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微积分 第1章函数极限与连续答案

时间:2019-01-06

微积分 第一章练习题答案 一、选择题: 1、下列函数为偶函数的是( A. y ? x 3 sin 2 x D ) ★A、B、C 均为奇函数 C. y ? sin x cos5 x D. y ? 2 x ? 2 ? x

B. y ? x cos5 x C

2、下列函数不具有对称性的是( A. y ? arctan x

).★对称性就是奇偶性. A、B、D 均奇. 指数函数无对称性 C.

B. y ? x 3 ? sin x ).

y ? ex

D. y ? ln(x ? 1 ? x 2 )

3、下列函数在定义域内无界的是( D A. y ? 1 ? sin

1 x

B. y ? cos(lnx) B ).

C. y ? arctane x

D. y ?

1 sin x

4、下列各对函数不相等的是( A. y ?

x?5 x?5

与y??

? 1 x?5 ?? 1 x ? 5

B. y ?

x2 ? 4 与y ? x?2 x?2

C. y ?

x2 ? 4 与 y ? x ? 2 ( x ? 2) x?2
C ). A. 是幂函数

2 2 D. y ? sin x ? cos x 与 y ? 1

5、 y ? x x (

B. 是指数函数

C. 不是基本初等函数

D. 不是函数

6、对于普通分段函数,以下说法不正确的是( D ). A.定义域为各段并集 B.整体若不能由一个解析式表示就不是初等函数 C.各段内分别为初等函数 D 不是一个函数,而是多个函数 7、函数 f ( x) 在点 x0 处有定义是函数 f ( x) 在点 x0 处极限存在的( 8、函数 f ( x) 在点 x0 处有定义是函数 f ( x) 在点 x0 处连续的( 9、函数 f ( x) 在点 x0 处连续是 f ( x) 在点 x0 处极限存在的( 10、 lim e
x ?? ?x

D.无关 )条件

)条件

B.必要 A.充分

)条件

(

D.不存在

)

★ x ? ? 为两个方向, ? x 仍为两个方向无穷;指数函数不对称 ) ★ x ? 0 ,u ?

11、 lim sin
x?0

1 ( x
2

D.不存在但函数有界

1 1 ? ? , lim sin ? lim sin u x ? 0 x x u ??

x?a 1 ? ,则常数 a ? ( B. ? 3 x ?3 x ? 2 x ? 3 4 ax ? 1 ? 4 ,则常数 a ? ( D. 8 13、已知 lim ) x ?? 2 x ? 1 1 14 、 ( D )不正确 A. lim x sin ? 0 x ?0 x sin x ?1 D. lim x ?? x sin k ( x ? 2) 1 1 ? ,则 k ? ( A. 15、 lim ) x ?2 x?2 2 2
12、已知 lim 16、若 lim(1 ? ax) ? e ,则 a ? (
3 x ?0 2 x

) ★∵分母→ 0 ,且分式极限存在,∴分子必→ 0 ★由已知 n ? m B. lim x sin
x ??

1 x ? 1 C. lim (2 ? sin x) ? 0 x ?? 1 ? x 2 x

★∵ lim
x?2

sin k ( x ? 2) ?k x?2
2 x ?2 a

3 B. ? 2

)

★∵ lim(1 ? ax) ? e
x ?0

17、 f ( x) ? ?

? 1? x ?
1 x

x?0

1

? ?e ? 1 x ? 0

,则 lim f ( x ) ? ( B. 1
x?0

)

e x ? lim e ? 0 ★∵ lim ?
u x ?0 u ? ??

? 1 x?0 ? x sin x ? 0 x ? 0 在 x ? 0 ( C.极限值为 1 ) 18、 f ( x) ? ? ? 1 ?1 ? x sin x?0 x ?
19、 x ? 0 时,( C. e ? 1
x ?

★与 f (0) ? 0 无关

)是无穷小量

★ ln x ? ?? ;

sin x ? 1 ; cos x ? 1 x

20、 x ? ? ,(B. x sin

2 1 1 1 2x 2 ? x )不是无穷小★ 3 : n ? m ;e ? x arctanx 、 sin 无穷小量与有界变量乘积 x x x x ?1

21、( D ) 正确

★A. lim
x ?1

lim x x ? x?1 ? ? 分母极限为 0,不满足极限商的运算法则条件 x ? 1 lim( x ? 1)
x ?1

sin x 1 1 ? 1 ;C. lim sin x ? lim lim sin x ? 0 : lim sin x 不存在,不满足法则条件 x?? x ? ? x ? ? x x x x ?? 1 sin 1 x ?1 D. lim x sin ? lim x ?? x ? ? 1 x x 1 sin x ) ? ( B. 1 ) 22 lim( x sin ? 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 x ?? x x
B. lim sin x ? lim
x ?0 x ?0

1 x

23、函数 y ?

x2 ?1 的间断点为( C. x ? 1 和 x ? 2 ( x ? 1)(x ? 2)

)★使分母为 0 的点

二、填空题: 1、函数 f ( x) ? ?

?cos x ?1 ? x
2

x?0 0? x?2

的定义域为

(??,2]

2、 f ( x ) ? ?

?3x ? 1 x ? 0 , f ( f (0)) ? ? 1 ★ f (0) ? (3x ? 1) x?0 ? 1 , f ( f (0)) ? f (1) ? ( x ? 2) x?1 ? ?1 ?x?2 x ?0

3、已知 f ( x) ? ln 2 ,则 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? 0 ★ f ( x) ? ln ? 为常数函数
2 4、已知 f ( x) ? x ,则 f ( x ? h) ? f ( x) ? 2 xh ? h 2 5、已知 f ( x ? 1) ? x ? 1 ,则 f (3) ? 15
2

2 ★ 先求 f ( x) ? x ? 2 x , f (3) ? 15

6、 lim ln 2 ? (
x ?3

ln 2

);7、 lim

1 1 1 ? ( 0 ) ; lim ? ( ? ) ; lim ?( ? ) x ?? x ? 2 x ?2 x ? 2 x ? 0 sin x

x 2 ? 3x 1 x2 ? 2 x 3 ? 3x 8、 lim( x ? 2 x ? 1) ? ( ? ); lim ? (? ); lim ? ( 0 ); lim ?( ? ) x ?? x ?? 1 ? 2 x 2 x ?? 3 ? 2 x 2 2 x?? x ? 2 x 3
3

9、 lim sin x ? (
x ?0

0 ) ; lim sin x ( 不存在 ); lim sin
x??

x?0

10、 lim arctan x ? (
x ? ??

?
2

) ; lim arctan x ? ( ?
x ? ??
x ?0

?
2

1 1 ( 不存在 ); lim sin ? ( 0 ) x ?? x x ) ; lim arctan x ( 不存在 )
x ??
x ?e

11、 lim ln x ? (
x ? ??

? ? ); lim ln x ? ( ? ? ); lim ln x ? ( 0 ); lim ln x ? ( 1 ) ?
x ?1

sin x sin x 1 1 ? ( 1 ); lim ? ( 0 ); lim sin x ? ( 0 ); lim x sin ? ( 1 ); x ? ? x ? ? x ? 0 x x x x sin kx sin ax a tan kx tan ax a ? ( k ); lim ?( ); lim ? ( k ); lim ?( ); 13、 lim x ?0 x ?0 sin bx x ?0 x ?0 tan bx x b x b
12、 lim
x ?0

14、已知 a , b 为常数, lim
2 ? ?(1 ? x) x 15、已知 f ( x ) ? ? ? a ?

ax2 ? bx ? 1 ? 2 ,则 a ? ( 0 ), b ? ( 4 ).★∵ n ? m x ?? 2x ? 1
x ? 0 在点 x ? 0 处连续,则 a ? ( x?0
e ?2

).

? ? tan 2 x ? ?x?0 ? x 4 (1)k ? ( 任意实数 )时,f ( x)在x ? 0处极限存在 ? x?0 16、 f ( x) ? ? k ? 1 (2)k ? ( 1 )时,f ( x)在x ? 0处连续 ? 1 ?2 ? x sin x?0 x ?
三、计算题: 1. lim( x ? 2 x ? 3) ? 1★代入法
2 x?2

x2 ?1 ? ?2 ★代入法 2. lim 2 x ?1 x ? 2 x

x 2 ? 2x ? 3 0 ( x ? 3)(x ? 1) x ?1 3. lim 2 ? lim ? lim ?4 x ?3 x ? 5 x ? 6 x ?3 ( x ? 3)(x ? 2) x ?3 x ? 2

0

x2 ?1 0 ( x ? 1)(x ? 1) x ?1 4. lim 2 ? lim ? lim ?? 2 x ?1 x ? 2 x ? 1 x ?1 x ? 1 x ?1 ( x ? 1) x 3 ? 2 x 2 ? 3x 0 x( x 2 ? 2 x ? 3) x 2 ? 2x ? 3 5. lim ? lim lim ?3 x ?0 2 x 4 ? x 3 ? x x ?0 x(2 x 3 ? x 2 ? 1) x ?0 2 x 3 ? x 2 ? 1
x 3 ? 2 x 2 ? 3x 1 2 3 ? 2 ? 3 3 2 4 x ? 2 x ? 3x x x ?0 ? lim ? lim x x 6. lim x ?? 2 x 4 ? x 3 ? x x ?? 2 x 4 ? x 3 ? x x ?? 1 1 2? ? 3 x x x4
? ?

0

0

x2 ?1 x2 ?1 7. lim 3 (2 ? sin x) ? 0 ? lim 3 ? 0 ,且 (2 ? sin x) 有界 x ?? x ? 2 x ?? x ? 2
sin 5 x ? tan 2 x 0 sin 5 x tan 2 x ? lim ? lim ? 5?2 ? 7 8. lim x ?0 x ?0 x ?0 x x x
0

sin 6 x sin 6 x 6 9. lim ? lim x ? ? 2 x ?0 sin 3x x ?0 sin 3x 3 x
0 0

10. lim
x ?0

sin(sin x) sin(sin x) sin x ? lim ? ? 1? 1 ? 1 x ? 0 x sin x x
0 0

0 0

x ? sin x sin x 1? x ? sin x x x ?? 11. lim ? lim ? lim x ?0 x ? sin x x ?0 x ? sin x x ?0 sin x 1? x x
12. lim(1 ?
x ?? ? 2 5 2 ? ( ? )? ) ? lim(1 ? ) 2 3 5 ? e 15 x ?? 3x 3x
1 ?2 3x 1 3x 1 1 ( ?2 x ) ? 2x 3x 2

4x

3x

2 4

8

13. lim(1 ? 2 x)
x ?0

?

? lim(1 ? 2 x)
x ?0

?

(1 ? 2 x) 2 ? lim(1 ? 2 x)
x ?0

?

? e3

? x ? 1? 14. lim? ? x ?? x ? 1 ? ?

4x

? ? ? lim? x ?? ? ? ?

x ?1 ? ? x ? x ?1 ? ? x ?

4x

1 (1 ? ) 4 x e4 x ? lim ? ?4 ? e 8 x ?? 1 e (1 ? ) 4 x x

k sin 2 x ? x 2 sin
15.设 lim
x ?0

x k sin 2 x ? x 2 sin

1 x ? 1 ,求 k 1 1 x 2 sin k sin 2 x x ? lim x ? k lim sin 2 x ? lim x sin 1 ? 2k ? 1 ? lim x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 x x x x

? lim
x ?0

x

1 ?k ? 2


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