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高中数学高考专题之 平面向量共线定理

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专题 20 平面向量共线定理 【高考地位】 随着向量在科学研究中的工具性应用,与它在社会生产生活中所起的巨大作用,所以近年来数学高考 题中,命入了共线向量内容考题。在今后的高考试题中,共线向量必将增长态势。其在高考题型多以选择 题、填空题出现,其试题难度属低中档题. 【方法点评】 类型一 在几何问题中的应用 使用情景:平面几何证明、求值等问题中的应用 解 题模板:第一步 第二步 第三步 将已知条件进行向量处理; 利用平面向量的运 算法则和线性运算等性质进行求解; 得出结论. 例 1 平面内有一个 ?ABC 和一点 O ,线段 OA、OB、OC 的中点分别为 E、F、G,BC、CA、AB 的中点 分别为 L、M 、N ,设 OA ? a, OB ? b, OC ? c . (1)试用 a, b, c 表示向量 EL, FM、 GN ; (2)证明线段 EL、FM 、GN 交于一点且互相平分. 例 2 如图,等腰三角形 ABC , AB ? AC ? 2, ?BAC ? 120 . E , F 分别为边 AB, AC 上的动点,且满足 ? AE ? m AB, AF ? n AC ,其中 m, n ? (0,1), m ? n ? 1 , M , N 分别是 EF, BC 的中点,则 MN 的最小值为 ______. 【变式演练 1】已知向量 e1 , e2 是两个不共线的向量,若 a ? 2e1 ? e2 与 b ? e1 ? ? e2 共线,则 ? ? ( A. 2 B. ?2 C. ? ) 1 2 D. 1 2 【变式演练 2】已知非零向量 e1 , e2, a, b 满足 a ? 2e1 ? e2 , b ? ke1 ? e2 ,给出以下结论: ①若 e1 与 e2 不共线, a 与 b 共线,则 k ? ? 2 ; ②若 e1 与 e2 不共线, a 与 b 共线,则 k ? 2 ; ③存在实数 k ,使得 a 与 b 不共线, e1 与 e2 共线; ④不存在实数 k ,使得 a 与 b 不共线, e1 与 e2 共线. 其中正确结论的个数是( A. 1 个 ) C.3 个 D.4 个 [来源:Z#xx#k.Com] B.2 个 【变式演练 3】如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形, OD ? 3 ,点 P 为 ?BCD 内(含边界)的动点, 设 OP ? ? OC ? ? OD(? , ? ? R) ,则 ? ? ? 的最大值等于( ) A. 1 4 B.1 C. 1 3 D. 4 3 类型二 在求动点轨迹中的应用 [来源:学科网] 使用情景:题设中有“向量的数量积” “平行”即共线等求点的轨迹 解题模板:第一步 第二步 第三步 将已知条件转化为向量的表示; 利 用平面向量的运算法则和平面向量的性质对其进行求解; 得出结论. 2 例 3 如图,过 A(-1,0),斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C: y ? 4 x 交于 P、Q 两点,若曲线 C 的焦点 F 与 P、Q、 R 三点按图中顺序构成平行四边形,求点 R 的轨迹方程。 【变式演练 4】已知椭圆 x y x2 y2 ? ? 1 ,直线 ? ? 1 ,P 是 l 上一点,射线 OP 交椭圆于 R,又点 Q 在 12 8 24 16 2 OP 上且满足|OQ| ? |OP|= | OR | ,求点 Q 的轨迹 方程,并说明轨迹是什么曲线? 【变式演练 5】 如图所示, 已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点, 点 P 在 AM 上, 点N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的轨迹为曲线 E 。 ?1? 求曲线 E 的方程; ?2? 若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G , H (点 G 在点 F , H 之间) ,且满足 FG ? ? FH , 求 ? 的取值范围。 【高考再现】 1.【2017 北京理,6】设 m,n 为非零向量,则“存在负数 ? ,使得 m ? ? n ”是 “ m ? n < 0 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也 不必要条件 2.【2017全国Ⅲ卷理,12】在矩形 ABCD 中, AB ? 1 , AD ? 2 ,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆 上.若 AP ? ? AB ? ? AD ,则 ? ? ? 的最大值为() A.3 B. 2 2 C. 5 D.2 [来源:Zxxk.Com] 3.【2015 高考新课标 1,理 7】设 D 为 ?ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则( (A) AD ? ? ) 1 4 AB ? AC 3 3 (B) AD ? 1 4 AB ? AC 3 3 (C) AD ? 4 1 AB ? AC 3 3 (D) AD ? 4 1 AB ? AC 3 3 . 4.【2017 山东文,11】已知向量 a=(2,6),b= (?1, ? ) ,若 a||b,则 ? ? 5.【2017 江苏,12】如图,在同一个平 面内,向量 OA , OB , OC 的模分别为 1,1, 2 , OA 与 OC 的夹角为 ? ,且 tan ? =7, OB 与 OC 的夹角为 45° .若 OC ? mOA ? nOB (m, n ? R ) , 则 m ? n ? C B . ? O A 6.【2 015 高考北京,理 13】在 △ ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC , BN ? NC .若 MN ? xAB ? y AC , 则x? ;y? . 7.【2015 高考新课标 2,理 13】设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? ___

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