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3.2利用均值不等式求最值的常用方法

时间:2011-11-18


3.2 应用均值不等式求最值的常用方法
一.凑 1.加减凑 例 1. 已知 : 2 ? x, 求y ? x ?

例 4.已知 : 0 ? x ? 1, 求y ? x 2 ?1 ? x? 的最小值 .

3 的最小值 . x?2
练习:已知 : 0 ? x ?

5 2 , 求y ? x ?5 ? 2 x ? 的最大值 . 2

练习. (1)已知 : 0 ? x ? 1, 求y ? x ?

3 的最小值 . x?2

x 2 ? 2x ? 3 (2)已知 : 0 ? x ? 1, 求y ? 的最小值. x?2

16 例 2.已知 a ? b ? 0 ,求 a ? 的最小值.(较难,可不用) b( a ? b)

例 5. 求y ? sin x ?

4 (0 ? x ? ? )的最小值 . sin x

练习: (1) 求y ? sin x ?
2

4 的最小值 . sin 2 x

练习:已知 a ? b ? 0 ,求 a 2 ?

16 的最小值.(太难,可不用) b( a ? b)

(2)求数f ( x) ?

x2 ? 5 x ?4
2

的最小值 。

2.拆凑 例 3、求 y ? 3 x ?

(3) 求y ? 4 sin x ?
2

9 的最小值 . sin 2 x

1 ( x ? 0) 的最小值。 x2

3.乘除凑 例 6. 设x, y, z ? R ? ,3x ? 4 y ? 6, 求xy的最大值 .

二. “1”代换 例 8.若 x, y ? R ? ,

1 9 ? ? 1, 求x ? y的最小值. x y

练习: 设x, y, z ? R ? ,3x ? 4 y ? 5z ? 6, 求xyz的最大值 . 练习: x, y ? R ? , x ? y ? 1, 求

2 1 ? 的最小值. x y

例 7. 求函数f ( x) ?

x 的最大值. x ?1

三.消元法 例 9.若 x, y ? R ? ,

练习: (1) 求函数 f ( x) ?

x 的最大值 . x ?1
2

1 9 ? ? 1, 求x ? y的最小值. x y

x2 的最大值. (2) 求函数f ( x) ? 4 x ?1

四.平方法 例 10.求函数 y ? x 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 的最大值。

(3) S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n, n ? N , 求f (n) ?
*

Sn 的最大值。 (n ? 2) S n?1

练习: (1) y ? 4 x ? x 3 (0 ? x ? 2) 的最大值。

(2)已知 : 0 ? x ? 1, 求y ? x 1 ? x 2 的最小值 .

?

?

(3)求 y ? sin x ? cos x
2

(0 ? x ?

?
x

) 的值域。


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