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【步步高】2014-2015学年高中数学 第一章 §1.2充分条件与必要条件检测试题 新人教A版选修1-1

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§1.2

充分条件与必要条件

课时目标 1.结合实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明) 某些命题的条件关系.

1.如果已知“若 p,则 q”为真,即 p? q,那么我们说 p 是 q 的____________,q 是 p 的____________. 2.如果既有 p? q,又有 q? p,就记作________.这时 p 是 q 的______________条件, 简称________条件,实际上 p 与 q 互为________条件.如果 p ? q 且 q ? p,则 p 是 q 的 ________________________条件.

一、选择题 1.“x>0”是“x≠0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设 p:x<-1 或 x>1;q:x<-2 或 x>1,则綈 p 是綈 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 4.“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x +y =1 相交”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 设 l, m, n 均为直线, 其中 m, n 在平面 α 内, “l⊥α ”是“l⊥m 且 l⊥n”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 6.“a<0”是“方程 ax +2x+1=0 至少有一个负数根”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7.用符号“? ”或“ ? ”填空. 2 2 (1)a>b________ac >bc ; (2)ab≠0________a≠0. 8.不等式(a+x)(1+x)<0 成立的一个充分而不必要条件是-2<x<-1,则 a 的取值范 围是________. 2 9.函数 y=ax +bx+c (a>0)在[1,+∞)上单调递增的充要条件是__________. 三、解答题 10.下列命题中,判断条件 p 是条件 q 的什么条件: (1)p:|x|=|y|,q:x=y. (2)p:△ABC 是直角三角形,q:△ABC 是等腰三角形;
1

(3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形.

11.已知 P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x -4x+3<0},若 x∈P 是 x∈Q 的必要条件,求 实数 a 的取值范围.

2

能力提升 12.记实数 x1,x2,?,xn 中的最大数为 max{x1,x2,?,xn},最小数为 min{x1,x2,?,xn}.已知△ABC 的三边边长为 a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜度为
?a b c? ?a b c? l=max? , , ?·min? , , ?, ?b c a? ?b c a? 则“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的(

) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 13.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=(n+1) +c,探究{an}是等差数列的充要条件.

1.判断 p 是 q 的什么条件,常用的方法是验证由 p 能否推出 q,由 q 能否推出 p,对 于否定性命题,注意利用等价命题来判断. 2.证明充要条件时,既要证明充分性,又要证明必要性,即证明原命题和逆命题都成 立,但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立.“A 的充要条件为 B”的命题的 证明:A? B 证明了必要性;B? A 证明了充分性.“A 是 B 的充要条件”的命题的证明:A? B 证明了充分性;B? A 证明了必要性.

§1.2

充分条件与必要条件

答案

知识梳理 1.充分条件 必要条件 2.p?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计 1.A [对于“x>0”? “x≠0”,反之不一定成立. 因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件.]
2

2.A [∵q? p,∴綈 p? 綈 q,反之不一定成立, 因此綈 p 是綈 q 的充分不必要条件.] 3.B [因为 N?M.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件.] 2 2 4.A [把 k=1 代入 x-y+k=0,推得“直线 x-y+k=0 与圆 x +y =1 相交”;但 2 2 “直线 x-y+k=0 与圆 x +y =1 相交”不一定推得“k=1”.故“k=1”是“直线 x-y 2 2 +k=0 与圆 x +y =1 相交”的充分而不必要条件.] 5.A [l⊥α ? l⊥m 且 l⊥n,而 m,n 是平面 α 内两条直线,并不一定相交,所以 l ⊥m 且 l⊥n 不能得到 l⊥α .] 1 6.B [当 a<0 时,由韦达定理知 x1x2= <0,故此一元二次方程有一正根和一负根,符

a

合题意;当 ax +2x+1=0 至少有一个负数根时,a 可以为 0,因为当 a=0 时,该方程仅有 1 2 一根为- , 所以 a 不一定小于 0.由上述推理可知, “a<0”是“方程 ax +2x+1=0 至少有 2 一个负数根”的充分不必要条件.] 7.(1) ? (2)? 8.a>2 解析 不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因当-2<x<-1 时不等式成立,所以不等式的解 为-a<x<-1.由题意有(-2,-1)?(-a,-1),∴-2>-a,即 a>2. 9.b≥-2a 解析 由二次函数的图象可知当- ≤1,即 b≥-2a 时,函数 y=ax +bx+c 在 2a [1,+∞)上单调递增. 10.解 (1)∵|x|=|y| ? x=y, 但 x=y? |x|=|y|, ∴p 是 q 的必要条件,但不是充分条件. (2)△ABC 是直角三角形 ? △ABC 是等腰三角形. △ABC 是等腰三角形 ? △ABC 是直角三角形. ∴p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件. (3)四边形的对角线互相平分 ? 四边形是矩形. 四边形是矩形? 四边形的对角线互相平分. ∴p 是 q 的必要条件,但不是充分条件. 11.解 由题意知,Q={x|1<x<3},Q? P, ? ?a-4≤1 ∴? ,解得-1≤a≤5. ?a+4≥3 ? ∴实数 a 的取值范围是[-1,5]. 12.A [当△ABC 是等边三角形时,a=b=c,
?a b c? b c? b c a ? ? ?b c a? ∴“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件. ?a b c? c ∵a≤b≤c,∴max? , , ?= . ?b c a? a ?a b c? a 又∵l=1,∴min? , , ?= , ?b c a? c a a b a 即 = 或 = , b c c c 得 b=c 或 b=a,可知△ABC 为等腰三角形,而不能推出△ABC 为等边三角形. ∴“l=1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件.] 2 13.解 当{an}是等差数列时,∵Sn=(n+1) +c, 2 ∴当 n≥2 时,Sn-1=n +c,

2

b

2

∴l=max? , , ?·min? , , ?=1×1=1.

?a

3

∴an=Sn-Sn-1=2n+1, ∴an+1-an=2 为常数. 又 a1=S1=4+c, ∴a2-a1=5-(4+c)=1-c, ∵{an}是等差数列,∴a2-a1=2,∴1-c=2. 2 ∴c=-1,反之,当 c=-1 时,Sn=n +2n, 可得 an=2n+1 (n≥1)为等差数列, ∴{an}为等差数列的充要条件是 c=-1.

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