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函数的单调性学案+练习(精华)

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第四讲:函数的单调性
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函数的单调性 单调性的定义 减函数 增函数 单调区间

定义法证明函数的单调性

学习要求
1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 会用定义证明一些简单函数的单调性. 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.

自学评价
观察函数 f ( x ) = x , f ( x) = x 2 的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). f ( x) = x 的图象是_________的,

y

f ( x) = x

f ( x) = x 2

y

0

x

0

x

f ( x) = x 2 的图象在 y 轴左侧是______的, f ( x) = x 2 的图象在 y 轴右侧是_______的.
(2). f ( x) = x 在 (?∞,+∞) 上, x) f ( 随着 x 的增大而___________; f ( x) = x 2 在 (?∞,0] 上, f x) ( 随着 x 的增大而_______; f ( x) = x 2 在 (0,+∞) 上, x) f ( 随着 x 的增大而________.

讲授新课
※ ;增函数:

函数的单调性
x1 < x 2 ? f ( x1 ) < f ( x 2 )
减函数:

增函数、减函数的定义 y y

x1 < x 2 ? f ( x1 ) > f ( x 2 )

f(x1)

f(x2)

f(x1)

f(x2)

0

x1 x2

x

0

【经典范例】
例1 下图是定义在区间[-5,5]上的函数 y = f (x) , 根据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间 上,它是增函数还是减函数?

x1 x2 y 3 2 1

x

-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 -1 思维点拔: 观察曲线升、降部分的横坐标所在的区域. 思维点拔: 观察曲线升、降部分的横坐标所在的区域. -2 -3

x

例2 证明:函数 f ( x ) = 证明:

1 在 (0,+∞) 上是减函数. x

例3 物理学中的玻意耳定律 p =

k (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积 V

V 减小时,压强 p 将增大,试用函数的单调性证明之. 思维点拔: 思维点拔: 只需证明函数 p =

k 上是减函数即可. 在区间 (0,+∞ ) 上是减函数即可. V

归纳:用定义法证明函数单调性的一般步骤: ( ) ( ) (

)

(

)

(

)

【拓展训练】
1.下列函数中,在 ( ?∞,0) 上为减函数的是( A.y=3x B.y=-x
2

) C.y=︱x︱ D.y=2x+1 )

2.函数 f ( x ) = ( k + 1) x ? 3 在 (?∞,+∞) 上单调递减,则 k 的取值范围是( A.k>0 B.k<0 C.k>-1 )函数. D.先减后增 ) D.k<-1

3.函数 y = x 2 ? 6 x + 10 在区间(1,4)上为( A.单调递增 B.单调递减

C.先增后减

4.已知函数 f (x) 在(-2,3)上是减函数,则有( A.f(-1)<f(0) 5.证明函数 f ( x) = B.f(0)<f(2) C.f(1)<f(0)

D.f(-1)<f(1)

3x ? 2 在区间 (?∞,0) 上是增函数. x

函数单调性练习 练习
一、选择题: 1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A.y=2x+1 C.y= B.y=3x2+1 D.y=2x2+x+1 ( )

2 x

2.函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数, 则 f(1)等于 A.-7 C.17 A.(3,8) C.(-2,3) 4.函数 f(x)= B.1 D.25 ) B.(-7,-2) D.(0,5) ( ) ( )

3.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 (

ax + 1 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 x+2 1 1 A.(0, ) B.( ,+∞) 2 2
C.(-2,+∞) A.至少有一实根 C.没有实根
2

D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ) B.至多有一实根 D.必有唯一的实根 ( ) B.在区间(0,1)上是减函数 D.在区间(0,2)上是增函数 ( B.(1,4) D.(-∞,-1)∪[2,+∞) ( B.f(13)<f(9)<f(-1) D.f(13)<f(-1)<f(9) ( ) ) )

5.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内(

6.已知函数 f(x)=8+2x-x ,如果 g(x)=f( 2-x2 ),那么函数 g(x) A.在区间(-1,0)上是减函数 C.在区间(-2,0)上是增函数 |f(x+1)|<1 的解集的补集是 A.(-1,2) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) -t),那么下列式子一定成立的是 A.f(-1)<f(9)<f(13) C.f(9)<f(-1)<f(13)

7.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式

8.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t)=f(5

9.函数 f ( x) =| x | 和g ( x) = x( 2 ? x) 的递增区间依次是 A. (?∞,0], ( ?∞,1] C. [0,+∞), ( ?∞,1] B. (?∞,0], [1,+∞) D [0,+∞), [1,+∞)

10.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2 ( a ? 1) x + 2 在区间(? ∞,4] 上是减函数,则实数a 的取值范围是 ( A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3



11. 已知 f(x)在区间(-∞, +∞)上是增函数, b∈R 且 a+b≤0, a、 则下列不等式中正确的是 ( A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] A.f(-1)<f(3) 二、填空题: 13.函数 y=(x-1) 2 的减区间是___ 14.函数 y=x-2 1 ? x +2 的值域为__ 15、设 y = f ( x ) 是 R 上的减函数,则 y = f
-



B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) ( ) C.f (-1)=f (-3) D.f(2)<f(3)

12.定义在R 上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且y=f(x+2)图象的对称轴是x=0,则 B.f (0)>f(3)

_. ___.

( x ? 3 ) 的单调递减区间为

. .

16、 函数 f(x) = ax2+4(a+1)x-3 在[2, +∞]上递减, a 的取值范围是__ 则 三、解答题: 17.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f( (1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(

x ) = f(x)-f(y) y

1 ) <2 . x

18.函数 f(x)=-x3+1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还是 减函数?试证明你的结论.

19.试讨论函数 f(x)= 1 ? x 2 在区间[-1,1]上的单调性.

20.设函数 f(x)= x 2 + 1 -ax,(a>0),试确定:当 a 取什么值时,函数 f(x)在 0,+∞)上 为单调函数.

21.已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取值 范围.

22.已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 + 2x + a ,x∈[1,+∞] x

1 时,求函数 f(x)的最小值; 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题: CDBBD ADCCA BA 选择题: 二、填空题:13. (1,+∞), 14. (-∞,3),15. [3, +∞ ) , ? ? ∞,? ? 填空题: 2

? ?

1? ?

三、解答题:17.解析:①在等式中 令x = y ≠ 0 ,则 f(1)=0. 解答题: ②在等式中令 x=36,y=6 则 f (

36 ) = f (36) ? f (6),∴ f (36) = 2 f (6) = 2. 6

故原不等式为: f ( x + 3) ? f ( ) < f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36), 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,

1 x

?x + 3 > 0 ?1 153 ? 3 ? 故不等式等价于: ? > 0 ?0< x< . 2 ?x ?0 < x( x + 3) < 36 ?
18.解析: f(x)在 R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下: 设 x1、x2∈(-∞,+∞), x1<x2 ,则 f(x1)=-x13+1, f(x2)=-x23+1. f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+ ∵x1<x2,∴x2-x1>0 而(x1+

x2 2 3 2 ) + x2 ] . 2 4

x2 2 3 2 ) + x2 >0,∴f(x1)>f(x2). 2 4 3 ∴函数 f(x)=-x +1 在(-∞,+∞)上是减函数.
19.解析: 设 x1、x2∈-1,1]且 x1<x2,即-1≤x1<x2≤1. f(x1)-f(x2)= 1 ? x1 - 1 ? x 2 =
2 2

(1 ? x1 ) ? (1 ? x 2 )
2 2

1 ? x1 + 1 ? x 2
2

2

=

( x 2 ? x1 )( x 2 + x1 ) 1 ? x1 + 1 ? x 2
2 2

∴当 x1>0, 2>0 时, 1+x2>0, x x 那么 f(x1)>f(x2). ∵x2-x1>0, 1 ? x1 + 1 ? x 2 >0,
2 2

当 x1<0,x2<0 时,x1+x2<0,那么 f(x1)<f(x2). 故 f(x)= 1 ? x 2 在区间[-1,0]上是增函数,f(x)= 1 ? x 2 在区间[0,1]上是减函 数. 20.解析:任取 x1、x2∈0,+ ∞ ) 且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= x1 + 1 - x 2 + 1 -a(x1-x2)=
2 2

x1 ? x 2
2 2

2 2

x1 + 1 + x 2 + 1

-a(x1-x2)

=(x1-x2)(

x1 + x 2 x1 + 1 + x 2 + 1
2 2

-a)

(1)当 a≥1 时,∵

x1 + x 2 x1 + 1 + x 2 + 1
2 2

<1,

又∵x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ∴a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为减函数. (2)当 0<a<1 时,在区间[0,+∞]上存在 x1=0,x2= ∴0<a<1 时,f(x)在[0,+ ∞ ) 上不是单调函数 注: ①判断单调性常规思路为定义法; ②变形过程中

2a ,满足 f(x1)=f(x2)=1 1? a2

x1 + x 2 x1 + 1 + x 2 + 1
2 2

<1 利用了 x1 + 1 >|x1|≥x1; x 2 + 1 >x2;
2 2

③从 a 的范围看还须讨论 0<a<1 时 f(x)的单调性,这也是数学严谨性的体现. 21.解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函数 ∴由 f(m-1)-f(1-2m)>0,得 f(m-1)>f(1-2m)

? ?? 1 < m < 3 ?? 2 < m ? 1 < 2 ? 3 ? ? 1 ∴ ?? 2 < 1 ? 2m < 2,即? ? < m < 2 ?m ? 1 < 1 ? 2 m ? 2 ? 2 ? ?m < 3 ?
22.解析: (1)当 a=

解得 ?

1 2 1 2 < m < ,∴m 的取值范围是(- , ) 2 3 2 3

1 1 时,f(x)=x+ +2,x∈1,+∞) 2 2x
x ? x2 1 1 1 =(x2-x1)+ 1 =(x2-x1)(1- ) ? x1 ? 2 x2 2 x1 2 x1 x 2 2 x1 x 2 1 >0,则 f(x2)>f(x1) 2 x1 x 2 7 . 2

设 x2>x1≥1, f(x2)-f(x1)=x2+ 则

∵x2>x1≥1,?∴x2-x1>0,1-

可知 f(x)在[1,+∞)上是增函数.∴f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= (2)在区间[1,+∞ ) 上,f(x)=

x2 + 2x + a >0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立 x 设 y=x2+2x+a,x∈1,+∞),由 y=(x+1)2+a-1 可知其在[1,+∞)上是增函数,
当 x=1 时,ymin=3+a,于是当且仅当 ymin=3+a>0 时函数 f(x)>0 恒成立.故 a>-3.


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