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(课件1)2.2平面向量的线性运算

时间:2012-07-28


由于大陆和台湾没有直航,因此2006年春节探亲, 乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海,则飞机的 位移是多少?

上海
? c

上海

? b

台北
香港 香港

? a

台北

普通高中课程标准实验教科书(必修4)数学第二章第二节

向量的加法 2.2.1向量的加法

向量的加法:
? ? ??? ? ? ??? ? ? 已 知 向 量 a和 b , 在 平 面 内 任 取 一 点 O , 作 O A ? a , A B ? b , ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 则 向 量 O B叫 做 a 和 b的 和 , 记 作 a ? b .即 a ? b = O A + A B = O B

求两个向量和的运算叫做向量的加法.

A
a
b a b

B a+b

O

首 尾 顺 次 相 连

根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为

向量加法的三角形法则。

两种特例(两向量平行)
? a ? b ? a

? b

A

? ? ???? a ? b ? AC

B

C

B

? ? ???? a ? b ? AC

C

A

方向相同

方向相反

如图,已知 a , b , c ,请作出 a + b , b a + ( b + c ) , ( a + b ) + c. a c

+

a ,b

+

c

b

a
b b a a+ b

? ? a?b

? ? b?c

c

a?b?c

b+ a
b

a

向量加法的运算律
交换律: a ? b ? b ? a 结合律:( a ? b ) ? c ? 想一想
a ? (b ? c )

1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么? a? ?a ? ?a ?a ? 0 ( )( )? ? 2.零向量和任一向量 a 的和为什么?

a?0 ? 0?a ? a
? ? ? ? ? ? 3.a ? b , a ? b 和 a ? b 的 大 小 关 系 如 何 ? ? ? ? ? ? ? 何时取得等号? a ? b ≦ a?b ≦ a ? b

练一练
1.化简
AD (1) AB ? CD ? BC ? ________
(2) MA ? BN ? AC ? CB ? ________ MN

?

? ?

?

(3) AB ? BD ? CA ? DC ? ________ 0

?

?

2.根据图示填空
E
g

e

D
d

(1) a ? b ? ( 2)c ? d ?

c f
f g

f

A
a

c
B

(3) a ? b ? d ?
b

C

( 4)c ? d ? e ?

练一练
如图,已知 a, b 用向量加法的三角形法则作出 a ? b
(1)

a?b

(2)

a b b

b

a?b
a

b

(3)

(4)
a?b
C

a b

B

b

a
b

a?b
O

b a
A

向量加法的平行四边形法则
A
a a a a a a a a a a a+b b a

C

共 起 点

b

b

b

b

O

B
b

向量加法的平行四边形法则

练一练
如图,已知 a, b 用向量加法的平行四边形法则 作出 a ? b
(1)
b

a?b b a

共 起

(2)

b a

a?b

a



数学应用
例 1: 已 知 O为 正 六 边 形 ABC D EF的 中 心 , 作 出 下 列 向 量 ??? ???? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? (1) A ? O C O (2 ) B C ? F E (3) O A ? F E

解:( 1) ? OC ? OB ; OA
( 2) BC ? FE ? AD ;

E

D

F

O

C

( 3) OA ? FE ? 0 .

A

B

数学应用
例2

如图,一艘船从 A点出发以 2 3k m /h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时河水以2km/h的速度向东流, 求船实际行驶速度 的大小与方向.
???? 如图,设用向量 A C 表示船向垂直于对岸 ??? ?

解:

C

的速度,用向量 A B 表示水流的速度

D

???? 以AC,AB为邻边作平行四边形,则 A D

就是船实际行驶的速度 ??? ? ????
???? ??? ???? ? ? AD ? AB ? BD
???? ? AD ? 4

在 R t ? A B D 中 , A B ? 2, B D ? 2 3

A

B

? tan ? D A B ?

3

? ? D AB ? 60

?

答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角 6 0 .?

课后思考
如图,一艘船从 A点出发能以2 3km /h的速度垂直 向对岸的方向行驶,同时河水以2km/h的速度 向东流,求船的航向及速度大小。
C

A

B

课堂小结:
向量加法的定义
三角形法则

平行四边形法则

向量加法的运算律 向量加法的运算

作业:

+

b b a a a c
+

+
+

c
+
, ,

b b a+ b a+ b a+ b a+ b
+


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