3.在平面上,设 ha , hb , hc 是三角形 ABC 的 3 条边上的高. P 为三角形内任一点, P 到 相应三边的距离分别为 pa , pb , pc ,我们可以得到结论

p a pb p c ? ? ? 1 .类比到空间中 ha hb hc

的四面体内任一点 P ,其中 ha , hb , hc , hd 为四面体四个面上的高, pa , pb , pc , pd 为 P 点 到四个面的距离,我们可以得到类似结论为___________________________________. 4.观察下列的算式,猜测由此表提供的一般法则,用适当的数学式子表示它: 1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 ??????????? _____________________________________________________________________________ 5.1934 年,东印度学者(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了 4 7 10 13 16 … “正方形筛子”的奥妙在于:如果某个自然数 n 出现在表中, 7 12 17 22 27 … 那么 2n+1 肯定不是质数;如果 n 在表不出现,那 2n+1 肯定 10 17 24 31 38 … 是质数. 13 22 31 40 49 … (1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点?每一列呢? 16 27 38 49 60 … (2)“正方形筛子”中位于第 100 行的第 100 个数是多少? … … … … … …

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信心来自于实力,实力来自于勤奋! 6.设 a,b 为互不相等的正数,且 a+b=1,分别用分析法、综合法证明:

1 1 ? ? 4. a b

7.设 a,b,c 为不全相等的正数,求证:

b?c?a c?a?b a?b?c ? ? ? 3. a b c

8.设 a,b 都是整数,且 a2+b2 能被 3 整除,求证:a 和 b 都能被 3 整除.

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信心来自于实力,实力来自于勤奋!

高二数学(文)期末复习推理与证明课本回归答案
1. n ? (n ? 1) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1) 2 ; 2. (1)大前提; (2)大前提; 3.

p a pb p c p d ? ? ? ? 1; ha hb hc hd

4. (n2 ? n ? 1) ? (n2 ? n ? 3) ? ? ? (n2 ? n ? 1) ? n3 ; 5. (1)每一行都成等差数列且每一列也成等差数列; (2)方法一:对角线上的数通项满足:an=2n(n+1) ∴a100=2×100×101=20200。 方法二:第 m 行首项为 a(m,1)=3m+1,公差为 2m+1, ∴第 m 行 n 列为 a(m,n)= a(m,1)+ (n-1)(2m+1)= 3m+1+(n-1)(2m+1)=2mn+m+n ∴a100=2×100×100+100+100=20200。 6.分析法:要证

1 1 ? ?4 a b
只要证 (

只要证

a?b a?b ? ?4 a b

只要证

b a ? ?2 a b

b a 2 ? ) ? 0 明显成立; a b

综合法:

1 1 a?b a?b b a b a ? ? ? ? 2? ? ? 2?2 ? ? 4。 a b a b a b a b
b a c c a a b b a c a c b ?1? ? ?1? ? ?1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 a b b c c a b a c b c

7. 证明: 原式= ?

8.反证法:假设 a 和 b 不都能被 3 整除, (1)a 和 b 中一个能被 3 整除,另一个不能被 3 整除,不妨设 a 能被 3 整除,b 不能被 3 整除,显然 a2 能被 3 整除,b2 不能被 3 整除 ∴a2+b2 不能被 3 整除矛盾; (2)a 和 b 都不能被 3 整除,设 a=3m±1,b=3n±1(m,n∈Z), 则 a2+b2=9(m2+n2)±3(m±n)+2,∵9(m2+n2)±3(m±n)能被 3 整除,而 2 不能被 3 整除 ∴a2+b2 不能被 3 整除,矛盾;综上所述 a 和 b 都能被 3 整除。

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