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2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟(理数)解析版

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2015 届吉林省东北师大附中高三第四次模拟理科数学试卷
题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分 一、选择题 1.设集合 A ? {x | x 2 ? x}, B ? {x | (A) (??,1] (B) [0,1] 【答案】C 【解析】 试题分析:因为 A ? {x | x 2 ? x} ? [0,1], B ? {x | 考点:集合运算,解分式不等式 2.设复数 z 满足 (1 ? 2i ) z ? 3 ? 4i ,则 z ? ( (A) 1 ? 2i 【答案】B 【解析】 (B) ?1 ? 2i (C) 2 ? i ) 一 二 三 总分

1 ? 1} ,则 A ? B ? ( x



(C) (0,1]

(D) (??, 0) ? (0,1]

1 ? 1} ? (0,1] ,所以 A ? B ? (0,1] ,选 C. x

(D) ?2 ? i

(1 ? 2i ) z ? 3 ? 4i ? z ?
试题分析: 考点:复数运算

3 ? 4i ?5 ? 10i ? ? ?1 ? 2i 1 ? 2i 5 ,选 B.

3.已知命题 p : “ ?x ? R , e ? x ? 1 ? 0 ”,则命题 ?p : (
x



(A) ?x ? R , e ? x ? 1 ? 0
x

(B) ?x ? R , e ? x ? 1 ? 0
x

(C) ?x ? R , e ? x ? 1 ? 0
x

(D) ?x ? R , e ? x ? 1 ? 0
x

【答案】A 【解析】

?p, ?q , 试题分析: 因为命题“ ?p, q ”的否定为: 因此命题 p : “ ?x ? R , e ? x ? 1 ? 0 ”
x

的否定为: ?x ? R , e ? x ? 1 ? 0 ,选 A.
x

第 1 页 共 1 页

考点:命题的否定 4.各项均为正数的等差数列 {a n } 中, a4 a9 ? 36 ,则前 12 项和 S12 的最小值为( (A) 78 (B) 48 【答案】D 【解析】 试题分析:因为 S12 ? 取等号,所以 (C) 60 (D) 72 )

12(a1 ? a12 ) a ? a9 ? 6 时 ? 6(a4 ? a9 ) ? 12 a4 a9 ? 72 ,当且仅当 4 2

S12 的最小值为 72 ,选 D.
1 3

考点:等差数列性质 5.已知 cos(? ? ? ) ? ? ,则 sin(2? ? (A)

?
2

) ?(



7 9

(B) ?

7 9

(C)

4 2 9

(D) ?

4 2 9

【答案】B 【解析】

1 1 1 cos(? ? ? ) ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? 3 3 3 , 所 以 试 题 分 析 : 因 为

? 1 7 sin(2? ? ) ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? 2 9 9 ,选 B.
考点:二倍角公式,诱导公式 6.高考将至,凭借在五大学科竞赛的卓越表现,我校共有 25 人获得北大、清华保送及降分 录取优惠政策,具体人数如下表.若随机从这 25 人中任选 2 人做经验交流,在已知恰有 1 人获得北大优惠政策而另 1 人获得清华优惠政策的条件下, 至少有 1 人是参加数学竞赛的概 率为( ) 学科 北大 清华 数学 4 2 信息 2 1 物理 5 0 化学 4 4 生物 1 2

(A)

5 12

(B)

1 5

(C)

12 25

(D)

43 100

【答案】A 【解析】 试题分析:2 人恰有 1 人获得北大优惠政策而另 1 人获得清华优惠政策,一共有 9 ? 16 种选 法; 而 2 人恰有 1 人获得北大优惠政策而另 1 人获得清华优惠政策且都不参加数学竞赛, 一 共有 7 ? 12 种选法;因此所求概率为 考点:古典概型概率

1?

7 ?12 5 ? 9 ?16 12 ,选 A.

第 2 页 共 2 页

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 7.已知实数 x, y 满足平面区域 D : ?2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 x ? y 的最大值为( ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
(A)



1 2

(B)1

(C) 2 2

(D)8

【答案】D 【解析】 试题分析:平面区域为一个三角形 ABC 及其内部,其中 A(1, 0), B (0,1), C (2, 2) , x ? y 表
2 2

示可行域内一点 P 到原点距离的平方,所以最大值为 OC ? 8. 选 D.
2

考点:线性规划 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( 2 2 正视图 侧视图 2



俯视图 (A) 2 2 【答案】C 【解析】 试题分析:几何体为一个斜置的四棱锥,高为 2 ,底面为矩形,长为 2 2 ,宽为 2 ,所 (B)

4 3

(C)

8 3

(D) 4

1 8 ? 2 ? (2 2 ? 2) ? 3 ,选 C. 以体积为 3
考点:三视图 9.执行如图所示的程序框图,则输出的 S ? ( )

第 3 页 共 3 页

开始
S ? 0, A ? 1, i ? 1

S?S?

1 A

S?S?

i ? i ?1 1

A ? A? i

i?5 ?

A



是 输出 S 结束 (A)

3 2

(B)

5 3

(C)

8 5

(D)

12 7

【答案】B 【解析】

1 A ? 3, S ? 1 ? , i ? 3 3 试题分析:第一次循环: A ? 1, S ? 1, i ? 2 ;第二次循环: ;第三次 1 1 1 1 1 A ? 6, S ? 1 ? ? , i ? 4 A ? 10, S ? 1 ? ? + , i ? 5 3 6 3 6 10 循环: ;第四次循环: ;第五次 1 1 1 1 A ? 15, S ? 1 ? ? + + ,i ? 6 3 6 10 15 ; 结 束 循 环 , 输 出







1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 5 S ? 1? ? + + ? ? ? + + ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? ) ? 3 6 10 15 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 2 2 3 5 6 6 3
, 选 B. 考点:循环结构流程图 10. 我们把焦点相同, 且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”. 已知 F1 , F2 是一对相关曲线的焦点, P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当 ?F1 PF2 ? 60? 时,这一 对相关曲线中椭圆的离心率为( (A) )

3 3

(B)

3 2

(C)

2 2

(D)

1 2

【答案】A 【解析】

F1 F2 ? 2c, PF1 ? PF2 ? 2a1 ,| PF1 ? PF2 |? 2a2 , e1 ?
试题分析:设

c 1 c , ? , a1 e1 a2 由余弦定理

第 4 页 共 4 页




2 P F ? 1 2

4c 2 ?

P2 2 ?F

1

P c2 F o s P0 ? 6 F 0

1

?(

2 2

P ? F ) P F? 1 3 2

2 P?1 ( F

P 2? F

)

P 1





2 2 2 2 16c 2 ? (PF 1 ? PF 2 ) ? 3( PF 1 ? PF 2 ) ? 4a 1 ? 12 a 2





4?

1 1 3 ? 3e12 ? e12 ? 或e 12 ?(舍) 1 ? e 1? 2 e1 3 3 ,选 A.

考点:椭圆和双曲线定义及离心率 11.函数 y ?

1 的部分图象大致为( ln | e ? e ? x |
x



【答案】D 【解析】

f ( x) ?
试题分析:令

1 1 f (? x) ? ? f ( x) ?x ?x ln | e ? e | ,则 ln | e ? e x | ,所以图像关于 y 轴
x

对称,不选 B,C;又当 x ? 1 时, 选 D. 考点:函数图像与性质

f ( x) ?

1 1 ? ?x x ln | e ? e | ln(e ? e ? x ) 为单调递减函数,所以
x

12.已知函数 f ( x) ? e ? ax 有两个零点 x1 ? x2 ,则下列说法错误 的是( ..
x



(A) a ? e (B) x1 ? x2 ? 2 (C) x1 x2 ? 1 (D)有极小值点 x0 ,且 x1 ? x2 ? 2 x0 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得:方程 f ( x) ? e ? ax ? 0 有两个不等的根,即 y ? a 与
x

y?

ex x 有两个

第 5 页 共 5 页

y? ?
不同的交点,因为

e x ( x ? 1) ex y ? x 2 ,所以 x 在 (??, 0) 上单调递减且 y ? 0 ,在 (0,1) 上

单调递减且 y ? e ,在 (1, ??) 上单调递增且 y ? e ,因此 a ? e 且

0 ? x1 ? 1 ? x2 , A 正确;

因为

e ? ax1 , e ? ax2 ,所以
x1 x2

e x2 ? x1 ?

x2 x ln t t? 2 t ? 1, e(t ?1) x1 ? t ? x1 ? x1 ,设 x1 ,则 t ? 1 ,因



x1 ? x2 ? 2 ? (t ? 1) x1 ? 2 ?

t ?1 t ?1 t ?1 4 4 (ln t ? 2 ? )? (ln t ? 2 ? ) g (t ) ? ln t ? 2 ? t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 令 t ?1 , 则

1 4 (t ? 1) 2 g ?(t ) ? ? ? ?0 x ? x ? 2 ? 0, x1 ? x2 ? 2. B t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 ,所以 g (t ) ? g (1) ? 0 ,因此 1 2
x1 x2 ? 1 ? tx12 ? 1 ? ( t
正确;

ln t ln t t t ?1 ln t ? 1)( t ? 1) ? (ln t ? )( t ? 1) t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 t

h(t ) ? ln t ?


t ?1 1 t ?1 ( t ? 1)2 h?(t ) ? ? ?? ?0 t 2t t 2t t t ,则 , 所 以 h(t ) ? h(1) ? 0 , 因 此

x1 x2 ? 1 ? 0, x1 x2 ? 1 ,C 错;由 f ?( x) ? e x ? a ? 0 得 x ? ln a ? 1 ,当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 ,
x x ? ln a , e 1 ? ax1 , e ? 当 x ? ln a 时, f ( x) ? 0 , 所以 f ( x) ? e ? ax 有极小值点 0 由
x x2

? ax2




x1 ? ln a ? ln x1 , x2 ? ln a ? ln x2





x1 +x2 ? 2 ln a ? ln x1 ? ln x2 ? x1 +x2 ? 2 ln a ? ln x1 x2 ? 0 ? x1 +x2 ? 2 ln a ? 2 x0 . D 正确
考点:利用导数研究函数零点 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

? ? ? ? ? ? ? 3 13.已知向量 a, b 满足 | b |? 3 , a 在 b 方向上的投影是 ,则 a ? b =
2
9 【答案】 2
【解析】



? ? ? ? 3 3 a ?b 9 ? ? ? a ?b ? ?3 ? . 2 |b| 2 2 试题分析:由题意得:
考点:向量投影 14.直线 y ? x ? 2 被圆 M : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 所截得的弦长为
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【答案】 2 7 【解析】
2 2 2 2 试题分析:M : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 ? ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 9 , 圆心到直线 y ? x ? 2 距离为

2 ? 2 2 ,所以弦长为 2 9 ? 2 ? 2 7.
考点:直线与圆位置关系 15.如下图数阵中的前 n 行的数字和为 ;

【答案】 2

n?2

? 2n ? 4

【解析】 试题分析:本题为将杨辉三角两边的 1 去掉后的数阵,所以前 n 行的数字和为杨辉三角前 n+2 行的数字和减去 2n ? 3 个 1,即 2 ? 2 ? 2 +2 + ? +2
0 2 3 n ?1

? 2n ? 3 ? 2 n ? 2 ? 2n ? 4

考点:等比数列求和 16.如图,在正四棱柱(底面是正方形的直棱柱) ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 BC 的中点,

F 是 C1 D 的中点, P 是棱 CC1 所在直线上的动点.则下列四个命题:
D1 A1 F B1 C1

D A B ① CD ? PE

C E

② EF // 平面 ABC1 ③ VP ? A1DD1 ? VD1 ? ADE ④过 P 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角. 其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) . 【答案】①②③④

第 7 页 共 7 页

【解析】 试题分析:由

CD ? 面BCC1B1,PE ? 面BCC1B1 得 CD ? PE ; 由 EF // BD1 , BD1 ? 平面

ABC1



EF

//





ABC1

;





CC1

//

DD1

,





VP ? A1DD1 ? VC ? A1DD1 =VD 1? ADC =VD 1? ADE
对角面

; 因为过 A 作与正四棱柱的各个面都成等角的直线必在

ACC1 A1 上,因此在面 ACC1 A1 上过 P 作此直线平行线即可,所以①②③④皆对.

考点:空间线面关系 评卷人 得分 三、解答题(题型注释)

x x ? f ( x) ? M (sin cos ? ? cos sin ? )( M ? 0, 0 ? ? ? ) 2 2 2 17. (本小题满分 12 分)已知函数
的最大值是 2,且 f (0) ? 1 . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)已知锐角△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 2 , f (2 A) ? 2 ,

2b sin C ? 2c .求△ ABC 的面积.
3 ? 1? 3 【答案】 (Ⅰ) 6 (Ⅱ)
【解析】

x f ( x) ? M sin( ? ? ) 2 试题分析: (Ⅰ) 求三角函数解析式, 关键是化为基本三角函数形式: , A?
再根据基本三角函数性质求对应参数, (Ⅱ)先确定角

?
3 ,再根据正弦定理将边化为角

2sin B sin C ? 2 sin C ,确定角

B?

?
4 ,已知两角一对边,再利用正弦定理得另一边

b?

2 6 1 S ?ABC ? ab sin C 3 ,最后利用面积公式得 2

x x x f ( x) ? M (sin cos ? ? cos sin ? ) ? M sin( ? ? ) 2 2 2 试题解析: (Ⅰ)

第 8 页 共 8 页

f ( x) max ? M ? 2,? f (0) ? 2sin ? ? 1, 0 ? ? ?

?
2

?? ?

?
6

,

x ? ? f ( x) ? 2sin( ? ) f (2 A) ? 2sin( A ? ) ? 2 2 6 , 6 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 , 0? A?

?

又因为锐角 ?ABC 中

2,

?A?

?
3.
?
2 ? sin B ? 2 ? ,B ? 2 4.

? 2b sin C ? 2c ? 2sin B sin C ? 2 sin C ,? 0 ? B, C ?

?

a b c 2 b 2 6 ? ? ? ? ,b ? sin A sin B sin C sin ? sin ? 3 3 4 .
2? 6 4 ,

sin C ? sin( A ? B) ?

1 2 6 2? 6 3 ? S ?ABC ? ? 2 ? ? ? 1? 2 3 4 3 .
考点:正弦定理 18. (本小题满分 12 分)砷是广泛分布于自然界中的非金属元素, 长期饮用高砷水会直接 危害群众的身心健康和生命安全,而近水农村地区,水质情况更需要关注.为了解甲、乙两 地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况,分别在两地随机选取 10 个村子,其砷含量的调 查数据如下(单位: mg /1000 L ):

甲地区的 10 个村子饮用水中砷的含量: 52 32 41 72 43 35 45 61 53 44 乙地区的 10 个村子饮用水中砷的含量: 44 56 38 61 72 57 64 71 58 62 (Ⅰ)根据两组数据完成下面茎叶图,试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高, 并说明理由; (Ⅱ)国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过 50 mg /1000 L ,现医疗卫生组织决定向两 个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组.用样本估计总体,把频率作为概率,若 从乙地区随机抽取 3 个村子,用 X 表示派驻的医疗小组数,试写出 X 的分布列并求 X 的
第 9 页 共 9 页

期望.

E( X ) ?
【答案】 (Ⅰ)乙地区的饮用水中砷含量更高(Ⅱ)

12 5

【解析】 试题分析: (Ⅰ)茎叶图中间为十位数字,个位数字列两边,利用平均数确定砷含量高低, 也可由茎叶图分布确定其含量高低, (Ⅱ)因为乙地区的 10 个村子超过 50 mg /1000 L 有 8

P?
个 , 所 以 从乙 地 区 随即抽 取 一 个 村子 , 需 要派驻 医 疗 小 组的 概 率

4 5 . 随机 变 量

X ? 0,1, 2,3 ,且

4 12 X ? B(3, ) E( X ) ? 5 ,因此 5.

试题解析: (Ⅰ) 甲 乙 5 5 3 1 2 2 4 3 2 1 3 4 5 6 7 8 4 6 1 1

7 8 2 4 2

法 1:设甲地区调查数据的平均数为 x,

x?

1 (52 ? 32 ? 41 ? 72 ? 43 ? 35 ? 45 ? 61 ? 53 ? 44) ? 47.8 10 ;

设乙地区调查数据的平均数为 y,

y?

1 (44 ? 56 ? 38 ? 61 ? 72 ? 57 ? 64 ? 71 ? 58 ? 62) ? 58.3 10 .

由以上计算结果可得 x ? y ,因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高. 法 2:从茎叶图可以看出,甲地区的调查结果中有 80%的叶集中在茎“3”“4”“5”,而乙 地区有 80%的叶集中在茎“5”“6”“7”,因此乙地区的引用水中砷含量更高.

P?
(Ⅱ)由题可知若从乙地区随即抽取一个村子,需要派驻医疗小组的概率

4 5

X ? 0,1, 2,3

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4 1 1 4 1 12 1 P( X ? 0) ? C30 ? ( )0 ? ( )3 ? , P( X ? 1) ? C3 ? ( )1 ? ( ) 2 ? 5 5 125 5 5 125 4 1 48 4 1 64 3 P( X ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ( )1 ? , P( X ? 3) ? C3 ? ( )3 ? ( ) 0 ? 5 5 125 5 5 125
X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 125

12 125

48 125

64 125

4 12 ? X ? B (3, ) ? E ( X ) ? 5 5
考点:茎叶图,数学期望 19. (本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? BC ? 的中点, DC1 ? BD .

1 AA1 ,D 是棱 AA1 2

C1 A1

B1

D

C
A

B

(Ⅰ)证明: DC1 ? BC ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小. 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 30? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明线线垂直,通常利用线线垂直与线面垂直多次转化得到.一般从两方面 研究,一是平几中的垂直关系:如本题可根据三角形计算得

DC1 ? DC , 二是立体几何中线

面垂直判定与性质定理. (Ⅱ)求二面角,通常是利用空间向量数量积进行求解.先根据题意建立恰当的空间直角坐 标系,原则为易表示各点坐标,二是求出平面的法向量,这要利用方程组,最后根据两法向 量夹角与二面角的关系求. 试题解析:解法一: (Ⅰ)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC ,
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得: ?ADC ? 45? . 同理: ?A1 DC1 ? 45? ? ?CDC1 ? 90? . 得: DC1 ? DC , DC1 ? BD,DC ? BD ? D ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (Ⅱ) DC1 ? BC , CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A1 ? BC ? AC . 取 A1 B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H , 连接 C1O, C1 H .

A1C1 ? B1C1 ? C1O ? A1 B1 ,面 A1 B1C1 ? 面 A1 BD ? C1O ? 面 A1 BD , OH ? BD ? C1 H ? BD 得:点 H 与点 D 重合,
且 ?C1 DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角. 设 AC ? a ,则 C1O ?

2a ? , C1 D ? 2a ? 2C1O ? ?C1 DO ? 30 2

即二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30? .

z
C1 A1 B1

D

C
B

y

A

x
解法二: (向量法) 由 DC1 ? BC , CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A1

? BC ? AC .又 C1C ? 平面 ABC ,
所以 C1C ? AC , C1C ? BC , 以 C 点为原点,CA、CB、CC1 所在直线分别为

x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz .
第 12 页 共 12 页

不妨设 AA1=2,则 AC=BC=

1 AA1=1, 2

从而 A1(1,0,2) ,D(1,0,1) , B(0,1,0) ,C1(0,0,2) , 所以 DA1 ? (0, 0,1) , DB ? (?1,1, ?1) ,

???? ?

??? ?

???? ? DC1 ? (?1, 0,1) .
设平面 A1 BD 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 n1 ? DA1 , n1 ? DB , 所以 ?

??

??

???? ?

??

??? ?

?? ? z1 ? 0 ? z1 ? 0 ,即 ? ,令 y1 ? 1 ,则 n1 ? (1,1, 0) . ?? x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? x1 ? y1

设平面 C1 BD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ,则 n2 ? DC1 , n2 ? DB , 所以 ?

?? ?

?? ?

???? ?

?? ?

??? ?

?? ? ?? x2 ? z2 ? 0 ? x2 ? z2 ,即 ? ,令 z2 ? 1 ,则 n2 ? (1, 2,1) . ?? x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? y2 ? 2 z 2

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 3 ?? ? ? ? 所以 cos ? n1 , n2 ?? ?? ,解得 ? n1 , n2 ?? 30? 2 | n1 | ? | n2 | 2? 6
因为二面角 A1 ? BD ? C1 为锐角,因此二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30? . 考点:线面垂直判定与性质定理, 利用空间向量求二面角 20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C: x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F,直线 x ? 4 与 x 轴的
2

交点为 P,与 C 的交点为 Q,且 | QF |? (Ⅰ)求 C 的方程;

5 | PQ | . 4

(Ⅱ)点 A(?a, a )(a ? 0) 在抛物线 C 上,是否存在直线 l : y ? kx ? 4 与 C 交于点 M , N ,使 得△ MAN 是以 MN 为斜边的直角三角形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在说明理 由.
2 【答案】 (Ⅰ) x = 4 y (Ⅱ) y ? x ? 4

【解析】
p 8 5 8 + = ? 2 p 4 p
2 ,解得 p = 2 ,所以 C 的方程为 x = 4 y ,

试题分析: (Ⅰ)根据抛物线定义得

( Ⅱ ) 先 利 用 坐 标 转 化 条 件 以 MN 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 :

第 13 页 共 13 页

???? ? ???? AM ? AN ? ( x1 ? 4, y1 ? 4)( x2 ? 4, y2 ? 4) ,再根据直线与抛物线联立的方程组,利用韦达
定理得

???? ? ???? ? ? 16(k 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?16 ,代入上式即可证得 AM ? AN ? 0 ,本题实

质以算代证.
Q (4 , y0 )

试题解析: (Ⅰ)设

,代入 x = 2 py ,得

2

y0 =

8 8 p p 8 , \ PQ = , QF = + y0 = + p p 2 2 p



由题设得

p 8 5 8 + = ? 2 p 4 p

2 ,解得 p = - 2 (舍去)或 p = 2 ,∴C 的方程为 x = 4 y .

2 (Ⅱ)由 x = 4 y 知,点 A(?4, 4) ,假设存在满足条件的直线 l ,

? x2 ? 4 y ? M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,联立方程组 ? y ? kx ? 4 得 x 2 ? 4kx ? 16 ? 0 , 设
? ? 16(k 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?16

???? ? ???? AM ? AN ? ( x1 ? 4, y1 ? 4)( x2 ? 4, y2 ? 4) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 由题意得
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,
代入得 ?(1 ? k ) ? k ? 1 ? 0 ,解得 k ? 0 (舍)或 k ? 1 , y ? x ? 4 .
2

考点:抛物线定义,直线与抛物线位置关系 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? a )(a ? 0) . (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 单调递增,求 a 取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的最小值为 0,且当 x ? 0 时, f ( x) ? kx ,求 k 的最小值.
2

1 【答案】 (Ⅰ) a ? 1 (Ⅱ) 2
【解析】 试题分析: (Ⅰ)研究函数单调性,通常利用导数进行研究,先求导函数,再讨论导函数在 定义区间恒非负,再转化为函数最值求范围,也可求出单调区间,研究已知区间与单调区间 之间包含关系得参数范围(Ⅱ)本题两个条件,一是最小值,二是不等式恒成立.解决问题 的出发点都是利用导数研究函数单调性:由

f ( x) min ? f (1 ? a ) ? 1 ? a ? 0 得 a ? 1 ;对不等

式恒成立,利用分类讨论,确定

k?

1 2

第 14 页 共 14 页

试题解析: (Ⅰ)函数的定义域为 (? a, ??) .

f ?( x) ?

x ? a ?1 ( x ? ?a) x?a ,

? 由 f ( x) ? 0 ? x ? 1 ? a ,
因为函数 f ( x) 在 (0, ??) 为增函数. 所以 1 ? a ? 0 ,从而 a ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数 f ( x) 在 (? a,1 ? a ) 为减函数,在 (1 ? a, ??) 为增函数. 所以

f ( x) min ? f (1 ? a ) ? 1 ? a ? 0 得 a ? 1 .
2 2

所以当 x ? 0 时 f ( x) ? kx 即是当 x ? 0 时, x ? ln( x ? 1) ? kx 成立 当 k ? 0 时,因为 f (1) ? 1 ? ln 2 ? 0 所以 k ? 0 不合题意. 当 k ? 0 时,令 g ( x) ? f ( x) ? kx ? x ? ln( x ? 1) ? kx ( x ? 0)
2 2

g ?( x) ?

? x[2kx ? (1 ? 2k )] 1 x ? 0, x ? ? 1 ? ?1 1 2 ? x ?1 2k 令 g ( x) ? 0 得 .

k?


1 2 时, g ( x) 在 (0, ??) 单调递减, k? 1 2 适合题意.

于是 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.所以



0?k ?

1 1 (0, ? 1) 2 时, g ( x) 在 2k 单调递增,
1 ? 1) 2k 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,

所以当

x ? (0,



0?k ?

1 1 1 k? 2 , k 的最小值为 2 . 2 不合题意.综上:

考点:利用导数研究函数单调性、最值 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N ,作 割线 NAB , 交圆于 A 、B 两点, 连接 PA 并延长, 交圆 O 于点 C , 连接 PB 交圆 O 于点 D , 若 MC ? BC .

第 15 页 共 15 页

M

N A D P

C

O B

(Ⅰ)求证:△ APM ∽△ ABP ; (Ⅱ)求证:四边形 PMCD 是平行四边形. 【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 【解析】

PN NA ? PN , 试题分析: (Ⅰ) 利用切割线定理得对应线段成比例:BN 从而得两三角形相似 (Ⅱ)
利用两三角形相似得角相等:?PMA ? ?BPA , 再根据弦切角定理得:?DPC ? ?MCP , 从而可证四边形 PMCD 是平行四边形 试题解析: (1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? PN , ∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴ BN
2 2

又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP . (2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. 考点:三角形相似,切割线定理,弦切角定理 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

第 16 页 共 16 页

? x ? 1 ? cos ? (? ? y ? sin ? 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 为参数).以 O 为极点,x 轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 设直线 l 极坐标方程是 2 ? sin(? ? 与直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长. 【答案】 (Ⅰ) ? =2 cos ? (Ⅱ)2 【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 先 根 据 同 角 三 角 函 数 关 系 消 参 数 得 ( x ? 1) ? y ? 1 , 再 根 据
2 2

? ? ) ? 3 3, 射线 OM : ? ? 与圆 C 的交点为 O 、P , 3 3

x ? ? cos ? , y ? ? sin ?,? 2 ? x 2 ? y 2 得圆 C 的极坐标方程为 ? =2 cos ? (Ⅱ)线段 PQ 的长为极径

之差,因此只需求 P 、 Q 两点极径,直接代入
2

??
2

? ? 2 =3, 3 得 ?1 =1, 因此 PQ 为 2.

试题解析: (Ⅰ)圆 C 的普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 所以圆 C 的极坐标方程为 ? =2 cos ?

? ? =2 cos ? ? , ? ? ? ? ? ?1 =1,?1 = ? P ( ? , ? ) 3 1 1 ,则由 ? 3 (Ⅱ)设 解得

? ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? , ? ? ? ?? ? 2 =3,? 2 = ? Q ( ? , ? ) 3 2 2 ,则由 ? 3 设 解得
所以 |PQ |? 2 考点:参数方程化直角坐标方程,直角坐标方程化极坐标 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|3x+2| (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 1 , (Ⅱ)已知 m+n=1(m,n>0) ,若 | x ? a | ? f ( x) ? 围.

1 1 ? (a ? 0) 恒成立,求实数 a 的取值范 m n

第 17 页 共 17 页

10 5 1 0?a? (? , ) 3 【答案】 (Ⅰ) 4 2 (Ⅱ)
【解析】 试题分析: (Ⅰ)解含绝对值的不等式,关键在于根据绝对值的定义去绝对值,分类讨论 1 1 ? m n 最小值,由 (Ⅱ)不等式恒成立问题,先化为函数最值,即先求

1 1 1 1 n m ? ? ( ? )(m ? n) ? 1 ? 1 ? ? ? 4 m n m n m n 得 | x ? a | ? f ( x) ? 4 ,再根据绝对值的定义去绝对
值,分类讨论. 试题解析: (Ⅰ)不等式

f ( x) ? 4 ? x ? 1

,即

3x ? 2 ? x ? 1 ? 4



x??


2 3 时,即 ? 3 x ? 2 ? x ? 1 ? 4,

5 2 ?x?? , 3 解得 4 ? 2 1 ?x? , 2 解得 3 ?

2 ? x ?1 当 3 时,即 3 x ? 2 ? x ? 1 ? 4, ?
当 x ? 1 时,即 3 x ? 2 ? x ? 1 ? 4, 无解,

5 1 x ? (? , ) 4 2 . 综上所述 1 1 1 1 n m ? ? ( ? )(m ? n) ? 1 ? 1 ? ? ? 4 m n m n (Ⅱ) m n ,

2 ? ? 2 x ? 2 ? a, x ? ? 3 , ? 2 ? 令 g ( x) ? x ? a ? f ( x ) ? x ? a ? 3 x ? 2 ? ??4 x ? 2 ? a, ? ? x ? a, 3 ? ??2 x ? 2 ? a, x ? a ? ?
?x ? ? 2 2 g ( x) max ? ? a 3 时, 3 ,要使不等式恒成立, 2 10 ?a?4 0?a? 3 3 . 即

只需

g ( x) max ?

考点:解含绝对值的不等式,不等式恒成立

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