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高一数学函数、函数与方程知识点总结

时间:2012-10-24


JeasonWu

『知识梳理』
映射定义:设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就 称对应 f:A→B 为从集合到集合的一个映射

定 义 函 数 三 要 素 函 数 的 表 示 方 法

传统定义:如果在某变化中有两个变量 x,y,并且对于 x 在某个范围内的 每一个确定的值,按照某个对应关系 f,y 都有唯一确定的值和 它对应。 那么 y 就是 x 的函数。 记作 y= f x

? ?

近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射 定义域 值域 对应法则 解析法 列表法 图象法 传统定义:在区间[a,b]上,若 a≤x 1 ﹤x 2 ≤b,如果 f x1 ﹤f x 2 ,则 f x 在[a,b]上递增,[a,b]是递增区间;如果 f x1 ﹥f x 2 , 则 f x 在[a,b]上递减,[a,b]是递减区间。

函 数 及 其 表 示

单 调 性

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?

函 数

函 数 的 基 本 性 质

? ? ? ? ? ? 最 ? ? 值 最小值:设函数 y=f ?x ? 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意 的 x ? I,都有 f ?x ? ≥M;②存在 x 0 ? I,使得 f ?x 0 ? =M,则称 M 是函数 y=f ?x ? 的最大值。 ①f ?- x ? = -f ?x ? , x ? 定义域 D, 则 f ?x ? 叫做奇函数, 其图像关于原点对称。 奇 偶 ②f ?- x ? = f ?x ? ,x ? 定义域 D,则 f ?x ? 叫做偶函数,其图像关于 y 轴对称。 性 周期性:在函数 f ?x ? 的定义域上恒有 f ?x ? T ? = f ?x ? (T≠0 的常数)则 f ?x ? 叫做周期函数,T 为周期;T 的最小正值叫做 f ?x ? 的最小正周期,简称
最大值:设函数 y=f x 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x ? I,都有 f x ≤M;②存在 x 0 ? I,使得 f x 0 =M,则称 M 是 函数 y=f x 的最大值。 周期。 ⑴描点连线法:列表、描点、连线 向左平移 a 个单位:y 1 =y,x 1 -a=x ? y=f x ? a 向右平移 a 个单位:y 1 =y,x 1 +a=x ? y=f x - a 向上平移 b 个单位:x 1 =x,y 1 -a=y ? y-b=f x 向下平移 b 个单位:x 1 =x,y 1 -b=y ? y+b=f x

导数定义:在区间[a,b]上,若 f x ﹥0,则 f x 在[a,b]上递增,[a,b] 是递增区间;若 f x ﹤0,则 f x 在[a,b]上递减,[a,b]是递 减区间。

? ?

? ?

? ?

? ?

平 移 变 换 函 数 图 像 的 画 法 伸 缩 变 换

? ?

? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

⑵ 变 换 法

横坐标变换:把各点的横坐标 x 1 缩短(当 w﹥1 时)或伸长(当 0﹤w ﹤ 1 时) 到原来的 1/w 倍 (纵坐标不变) , 即 x 1 =wx ? y=f wx 横坐标变换:把各点的纵坐标 y 1 伸长(当 A﹥1 时)或缩短(当 0﹤A ﹤ 1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变) ,即 y 1 =y/A ? y=f x 关于点(x 0 ,y 0 )对称: ? 2y 0 y+y 1 =2y 0 ? y 1 =2y 0 -y 关于直线 x=x 0 对称

x+x 1 =2x 0

x 1 =2x 0 -x

- y ? f ?2x 0 - x ?

对 称 变 关于直线 x=x 0 对称 换
关于直线 y=x 对称

x+x 1 =2x 0 ? y=y 1

x 1 =2x 0 -x ? y=f ?2x 0 - x ? y 1 =y

x=x 1 x 1 =x y+y 1 =2y 0 ? y 1 =2y 0 -y ? 2y 0 -y=f ?x ? x=x 1 y=y 1 ? y=f -1 ?x ?
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JeasonWu

函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射 (1)映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种映射法则 f,对于集合 A 中的任一个 元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B。 注意点: (1)对映射定义的理解。 (2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多 对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同 1、下列各对函数中,相同的是 A、 f ( x) ? lg x 2 , g ( x) ? 2 lg x C、 f (u ) ? B、 f ( x) ? lg





x ?1 , g ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 1) x ?1

2、 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函 数关系的有 ( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1
O

1? u 1? v , g (v ) ? 1? u 1? v

D、f(x)=x, f ( x) ?

x2

y 2 1 1 2 x
O

y 3 2 1 1 2 x
O

y 2 1 1 2 x
O

1 2

x

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1; 6.(05 江苏卷)函数 y ?

log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为

2 求函数定义域的两个难点问题 (1) 已知f( x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
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(2) 已知f( 2 x- 1 的定义域是 ) [-1,3],求f( ) x 的定义域

例 2 设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为__________ 2? x 2 x

变式练习: f (2 ? x) ?

4 ? x 2 ,求 f ( x ) 的定义域。

三、函数的值域
1 求函数值域的方法 ①直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数; ②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式; ③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出 y 的取值范围;适合分母为二次且 x ∈R 的分式; ④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x 有范围限制时要画图) ; ⑤单调性法:利用函数的单调性求值域; ⑥图象法:二次函数必画草图求其值域; ⑦利用对号函数 ⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 1. (直接法) y ?

1 x ? 2x ? 3
2

2. f ( x) ? 2 ? 24 ? 2 x ? x 2

3. (换元法) y ? ? x ? 2x ? 1

4. (Δ 法) y ?

3x x ?4
2

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5. y ?

x2 ?1 x2 ?1

6. (分离常数法) ① y ?

x x ?1

②y?

3x ? 1 (?2 ? x ? 4) 2x ?1

7. (单调性) y ? x ?

3 ( x ? [?1,3]) 2x

8.① y ?

1 ,② y ? x ? 1 ? x ?1 x ?1 ? x ?1

(结合分子/分母有理化的数学方法)

9.(图象法) y ? 3 ? 2 x ? x2 (?1 ? x ? 2)

10.(对号函数) y ? 2 x ?

8 ( x ? 4) x

11. (几何意义) y ? x ? 2 ? x ?1

四.函数的奇偶性
1.定义: 设 y=f(x),x∈A,如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? f ( x) ,则称 y=f(x)为偶函 数。 如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 y=f(x)为奇 函数。 2.性质: ①y=f(x)是偶函数 ? y=f(x)的图象关于 y 轴对称, 原点对称, ②若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则 f(0)=0
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y=f(x)是奇函数 ? y=f(x)的图象关于

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③奇± 奇=奇 偶± 偶=偶 奇× 奇=偶 于原点对称] 3.奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称 偶× 偶=偶 奇× 偶=奇[两函数的定义域 D1 , D2, D1∩D2 要关

②看 f(x)与 f(-x)的关系

1 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ( ? ?, ? ? ) 上 的 偶 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时 , f ( x) ? x ? x 4 , 则 当

x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ?

.

2 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;

3 已知 f ( x) 在(-1,1)上有定义,且满足 x, y ? (?1,1)有f ( x) ? f ( y ) ? f ( 证明: f ( x) 在(-1,1)上为奇函数;

x? y ), 1 ? xy

4 若奇函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (2) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? _______

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五、函数的单调性 1、函数单调性的定义: 2 设 y ? f ?g ?x ?? 是定义在 M 上的函数,若 f(x)与 g(x)的单调性相反,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是减函数;若 f(x)与 g(x)的单调性相同,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是增函数。 1 判断函数 f ( x) ? ? x 3 ( x ? R) 的单调性。

2 例 函数 f ( x) 对任意的 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , ⑴求证: f ( x) 在 R 上是增函数; ⑵若 f (3) ? 4 ,解不等式 f (a 2 ? a ? 5) ? 2

3 函数 y ? log0.1 (6 ? x ? 2x 2 ) 的单调增区间是________

4( 高 考 真 题 ) 已 知 f ( x) ? ? ( )

?(3a ?1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上 的 减 函 数 , 那 么 a 的 取 值 范 围 是 log x , x ? 1 a ?
(C) [ , )

(A) (0,1)

(B) (0, )

1 3

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

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六.函数的周期性:
1. (定义)若 f ( x ? T ) ? f ( x)(T ? 0) ? f ( x) 是周期函数,T 是它的一个周期。 说明:nT 也是 f ( x) 的周期 (推广)若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f ( x) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期 对照记忆

f ( x ? a) ? f ( x ? a) 说明: f (a ? x) ? f (a ? x) 说明:

2.若 f ( x ? a) ? ? f ( x) ; f ( x ? a) ?

1 1 ; f ( x ? a) ? ? ;则 f ( x) 周期是 2 a f ( x) f ( x)

1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (A)-1 (B) 0 (C) 1

(D)2

2 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) , 满 足 f (2 ? x ) ? f (2 ? x ) , 在 区 间 [ -2,0 ] 上 单 调 递 减 , 设
a ? f (?1.5), b ? f ( 2), c ? f (5) ,则 a , b, c 的大小顺序为_____________

3 已知 f (x)是定义在实数集上的函数,且 f ( x ? 2) ? f (2005)= .

1 ? f ( x) , 若f (1) ? 2 ? 3, 则 1 ? f ( x)

4 已知 f ( x) 是(- ?, 当 0 ? x ? 1 时, f(x)=x, 则 f(7.5)=________ ? ? )上的奇函数,f (2 ? x) ? ? f ( x) , 例 11 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满足 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,当 x ? [0,2] 时

f ( x) ? 2x ? x 2
⑴求证: f ( x) 是周期函数; ⑵当 x ? [2,4] 时,求 f ( x) 的解析式; ⑶计算:

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七、反函数 1.只有单调的函数才有反函数;反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域; 2、求反函数的步骤 (1)解 (2)换 (3)写定义域。 3、关于反函数的性质 (1)y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称; (2)y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的单调性; (3)已知 y=f(x),求 f-1(a),可利用 f(x)=a,从中求出 x,即是 f-1(a); (4)f-1[f(x)]=x; (5)若点 (a,b)在 y=f(x)的图象上,则 (b,a)在 y=f--1(x)的图象上; (6)y=f(x)的图象与其反函数 y=f--1(x)的图象的交点一定在直线 y=x 上; 1 设函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f ?1 ( x) ,且 y ? f (2 x ? 1) 的图像过点 ( ,1) ,则 y ? f ?1 ( x) 的图 像必过 (A) ( ,1)

1 2

1 2

(B) (1, )

1 2

(C) (1, 0)

(D) (0,1)

八.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴 x ? ? b ,顶点坐标
2a
(? b 4ac ? b , ) 2a 4a
2

2.二次函数与一元二次方程关系 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) y ? 0 的

x 的取值。
一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集(a>0)
2

二次函数 Y=ax2+bx+c (a>0)

△情况
2

一元二次不等式解集 ax +bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)

△=b2-4ac

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△>0

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

?x x

1

? x ? x2 ?

图 象 与 解

△=0

?x x ? x ?
0

?

△<0

R

?

1、已知函数 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 5 在区间 [?2,??) 上是增函数,则 f (1) 的范围是( (A) f (1) ? 25 (B) f (1) ? 25 (C) f (1) ? 25 (D) f (1) ? 25



2、方程 mx ? 2mx ? 1 ? 0 有一根大于 1,另一根小于 1,则实根 m 的取值范围是_______
2

九.指数式与对数式
1.幂的有关概念 (1)零指数幂 a 0 ? 1 (a ? 0) (2)负整数指数幂 a
?n

?

1 a ? 0, n ? N ? ? n ? a

(3)正分数指数幂 a ? n am a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1 ; (5)负分数指数幂 a
m ?n

m n

?

?

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1?

(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q? r ,? 0 r ,? Q ? ? 3?? ab ? ? a r b r ? a ? 0 b
3.根式

? 2? ? ar ?

s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?

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根式的性质:当 n 是奇数,则 n a n ? a ;当 n 是偶数,则 n a n ? a ? ? 4.对数 (1) 对 数 的 概 念 : 如 果 a b ? N (a ? 0, a ? 1) , 那 么 b 叫 做 以 a 为 底 N 的 对 数 , 记

?a ?? a

a?0 a?0

b ? loga N (a ? 0, a ? 1)
(2)对数的性质:①零与负数没有对数 (3)对数的运算性质 logMN=logM+logN 对数换底公式: loga N ? ② loga 1 ? 0 ③ loga a ? 1

logm N ( N ? 0, a ? 0且a ? 1, m ? 0且m ? 1) logm a
n

对数的降幂公式: log a m N ?

n log a N ( N ? 0, a ? 0且a ? 1) m

(1)

1 ? ( ) 2? 4

1

( 4ab?1 ) 3 (0.1) ?2 (a 3b )
1 ?3 2

(2)

lg 8 ? lg125? lg 2 ? lg 5 lg 10 ? lg 0.1

十.指数函数与对数函数
1、 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数 名称 一般形式 定义域 值域 过定点 指数函数 Y=a (a>0 且 a≠1) (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) (0,1)
x x

对数函数 y=logax (a>0 , a≠1) (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) (1,0)

指数函数 y=a 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)图象关于 y=x 对称

图象

单调性 值分布

a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 y>1 ? y<1?

a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>0? y<0?

2. 比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数 相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图 象关系(对数式比较大小同理)
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记住下列特殊值为底数的函数图象:

3、 研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制 4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复 合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

1、 (1) y ? lg x ? lg(5 ? 3x) 的定义域为_______;
1

(2) y ? 2 x ?3 的值域为_________; (3) y ? lg(? x 2 ? x) 的递增区间为 __________ _ ,值域为 __________ _ 1 2、 (1) log2 1 x ? ? 0 ,则 x ? ________ 4 2 3、要使函数 y ? 1 ? 2 x ? 4 x a 在 x ? ?? ?,1? 上 y ? 0 恒成立。求 a 的取值范围。

4.若 a2x+

1 1 ·ax- ≤0(a>0 且 a≠1) ,求 y=2a2x-3·ax+4 的值域. 2 2

十.函数的图象变换 (1) 1、平移变换: (左+ 右- ,上+ 下- )即

? 0 ,右移; h ? 0 ,左移 y ? f ( x) ?h ? ??? ?? y ? f ( x ? h) ? 0 ,下移; k ? 0 ,上移 y ? f ( x) ?k ? ??? ?? y ? f ( x) ? k

① 对称变换: (对称谁,谁不变,对称原点都要变)
x轴 y ? f ( x ) ??? y ? ? f ( x) y轴 y ? f ( x ) ??? y ? f (? x)

y ? f ( x ) ?原点 ? ?? y ? ? f ( ? x)
y?x y ? f ( x ) ??? ? y ? f ?1

( x)

y轴右边不变,左边为右 边部分的对称图 y ? f ( x ) ?? ???????? ?? y ? f ( x ) x轴上方图,将 x轴下方图上翻 y ? f ( x ) ?保留 ?? ?????? ?? y ? f ( x)

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1.f(x)的图象过点(0,1),则 f(4-x)的反函数的图象过点( A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4) )

2.作出下列函数的简图:
x (1)y=|log 2 |;

(2)y=|2x-1|;

(3)y=2|x|;

十.函数的其他性质

1.函数的单调性通常也可以以下列形式表达:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

单调递增

单调递减

2.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明:
f ( x) ? f (? x) ? 0 奇函数 f ( x) ? f (? x) ? 0 偶函数

3.函数的凸凹性:
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) f( 1 2)? 2 2 f(

凹函数(图象“下凹” ,如:指数函数) 凸函数(图象“上凸” ,如:对数函数)

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『例题精讲』
例 1. (1)设 A={a,b,c},B={-1,0,1},映射 f:A→B ①若映射 f 满足 f(a)>f(b)≥f(c),则映射 f 的个数为 解: ①列表法:∵f(a)>f(b)≥f(c) 根据映射的定义,以 f(a)取值从大到小的次序列表考察: f(a) 1 1 1 0 由此可知符合条件的映射是 4 个. 例 2. (1)已知 f(x)=x +2x-1(x>2),求 f(2x+1)的解析式;
2

。(4)

∴f(a)只能取 0 或 1,f(c)只能取-1 或 0.

f(b) 0 0 -1 -1

f(c) 0 -1 -1 -1

(2)已知 解: (1) ∵f(x)=x +2x-1 (x>2) ∴以 2x+1 替代上式中的 x 得
2

,求 f(x+1)的解析式.

f(2x+1)=(2x+1) +2(2x+1)-1 (2x+1>2) ∴f(2x+1)=4x +8x+2 (x>1/2 ) (2)由已知得 ∴以 x 替代上式中的
2 2

2



f(x)=x -1 (x≥1) 即 f(x+1)=x +2x (x≥0) )=-f(x), 又 f(2)=1, f(1)=a, 则 a=________。
2

2

∴f(x+1)=(x+1) -1 (x+1≥1)

例 3.(1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且满足 f(

(2)已知函数 f(x)的最小正周期为 2T,且 f(T+x)=f(T-x)对一切实数 x 都成立,则对 f(x)的奇偶 性的判定是? 解 : (1) 由 f( f(-x)=f(x)(x )=-f(x) 知 f(x) 是周期函数,且 3 是 f(x) 的一个周期,又 f(x) 为偶函数 R) , 在 此 基 础 上 , 寻 觅 已 知 条 件 中 的 f(2) 与 f(1) 的 联 系 : 而 f(1)=a,f(2)=1, ① ∴a=1 又这里 f(x+T)=f(T-x) ② ③

f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1)

(2)由 f(x)的最小正周期为 2T 得 f(x+2T)=f(x) 为了靠拢①,在②中以(x+T)替代 x 的位置得 ∴由①, ③得 f(-x)=f(x)

f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x)

∴f(x)为偶函数.

『易错题』
例 4. 已知函数 f(x)=

1 - 2x 1? x

,y=g(x)的图象与 y=

的图象关于直线 y=x 对称,求

g?

?1? ? 的值. ?2?
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典型错解: = ② 由 题 设 知 g(x) 与 互为反函数 ① ∴

∴g(x)=f(x+1) 错因分析 :



由此得 g( )=f( )=的反函数是 g(x) ,但

上面①②正确,由②导出③出现错误 . 在这里

的反函数却不是 f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知 y=f(x+1)的反函数不是 y= 正确解法: =, 而是 y= (着力于寻求 -1; y= 的反函数不是 y=f(x+1), 而是 y=f(x)-1. 的解析式):由已知得 =

1- x 2?x

(x≠-2)∴

x x?3

(x≠-3)

又由题设知 g(x) 的反函数为 =-





=



x x?3
令 g(



1 2

)=b,则

=

1 2



∴由①②得-

b b?3

=

1 2

,解得 b=-1,



g(

1 2

)=-1.

『当堂检测』
1.设函数

? x ? 3,( x ? 10) ,则 f (5) = f ( x) ? ? ? f ( x ? 5),( x ? 10)
2



2.已知 f ( x ) 的定义域为[-2,2] ,求 f ( x 3. 已知 f(x)+2f(

? 1) 的定义域______________

1 )=3x,求 f(x)的解析式____________________. x

4. 设 f(x)是在(-∞,+∞)上以 4 为周期的函数,且 f(x)是偶函数,在区间[2,3]上时, f(x)=-2(x-3)2+4,求当 x∈[1,2]时 f(x)的解析式___________________________.

5. 已知函数 (1)若 (2)求

f ( x) ? 2ax ?

1 , x ? (0,1], x2

f ( x)在x(0,1] 是增函数,求 a 的取值范围; f ( x)在区间 (0,1] 上的最大值.

『直击高考』
第 14 页 共 14 页

JeasonWu
1.函数 y= ( x≤0)的反函数是(B )

A. y=

(x≥-1)

B. y=-

(x≥-1)

C. y=

(x≥0)

D. y=-

(x≥0)

2.(2004 北京卷)函数 f(x)= A. a∈(-∞,1]

-2ax-3 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是(D ) C. a∈[1,2] D. a∈(-∞,1]∪[2,+∞] ,f(4)=0,则 f =_-2__

B. a∈[2,+∞)

3. 设函数 f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数 f 5. 已知函数 y=f(x)是奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=

-1.设 f(x)的反函数是 y=g(x), 则 g(-8)=__-2______

6. 若存在常数 p>0,使得函数 f(x)满足 f(px)=f(px-

p 2

)( x∈R),则 f(x)的一个正周期为___p/2_

『知识梳理』
零点:对于函数 y=f 定理:如果函数 y=f

?x ? ,我们把使 f ?x ? =0 的实数 x 叫做函数 y=f ?x ? 的零点 ?x ? 在区间[a, b]上的图像是连续不断的一条曲线, 并且有 f ?a ? · f ?b ? ?x ? 在区间[a,b]内有零点。即存在 c ?(a,b) ,使得 f ?c ? =0.

零 点 与 根 的 关 系

﹤0,那么,函数 y=f 这个 c 也是方程 f 关系:方程 f 交点

?x ? =0 的根。

函 数 与 方 程 二 分 法 求 方 程 的 近 似 解

?x ? =0 有实数根 ? 函数 y=f ?x ? 有零点 ? 函数 y=f ?x ? 的图像与 x 轴有

⑴确定区间[a,b],验证 f ⑵求区间[a,b]的中点 c; ⑶计算 f

?a ? ·f ?b ?

﹤0,给定精确度 ? ;

?c? ;

① ② ③

?c? =0,则 c 就是函数的零点; ?a ? ·f ?b ? ﹤0,则令 b=c(此时零点 x 0 ? (a,b) ) ; 若 f ?c ? ·f ?b ? ﹤0,则令 a=c(此时零点 x 0 ? (c,b) ) ;
若f 若f ;否则重复以上 a - b ?? ,则得到零点的近似值 a(或 b)

⑷判断是否达到精确度 ? ,即若 步骤。

『例题精讲』
第 15 页 共 15 页

JeasonWu
1. 已知函数 一个零点比 1 小, 求实数 a 的取值范围。 f ( x) ? x2 ? (a2 ?1) x ? a ? 2 的一个零点比 1 大,
2

解:设方程 x

? (a2 ?1) x ? a ? 2 ? 0 的两根分别为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , ?1) ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0
2

则 ( x1 ? 1)( x2

由韦达定理得 a ? 2 ? (a 即a
2

?1) ? 1 ? 0 ,

? a ? 2 ? 0 ,所以 ?2 ? a ? 1
f ( x) ? 4 x ? x 2 ? 2 3 x 在区间 [ ?1,1] 上零点的个数,并说明理由。 3 2 7 2 13 f ? ?1? ? ?4 ? 1 ? ? ? ? 0 , f ?1? ? 4 ? 1 ? ? ? 0 3 3 3 3

2.判断函数 解:因为 所以

f ? x ? 在区间 [ ?1,1] 上有零点
2 ' 2



9 1? ? f ? x ? ? 4 ? 2x ? 2x ? ? 2 ? x ? ? 2 2? ?
x ? 1 时, 0 ? f ' ? x ? ?

当 ?1 ?

9 2

所以在 [ ?1,1] 上单调递增函数,所以

f ? x ? 在 [ ?1,1] 上有且只有一个零点。

『易错题』
3. 设

f ?x ? ? 3 x ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内 近 似 解 的 过 程 中 得
B )

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间(
A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2)

D.不能确定

『当堂检测』
1.如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是(
2



A. ?? 2,6?

B. ?? 2,6?

C. ?? 2,6?

D. ? ??, ?2? ? ? 6, ???

2.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1,则函数 f ( x ? 1) 的零点是__________ 3.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是(
x



A. (1, ??)
5

B. (0,1)

C. (0, 2)

D. (0, ??) )

4.函数 f ( x) ? x ? x ? 3 的实数解落在的区间是( A. [0,1] B. [1, 2] C. [2,3] D. [3, 4]

第 16 页 共 16 页

JeasonWu
5.求函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x ? 1 零点的个数为 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

『直击高考』
1.设二次函数

f ( x) ? x2 ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x 2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 ;

(1)求实数 a 的取值范围; (2)试比较

f ? 0? f ?1? ? f ? 0? 与

1 的大小,并说明理由。 16

解:令 g ( x) ? 则由题意可得:

f ( x) ? x ? x2 ? (a ?1) x ? a

?? ? 0 ? 1? a ?0 ? ?1 ? 2 ? ? g (1) ? 0 ? ? ? g (0) ? 0

?a ? 0 ? ? ??1 ? a ? 1 ? ?a ? 3 ? 2 2, 或a ? 3 ? 2 2

? 0 ? a<3 ? 2 2

故所求实数 a 的取值范围是 (0,3 ? 2 2.函数 f

2) 。

?x ? =2 x +3x 的零点所在的一个区间是(B)
B(-1,0) C(0,1) D(1,2)

A.(-2,-1) 3.设函数 f

?x ? =4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数 f ?x ? 不存在零点的是(A)
B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4]

A.[-4,-2] 4.函数 f

?x ? =

x

-COSx 在[0, ? ? ﹚内(B) C 有且仅有两个零点 D 有无穷多个零点

A 没有零点

B 有且仅有一个零点

第 17 页 共 17 页


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