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函数的概念、图象与性质

时间:2018-06-10

函数的概念、图象与性质
适用学科 适用区域 知识点 教学目标 教学重点 教学难点
高中数学 通用 函数;函数的性质;函数的图象 复习巩固基础知识点,注重知识点的交汇问题 函数专题基本考察点;函数与其他知识点的交汇问题 数形结合思想在函数中的应用

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 60

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教学过程
一、课堂导入
函数是高考数学考查的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几 年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为背景的应用题 和综合题是高考命题的新趋势.(1)以选择或填空题形式呈现,考查对数函数、含无理式的函数的定义域;函数的图象 与性质;函数的奇偶性、周期性与分段函数结合,考查函数的求值与计算;以二次函数的图象与性质为主,结合函数的 性质综合考查分析与解决问题的能力;考查数形结合解决问题的能力等. (2)在大题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题.

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二、复习预习
复习 函数;函数的性质;函数的图象

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三、知识讲解
考点 1
1. 函数 对应法则f (1)映射:集合 A(A 中任意 x) ――→ 集合 B(B 中有唯一 y 与 A 中的 x 对应). (2)函数: 非空数集 A―→非空数集 B 的映射, 其三要素: 定义域 A、 值域 C(C?B)、 对应法则 f. ①求函数定义域的主要依据: (Ⅰ)分式的分母不为零; (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零; (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零; (Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1; π (Ⅴ)正切函数 y=tanx 中,x 的取值范围是 x∈R,且 x≠kπ+2,k∈Z. ②求函数值域的方法:无论用什么方法求值域,都要优先考虑定义域,常用的方法 有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、 导数法. ③函数图象在 x 轴上的正投影对应函数的定义域;函数图象在 y 轴上的正投影对应 函数的值域.

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考点 2
2. 函数的性质 (1)函数的奇偶性 如果对于函数 y=f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)= f(x)),那么函数 f(x)就叫做奇函数(或偶函数). (2)函数的单调性 函数的单调性是函数的又一个重要性质.给定区间 D 上的函数 f(x),若对于任意 x1、x2∈D,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(或 f(x1)>f(x2)),则称 f(x)在区间 D 上为 单调增(或减)函数.反映在图象上,若函数 f(x)是区间 D 上的增(减)函数,则图 象在 D 上的部分从左到右是上升(下降)的.如果函数 f(x)在给定区间(a,b)上恒 有 f ′(x)>0(f ′(x)<0), 则 f(x)在区间(a, b)上是增(减)函数, (a, b)为 f(x)的单调增(减) 区间. 判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等. (3)函数的周期性 设函数 y=f(x),x∈D,如果存在非零常数 T,使得对任意 x∈D,都有 f(x+T) =f(x),则函数 f(x)为周期函数,T 为 y=f(x)的一个周期. (4)最值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M (或 f(x)≥M); ②存在 x0∈I,使 f(x0)=M,那么称 M 是函数 y=f(x)的最大值(或最小值).

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考点 3
3. 函数的图象 (1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题,即对 函数图象的掌握有三方面的要求: ①会画各种简单函数的图象; ②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题. (1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题,即对 函数图象的掌握有三方面的要求: ①会画各种简单函数的图象; ②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题. (2)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换: h>0,右移|h|个单位 y=f(x) ――→ y=f(x-h), h<0,左移|h|个单位 k>0,上移|k|个单位 y=f(x) ――→ y=f(x)+k. k<0,下移|k|个单位

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③对称变换: 关于x轴对称 y=f(x) ――→ y=-f(x), 关于y轴对称 y=f(x) ――→ y=f(-x), 关于直线x=a对称 y=f(x) ――→ y=f(2a-x), 关于原点对称 y=f(x) ――→ y=-f(-x). 4.对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行,对于某些抽 象函数来说,一般通过恰当赋值,结合基本定义来研究.

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四、例题精析
考点一 例1 求函数的定义域 1 函数 f(x)= 的定义域是________.(用区间表示) 1-2x



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【规范解答】 1 本题考查了求函数的定义域,要使函数有意义,必须 1-2x>0,解得 x<2, 1 ∴此函数定义域为(-∞,2). 【总结与反思】 (1)求解函数的定义域一般应遵循以下原则: ①f(x)是整式时,定义域是全体实数;②f(x)是分式时,定义域是使分母不为零的一切实数;③f(x)为偶次根式时,定义 域是使被开方数为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,且当对数函数或指数函数的底数中含变量时,底 数需大于 0 且不等于 1;⑤零指数幂的底数不能为零;⑥若 f(x)是由有限个基本初等函数运算合成的函数,则其定义域 一般是各基本初等函数的定义域的交集; ⑦对于求复合函数定义域的问题,一般步骤是:若已知 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f[g(x)]的定义域应由不等 式 a≤g(x)≤b 解出;⑧对于含字母参数的函数求其定义域,根据具体情况需对字母参数进行分类讨论;⑨由实际问题 确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (2)高考中常将指数函数、对数函数与二次函数或幂函数(例如分式函数、含偶次方根的函数)等结合起来考查,这时一 般应从外到内逐层剥离解决. 例如,y= 1 ,从总体上看是分式,故先由分母不为 0 得到 2-log3x≠0,再由偶次方根下非负得到 2-log3x>0, 2-log3x

即 log3x<2,最后由对数函数单调性及对数函数定义域得到 0<x<9.
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考点二

分段函数求值和求函数的值域

例2

设函数 f(x)=

若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数.

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【规范解答】 由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得 b=4,c=2.
2 , ?x +4x+2 ? x≤0? ∴f(x)=? , ?2 ? x>0?

图象如图所示.

方程 f(x)=x 解的个数即 y=f(x)与 y=x 图象的交点个数.由图知两图象有 A、B、C 三个交点,故方程有 3 个解. 【总结与反思】 函数的图象对研究讨论函数的性质及方程的解的个数能起到很快捷的作用,作图时要把函数的主要特点特征反映出来. 1.分段函数求值或解不等式时,一定要依据条件分清利用哪一段求解,对于具有周期性的函数要用好其周期性. 2.形如 f(g(x))的函数求值应遵循先内后外的原则. 3.新定义题型要准确理解把握新定义的含义,发掘出其隐含条件. 4.恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用. 5.分段函数的单调性和最值问题,一般是在各段上分别讨论.

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考点三 函数性质的应用 例 3 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A.y= x2+1 B.y=ex C.y=-x2+1 D.y=lg |x|

)

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【规范解答】 1 本题考查了偶函数的判断及单调性的判断, y = 是奇函数, A 错; y = ex 是非奇非偶函数, B 错 ; y = lg|x| = x ?lgx,x>0 ? ?lg?-x?,x<0, ,当 x>0 时是增函数,D 错;由二次函数图象性质知 C 正确.

【总结与反思】 1.函数奇偶性判定方法: 紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化, 特别注意“奇函数若在 x=0 处有定义,则一定有 f(0)=0,偶函数一定有 f(|x|)=f(x)”在解题中的应用. 2.函数单调性判定方法 一是紧扣定义;二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图象的直观性进行分析转化. 函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇,要注意这些知识的综合运用.三是利用导数研究. 对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法;而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转 化为基本初等函数单调性的判断问题;对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法; 对于抽象函数一般用定义法. 3.抽象函数的求值与性质讨论,常结合条件式通过赋值转化解决,赋值时要紧扣目标进行. 如判断奇偶性要创设条件产生 f(-x)与 f(x)的关系式;判断单调性,则要在设出 x1<x2 的条件下,构造产生 f(x1)-f(x2) f?x1? (或 ),朝着可判断正负(或可与 1 比较大小)的方向转化.解抽象函数的不等式,则要将原不等式利用条件转化 f?x2? 产生 f(x1)<f(x2)的形式.

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考点四

数形结合思想在函数部分的应用

例4 A.1 C.3

?kx+1,x≤0 若函数 f(x)=? 则当 k>0 时,函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数为( ?lnx, x>0, B.2 D.4

)

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【规范解答】 结合图象分析.当 k>0 时,f[f(x)]=1,则 f(x)=t1∈(-∞,-)或 f(x)=t2∈(0,1).对于 f(x)=t1, 存在两个零点 x1、x2;对于 f(x)=t2,存在两个零点 x3、x4,共存在 4 个零点,故选 D.

【总结与反思】 1.作图、识图、用图技巧 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换. 描绘函数图象时,要从函数性质入手,抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系. (3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究. 2.讨论方程的解的范围或个数,讨论函数的零点(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数式等),可构造函数,利 用函数图象交点的讨论来求解,图象交点的个数就是方程解的个数,正确作出函数的图象是解决此类问题的关键,要注 意图形的准确全面. 3.解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、 下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答. 4.函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高、 最低点的纵坐标.

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考点五

函数与其他知识的交汇问题

1 例 5 定义在 R 上的函数 f(x)满足: f(-x)+f(x)=x2, 当 x<0 时, f′(x)<x, 则不等式 f(x)+2≥f(1-x)+x 的解集为________.

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【规范解答】 1 1 令 g(x)=f(x)-2x2,∴g(-x)=f(-x)-2x2,∴g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-x2=0,∴函数 g(x)是奇函数,又 g′(x)=f′(x) -x<0 在(-∞,0)上恒成立,∴g(x)在(-∞,0)上是减函数,则在(-∞,+∞)上是减函数. 1 1 1 1 1 f(x)+2≥f(1-x)+x?f(x)-2x2≥f(1-x)-2x2+x-2?g(x)≥g(1-x),∴x≤1-x,∴x≤2. 【总结与反思】 函数的知识常与导数、三角函数、数列、不等式、概率等知识结合命题,是重要的知识交汇点,解答此类问题时一定要 先判明是以函数为主还是以其他知识为主,结合条件找准解题切入点.

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课程小结
1.函数的单调性、奇偶性、周期性、图象对称性与恒等式. 2.应注意区别“f(x)在区间 M 上单调递增(减)”与“f(x)的单调递增(减)区间为 M” .

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