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高三数学第二轮复习讲义 导数及其应用 理

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导数及其应用
类型一:没有其他未知字母情况下,求单调性,极值,最值 例 1:设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 9x ?1(a 0). 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平 行,求: (Ⅰ)a 的值;(Ⅱ)函数 f(x)的单调区间. 解:(Ⅰ) a ? ?3,由题设a ? 0, 所以a ? ?3. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ?3,因此f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 1,

f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3( x ? 1) 令f ?( x) ? 0, 解得:x1 ? ?1, x2 ? 3. 当x ? (??, ?1)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(??, ? 1)上为增函数; 当x ? (?1,3)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在( ? 1,)上为减函数; 3 当x ?(3,+?)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(3, ? ?)上为增函数. 由此可见,函数f ( x)的单调递增区间为(??, ?1)和(3, ? ?); 单调递减区间为( ? 1, 3) .
变式训练 1:设函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? b( x ? R) ,其中 a,b ? R .

10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3 (Ⅱ)若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围;
(Ⅰ)当 a ? ? (Ⅰ)解: f ?( x) ? 4x3 ? 3ax2 ? 4x ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) .

10 时, f ?( x) ? x(4x2 ?10x ? 4) ? 2x(2x ?1)( x ? 2) .令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , 3 1 ? 1? ?1 ? x2 ? , x3 ? 2 . f ( x) 在 ? 0, ? , (2,∞ ? ) 是增函数,在 (?∞, 0) , ? , 2 ? 内是减函数. 2 ? 2? ?2 ? 2 (Ⅱ)解: f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根.
当a ? ? 为使 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒成立,即有 ? ? 9a ? 64 ≤ 0 .
2 2

解此不等式,得 ? ≤ a ≤ .这时, f (0) ? b 是唯一极值. a 的取值范围是 ? ? , ? . 3 3 3 3 类型二:结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题 例 2:设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? a 。 (1)求 f ( x ) 的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。 解: (1) f ?( x) ? 3x2 ? 2x ? 1 ,若 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ? ,1

8

8

? 8 8? ? ?

1 3

? 1? 5 ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 。 所以 f ( x) 的极大值是 f ? ? ? ? ? 3 ? 27
(2)函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? a ? ( x ? 1)2 ( x ? 1) ? a ? 1 。 由此可知 x 取足够大的正数时,有 f ( x) ? 0 , x 取足够小的负数时,有 f ( x) ? 0 ,所以曲线 y ? f ( x) 与 x 轴至少有一个交点.结合 f ( x) 的单调性可知:

5 ? 5 ? ? a ? 0 ,即 a ? ? ??, ? ? 时,它的极小值也 27 ? 27 ? 因此曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点,它在 (1, ??) 上; 当 f ( x ) 的极小值 a ? 1 ? 0 时,即 a ? (1, ??) 上时,它的极大值也小于 0, y ? f ( x) 与 x 轴仅
当 f ( x ) 的极大值

1? 5 ? ? ? 一个交点,它在 ? ??, ? ? 上。当 a ? ? ??, ? ? 3? 27 ? ? ?
变式训练 2: .已知函数 f ( x) ? 因为函数 f ( x) ?

(1, ??) 时, y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点。证明: ?27 ? c ? 5 ; 4 2

1 4 9 x ? x 3 ? x 2 ? cx 有三个极值点 , 所以 f ?( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c ? 0 有 4 2

三个互异的实根.设 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c, 则 g?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1), 当 x ? ?3 时,g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (??, ?3) 上为增函数; 当 ?3 ? x ? 1 时,g ?( x) ? 0, g ( x) 在

(?3,1) 上为减函数;当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (1, ??) 上为增函数,
所以 g ( x) 在 x ? ?3 时取极大值,在 x ? 1 时取极小值。 当 g (?3) ? 0 或 g (1) ? 0 时, g ( x) ? 0 最 多只有两个不同实根。 g ( x) ? 0 有三个不同实根, 所以 g (?3) ? 0 且 g (1) ? 0 , 即 ?27 ? 27 ? 27 ? c ? 0 ,且 1 ? 3 ? 9 ? c ? 0 ,解得 c ? ?27, 且 c ? 5, 故 ?27 ? c ? 5 . 类型三:含字母时,对判别式进行分类讨论 例 3: .已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (1)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. 解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导得 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 当 a ? 3 时, ? ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 R 上递增;当 a
2
2

? 2 ? 3

1? 3?

? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为

? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 f ( x ) ?? , , ,即 在 递增, x? ? ? ? ?递 ? ? ? ? 3 3 3 3 ? ? ? ?
? ?a ? ? ? ?a ? a 2 ? 3 ? ? , ? ? ? 递增。 减, ? (2) ? ? ? 3 ? ?a ? ? ? ? ?
2

a2 ? 3 2 ?? 3 3 a ?3 1 ?? 3 3
2

,且 a

2

? 3 ,解得 a ? 2 。

变式训练 3:设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (I)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性;(II)求函数 f ( x ) 的极值点; 高&考% 2

资(源#网 wxc 解:(I) 函数 f ( x) ? x 2 ? b ln( x ?1) 的定义域为 ? ?1, ?? ? .

f '( x) ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b ? ,高&考%资(源#网 wxc x ?1 x ?1

令 g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ,则 g ( x) 在 ? ?

1? ? 1 ? ? , ?? ? 上递增,在 ? ?1, ? ? 上递减, 2? ? 2 ? ?

1 1 g ( x) min ? g (? ) ? ? ? b . 2 2

1 1 时, g ( x) min ? ? ? b ? 0 , 2 2 1 g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立.? f ' ( x) ? 0, 即当 b ? 时,函数 f ( x) 在定义 2
当b ?

域 ? ?1, ?? ? 上单调递增。 (II)分以下几种情形讨论:

1 时函数 f ( x ) 无极值点. 2 1 2( x ? )2 1 2 , (2)当 b ? 时, f '( x) ? 2 x ?1
(1)由(I)知当 b ?

1? ? ? x ? ? ?1, ? ? 时, f ' ( x) ? 0, 2? ?
?b ?

? 1 ? x ? ? ? , ?? ? 时, f ' ( x) ? 0, ? 2 ?

1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 2
1 ?1 ? 1 ? 2b ' 时 ,解 f ( x) ? 0 得 两 个不同 解高 & 考 % 资 ( 源 # 网 wxc x1 ? , 2 2


( 3 )当 b ?

x2 ?

?1 ? 1 ? 2b 2

b?0





x1 ?

?1 2

? b1

?2 1 ? ,?

x2 ?

?1 ? 1 ? 2b ? ?1 ? x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? , 2
1 ?1 ? 1 ? 2b . 当 0?b? 时, 2 2

此 时 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上 有 唯 一 的 极 小 值 点 x2 ?

x1, x2 ? ? ?1, ??? , 高&考%资(源#网 wxc f ' ( x) 在 ? ?1, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0 ,f ' ( x) 在 ( x1 , x2 )
上小于 0 , 此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? . 2 2

综上可知, b ? 0 时, f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ?

?1 ? 1 ? 2b ; 2

0?b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ; 2 2 2

b?

1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点 2
1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3

类型四:含字母时,对导函数的零点以及区间的位置进行分类讨论 例 4:已知函数 f ( x) ?

(I)试用含 a 的代数式表示 b ; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m :解: (I)依题意,得 b ? 2a ? 1 (Ⅱ)由(I)得 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x ( 3

故 f '( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ?1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ?1) 令 f '*( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 由此得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1)

1 ? 2 a ? ?1 , ②由 a ? 1 时, 此时,f '( x) ? 0 恒成立, 且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 , 故函数 f ( x )
的单调区间为 R ③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 , f ( x ) 的单调增 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区 (?1,1 ? 2a) 综上:当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为(-1.1-2a) 变式训练 4:已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x ( x ? a)
2 ' (1)若 f (1) ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

(2)求函数 y=f (x)在区间 [ 1,2 ] 上的最小值。
2 解: (1) f ?( x) ? 3x ? 2ax ,因为 f ?(1) ? 3 ? 2a ? 3 ,所以 a ? 0 .

,f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 . 又当 a ? 0 时, f (1) ? 1 , f ?(1) ? 3 , y ? f ( x) 在 (1
(2) 设最小值为 m , f ( x) ? 3 x ? 2ax ? 3 x( x ?
/ 2

2 a), x ? (1,2), 3

/ 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0, x ? (1,2), 则 f ( x) 是区间[1,2]上的增函数, 所以 m ? f (1) ? 1 ? a ;

2a 2 / 时, f ( x) ? 0, 从而f ( x)在区间[ a, ??)上是增函数 ; 3 3 2a 2 / 在0 ? x ? 时, f ( x) ? 0, 从而f ( x)在区间[0, a]上是单减函数 3 3 2 2 3 ① 当 a ? 2 , 即 a ? 3 时 , m ? f (2) ? 8 ? 4a ; ② 当 1 ? a ? 2 , 即 ? a ? 3 时 , 3 3 2
当 a ? 0 时,在 x ? 0或x ?

m? f(

3 2a 4a ;③ 当 0 ? a ? 时, m ? f (1) ? 1 ? a . )?? 2 3 27

3

3 ? ?1 ? a, ( a ? 2 ) ? 则函数的最小值 ? 4a 3 3 m ? ?? , ( ? a ? 3) ? 27 2 ?4( 2 ? a ), ( a ? 3) ? ?

题型五、恒成立问题 例 5.设函数 f ( x) ?

x3 ? x 2 ? 3x ? 3a(a ? 0) 。 3

(1) 如果 a ? 1 ,点 P 为曲线 y ? f ( x) 上一个动点,求以 P 为切点的切线斜率取最小值时的 切线方程;(2) 若 x ? [a,3a] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。
' 2 解:(1) 设切线斜率为 k ,则 k ? f ( x) ? x ? 2x ? 3 当 x ? 1 时, k 取最小值-4,

又 f (1) ? ?

20 20 ? ?4( x ? 1) ,即 12x ? 3 y ? 8 ? 0 , 所以,所求切线方程为 y ? 3 3

' 2 (2) 由 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得: x ? ?1 或 x ? 3 。

函数 f ( x) 在 ?? ?,?1? 和 ?3,??? 上是增函数,在 ?? 1,3? 上是减函数。 所以

?0 ? a ? 3a ? 3 ? ? f (3a) ? 0

或 ?

?0 ? a ? 3 ? 3a ? f (3) ? 0
3 2

或 ?

?a ? 3 解得 a ? 6 ? f (a) ? 0

变式训练 5:已知函数 f ( x) ? x ? 3x

(1)若 y ? f ( x) 在区间 [2m ? 1, m ? 1] 上是增函数,求实数 m 的取值范围; (2)若 x1 , x2 ?[?1,1] ,求证: | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 .
2 解: (1) f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 即 x( x ? 2) ? 0 ? x ? 0或x ? ?2

? f ( x) 的增区间为 (??, ?2] 和 [0, ??).

f ( x) 在区间 [2m ? 1, m ? 1] 上是增函数,

? [2m ?1, m ? 1] ? (??, ?2]或[2m ?1, m ? 1] ? [0, ??) ;
?m ? 1 ? ?2 ?2m ? 1 ? 0 1 或? ? ? ? m ? ?3或 ? m ? 2 2 ?2m ? 1 ? m ? 1 ?2m ? 1 ? m ? 1
f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2) ? 0 ? x ? 0或x ? ?2 ,
f (0) ? 0, f (?1) ? 2, f (1) ? 4 ,

? f ( x) 在区间[-1,1]上的最大值 M 为 4,最小值 N 为 0,
故对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? N ? 4 ? 0 ? 4 题型六、导数解决不等式问题 例 6.对于函数 f ? x ? ?

a 3 b 2 x ? x ? a2 x ? a ? 0? . 3 2

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 x ? 20 ,求 a , b 的值; (2)设 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个极值点,且 x1 ? x2 ? 2 ,证明: b ? 解: (1)由切点为 ? 2, ?6 ? , y ' ? ax2 ? bx ? a 2 ? k ,有

4 3 9

a 3 b 2 ? 2 ?? 6 ? ? 2 ? ? 2 ? a ? 2 3 2 ? ?7 ? a ? 2 2 ? b ? 2 ? a 2 ?

解得 a ? 3, b ? 2

2 2 (2)由题, x1 、 x2 是方程 ax ? bx ? a ? 0 的两个根,? x1 ? x2 ? ?

b , x1 x2 ? ?a ? 0 可得 a

两根一正一负,不妨设 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 2 ? x2 ? x1 ? 2,

? ? x2 ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ?
2

2

b2 ? 4 x1 x2 ? 4 ? 2 ? 4a ? b 2 ? a 2 ? 4 ? 4a ? a



t ? a2 ? 4 ? 4a ? ? 4a2 ? 4a3 , 其中a ? 0.
2? 2 2 ? t ' ? 8a ? 12a 2 ? ?12a ? a ? ? ? 0 得a ? 0 ? 舍去? 或 a ? ,当0 ? a ? 时,t ' ? 0 ; 3? 3 3 ?
当a ?

2 2 16 16 4 3 ' 2 ?b? 时, t ? 0 . 所以当 a ? 时, t max ? ,即 b ? . 3 3 27 27 9

变式训练 6:已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x , x ? ?1 ,证明: 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ? x x ?1

题型七、以函数为模型运用导数解决应用问题 例 7.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,

问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 解:设长方体的宽为 x (m) ,则长为 2 x (m),高为 h ? 4 故长方体的体积为 V ?x ? ? 2 x 2 ?4.5 ? 3x ? ? 9 x 2 ? 6 x 3 m 3

3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

? ?

3? ? ?0 ? x ? ? 2? ?

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V ' ?x ? ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 1 , 因此 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, V ' ?x ? ? 0 ;当 1 ? x ?

3 时, V ' ?x ? ? 0 ,故在 x ? 1 处 V ?x ? 取得极大值,并 2

且这个极大值就是 V ?x ? 的最大值,从而最大体积 V ? V ' ?x? ? 9 ?12 ? 6 ?13 m3 ,此时长方 体的长为 2 m,高为 1.5 m 变式训练 7:某公司为获更大收益,每年要投入一定资金用于广告促销,经调查,若每年投广 告费 t (百万元) ,可增加销售额约为 ?t 2 ? 5t (百万元). (0 ≤ t ≤ 5) . (1)若公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内,则应投入多少广告费才能使公司由此获得 收益最大? (2)现公司准备共投入 3 百万元分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改进费

? ?

1 x 百万元,可增加销售额约 ? x3 ? x2 ? 3x 百万元.请设计一种资金分配方案,使该公司由此 3
获得最大收益.(注:收益=销售额-成本) 解: (1)设投入广告费 t 百万元,则收益 y ? ?t 2 ? 5t ? t ? ?(t ? 2)2 ? 4 ∴ t ? 2 时, ymax ? 4 .∴应投入 2 百万元广告费,由此获得收益最大。 (2)投入广告费 (3 ? x) 百万元,则收益 y ? ?

(0 ≤ t ≤ 3) 。

1 3 x ? x2 ? 3x ? (3 ? x)2 ? 5(3 ? x) ? 3 3 1 ? ? x3 ? 4 x ? 3 (0 ≤ x ≤ 3) 3

y ' ? ? x2 ? 4 ? ?( x ? 2)( x ? 2)
当 x ? 2 时, ymax . ∴当投入技术改造 2 百万元、广告费 1 百万元时,公司收益最大。

1.对于 R 上可导的函数 f(x),若满足 ( x ? 2) f ?( x) ? 0 则必有( D ) A、 f (1) ? f (3) ? 2 f (2) C、 f (1) ? f (3) ? 2 f (2)
3

B、 f (1) ? f (3) ? 2 f (2) D、 f (1) ? f (3) ? 2 f (2)

2.已知 a>0,函数 f ( x) ? x ? ax 在 ?1, ?? ? 上是单调增函数则 a 的最大值是( D ) A、0 B、1 C、2 D、3

1 3 4 3.曲线 y ? x ? x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成三角形面积为( A ) 3 3

A、

1 9

B、

2 9

C、

1 3

D、

2 3

4.若函数 f ( x) ? a( x3 ? 3x) 的递减区间为(-1,1) ,则 a 的取值范围( A ) A、a>0 B、-1<a<0 C、a>1 D、0<a<1

5. 设 P 为曲线 C:y ? x2 ? 2x ? 3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? ,

? ?? ? 4?

则点 P 横坐标的取值范围为_________. ? ?1 , ? ? 2

? ?

1? ?

6.已知 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? ax ?
3 2

3 3 x? a. 2 2

(1)若函数 f ( x ) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围; (2)若 f ?(?1) ? 0 ,对任意 x1 , x2 ?[?1,0] ,不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? m 恒成立, 求 m 的最小值.

3 3 3 x ? a ∴ f ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? . 2 2 2 3 2 由题意知 f ?( x) ? 0 有实数解. ∴△ ? 4a ? 4 ? 3 ? ? 0 2
解:(1)∵ f ( x ) ? x ? ax ?
3 2

∴a ?
2

9 3 2 ?3 2 3 2 3 2 ,即 a ? ? 或a ? . 故 a ? (??, ? ] [ , ??) . 2 2 2 2 2
∴ 3 ? 2a ?

(2)∵ f ?(?1) ? 0

3 ?0 2

即a ?

9 . 4

3 1 1 ? 3( x ? )( x ? 1) ,令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? ? , x2 ? ?1 . 2 2 2 25 1 49 27 , f (? ) ? , f (0) ? 当 x ? [?1,0] 时, f (?1) ? 8 2 16 8 27 1 49 , f ( x) min ? f (? ) ? ∴ f ( x) max ? f (0) ? . 8 2 16 5 5 故 x1 , x2 ?[?1,0] 时, | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f ( x) max ? f ( x) min ? 所以 m ? ,即 m 的最小 16 16 5 值为 . 16 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ?
2 7 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? b 的 图 像 与 函 数 g ( x) ? x ? 3x ? 2 的 图 象 相 切 , 记

F ( x) ? f ( x) g ( x).
(1)求实数 b 的值及函数 F(x)的极值; (2)若关于 x 的方程 F(x)= k 恰有三个不等的实数根,求实数 k 的取值范围. 解: (1)依题意,令 f ( x) ? g '( x), ,得 1 ? 2 x ? 3, 故x ? ?1

?函数f ( x)的图像与函数g ( x)的图象的切点为( ?1, 0), 将切点坐标代入函数f ( x) ? x ? b可得b ? 1 (或 : 依题意方程f ( x)) ? g ( x), 即x 2 ? 2 x ? 2 ? b ? 0有唯一实数解故? ? 2 2 ? 4(2 ? b) ? 0, 即b ? 1)   ? F ( x) ? ( x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 2) ? x 3 ? 4 x 2 ? 5 x ? 2 5 5 故F '( x) ? 3x 2 ? 8 x 2 ? 5 ? 3( x ? 1)( x ? ), 令F '( x) ? 0, 解得x ? ?1或x ? ? 3 3
列表如下:

x
F ' ( x)
F ( x)

5 ( ?? ,? ) 3
+ 增

?
0

5 3

5 ( ? ,?1) 3


-1 0 极小值 0

(?1,??)
+ 增

极大值

4 27



从上表可知 F ( x)在x ? ? 处取得极大值

5 3

4 , 在x ? ?1 处取得极小值 27

(2)由(1)可知函数 y ? F ( x)大致图象如下图所示 . 作函数 y ? k 的图象,当 y ? F ( x) 的图象与函数 y ? k 的图象有三个交点时,关于 x 的方程 F ( x) ? k恰有三个

不等的实数根 .结合图形可知 : k ? (0,

4 ) 27

8. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2tx ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 3 , 其中 x ? R, t ? R , 将 f ( x ) 的最小值记为

g (t ) . (1)求 g (t ) 的表达式; (2)讨论 g (t ) 在区间[-1,1]内的单调性;
(3) 若当 t ? [-1,1]时, g (t ) ? k 恒成立,其中 k 为正数,求 k 的取值范围. 解: (1) f ( x) ? ( x ? t ) 2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 , 当 x ? t 时, f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ,即 g (t ) ? 4t 3 ? 3t ? 3 ; (2)因为 g / (t ) ? 12t 2 ? 3 ? 3 (2t ? 1)(2t ? 1) , 列表如下:

由此可见, g (t ) 在区间 ? ?1 , ?

? ?

1? ?1 ? ? 1 1? 1? 单调递增,在区间 ? ? , ? 单调递减; ? 和? , 2? ?2 ? ? 2 2?

1 (3) ? g (1) ? g (? 1 ,所以 g (t ) max ? 4, g (t ) min ? 2 ; 2 ) ? 4, g (?1) ? g ( 2 ) ? 2

?k ? 4 ? g (t ) ? k 既 ? k ? g (t ) ? k 恒成立,所以 ? ?? k ? 2

,综合可得 k 的范围为 k ? 4 。


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