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1高中数学数列练习题及解析

时间:2015-09-21


数列练习题
一.选择题(共 16 小题) 1.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1﹣an(n∈N ) ,若 b3=﹣2,b10=12,则 a8=( A.0 B.3 C .8 ) C.2+nlnn ) D.6 ) D.
* *



D.11

2.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=( A.2+lnn B.2+(n﹣1)lnn
2

D.1+n+lnn

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( A.9 B.8 C .7

4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( A.2n
﹣1

B.

C.

5.已知数列{an}满足 a1=1,且 A.a = n B.an=

,且 n∈N ) ,则数列{an}的通项公式为( C.an=n+2 D.an=(n+2)3n ) D.50 ) D. 2n?1 ? 3 ) D.an=



6.已知数列{an}中,a1=2,an+1﹣2an=0,bn=log2an,那么数列{bn}的前 10 项和等于( A.130 B.120 C.55

7.在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? ( A. 2 n ? 3 B. 2n?1 ? 3 = + C. 2 n ? 3

8.在数列{an}中,若 a1=1,a2= , A.an= B.an=

(n∈N ) ,则该数列的通项公式为( C.an=

*

9.已知数列{an}满足 an+1=an﹣an﹣1(n≥2) ,a1=1,a2=3,记 Sn=a1+a2+…+an,则下列结论正确的是( A.a100=﹣1,S100=5 C. a100=﹣3,S100=2 10.已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an+1,则 a3=( A.3 B.7 ) C.15 ,若 a1= ,则 a2014=( ) D.18 B. a100=﹣3,S100=5 D.a100=﹣1,S100=2



11.已知数列{an},满足 an+1= A. 12.已知数列 ?an ? 中, a1 ? A. 3( 1 ) n ? 2( 1 ) n B .2

C.﹣1

D .1

2

3

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) , ,则 an =( ) 6 3 2 B. 3( 1 ) n ?1 ? 2( 1 ) n ?1 C. 2( 1 ) n ? 3( 1 ) n 2 3 2 3

D. 2( 1 ) n ?1 ? 3( 1 ) n ?1

2

3

13. 已知数列 ?an ? 中,a1 ? 1 ; 数列 ?bn ? 中,b1 ? 0 。 当 n ? 2 时,a n ? ( ) 的最小值为( C .6
+

1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) , 求 an , bn . 3 3

14.已知:数列{an}满足 a1=16,an+1﹣an=2n,则 A.8 B.7

) D.5 ) D.42 ) D.1007

15.已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N ,则 a11=( A.36 B.38 C.40

16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,当 n≥2 时,an+2Sn﹣1=n,则 S2015 的值为( A.2015 二.填空题(共 8 小题) 17.已知无穷数列{an}前 n 项和
2 *

B.2013

C.1008

,则数列{an}的各项和为 . . . . .

18.若数列{an}中,a1=3,且 an+1=an (n∈N ) ,则数列的通项 an= 19.数列{an}满足 a1=3, ﹣
2

=5(n∈N+) ,则 an=

20.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣2n+2,则数列的通项 an= 21.已知数列{an}中, 22.已知数列{an}的通项公式 an=
n

,则 a16=

,若它的前 n 项和为 10,则项数 n 为 .
*

23.数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为 24.已知数列{an},{bn}满足 a1= ,an+bn=1,bn+1= 三.解答题(共 6 小题)

(n∈N ) ,则 b2012=



25.设数列 {an}的前 n 项和为 Sn,n∈N .已知 a1=1,a2= ,a3= ,且当 a≥2 时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1. (1)求 a4 的值; (2)证明:{an+1﹣ an}为等比数列; (3)求数列{an}的通项公式.

*

26.数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2. (Ⅰ)设 bn=an+1﹣an,证明{bn}是等差数列; (Ⅱ)求{an}的通项公式.

27.在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ (1)设 bn= ,求数列{bn}的通项公式;



(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

28. (2015?琼海校级模拟)已知正项数列满足 4Sn=(an+1) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

2

29.已知{an}是等差数列,公差为 d,首项 a1=3,前 n 项和为 Sn.令 和 T20=330.数列{bn}满足 bn=2(a﹣2)d (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn+1≤bn,n∈N ,求 a 的取值范围.
* n﹣2

,{cn}的前 20 项

+2

n﹣1

,a∈R.

30.已知数列{an}中,a1=3,前 n 和 Sn= (n+1) (an+1)﹣1. ①求证:数列{an}是等差数列 ②求数列{an}的通项公式 ③设数列{ }的前 n 项和为 Tn, 是否存在实数 M, 使得 Tn≤M 对一切正整数 n 都成立?若存在, 求 M 的最小值,

若不存在,试说明理由.

2015 年 08 月 23 日 1384186492 的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 16 小题) 1. (2014?湖北模拟)数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1﹣an(n∈N ) ,若 b3=﹣2,b10=12,则 a8=( A.0 (累加) 考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 先利用等差数列的通项公式分别表示出 b3 和 b10, 联立方程求得 b1 和 d, 进而利用叠加法求得 b1+b2+…+bn=an+1 ﹣a1,最后利用等差数列的求和公式求得答案. 解答: 解:依题意可知 ∵bn=an+1﹣an, ∴b1+b2+…+bn=an+1﹣a1, ∴a8=b1+b2+…+b7+3= 故选 B. 点评: 本题主要考查了数列的递推式.考查了考生对数列基础知识的熟练掌握. +3=3 求得 b1=﹣6,d=2
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*



B.3

C .8

D.11

2. (2008?江西)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=( A.2+lnn (累加) 考点: 数列的概念及简单表示法.
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) D.1+n+lnn

B.2+(n﹣1)lnn

C.2+nlnn

专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 把递推式整理,先整理对数的真数,通分变成 解答: 解:∵ , … ∴ , ,用迭代法整理出结果,约分后选出正确选项.

= 故选:A. 点评: 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立,因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n﹣1 等,这种办 法通常称迭代或递推.解答本题需了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推 公式写出数列的前几项.

3. (2007?广东)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( A.9 B.8 C .7 D.6

2



考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析:

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先利用公式 an= 解答: 解:an=

求出 an,再由第 k 项满足 5<ak<8,求出 k.

= ∵n=1 时适合 an=2n﹣10,∴an=2n﹣10. ∵5<ak<8,∴5<2k﹣10<8, ∴ <k<9,又∵k∈N+,∴k=8,

故选 B. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,解题时要注意公式 an= 的合理运用.

4. (2015?房山区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( A.2n
﹣1

) D.

B.

C.

考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题.

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分析: 直接利用已知条件求出 a2,通过 Sn=2an+1,推出数列是等比数列,然后求出 Sn. 解答: 解:因为数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,a2=

所以 Sn﹣1=2an,n≥2,可得 an=2an+1﹣2an,即:



所以数列{an}从第 2 项起,是等比数列,所以 Sn=1+

=

,n∈N+.

故选:B. 点评: 本题考查数列的递推关系式的应用,前 n 项和的求法,考查计算能力.

5. (2015?衡水四模)已知数列{an}满足 a1=1,且 ( ) B.an= C.an=n+2

,且 n∈N ) ,则数列{an}的通项公式为

*

A.a = n

D.an=(n+2)3n

考点: 数列递推式.

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分析: 由题意及足 a1=1,且 解答: 解:因为

,且 n∈N ) ,则构造新的等差数列进而求解.

*

,且 n∈N )?

*





,则数列{bn}为首项

,公差为 1 的等差数列,

所以 bn=b1+(n﹣1)×1=3+n﹣1=n+2,所以 故答案为:B



点评: 此题考查了构造新的等差数列,等差数列的通项公式.

6. (2015?江西一模)已知数列{an}中,a1=2,an+1﹣2an=0,bn=log2an,那么数列{bn}的前 10 项和等于( A.130 B.120 C.55 D.50



考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得

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,可得数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式即可得到

an,利用对数的运算法则即可得到 bn,再利用等差数列的前 n 项公式即可得出.

解答:

解:在数列{an}中,a1=2,an+1﹣2an=0,即 ∴数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ ∴ =2 . =n.
n



∴数列{bn}的前 10 项和=1+2+…+10= 故选 C.

=55.

点评: 熟练掌握等比数列的定义、等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的前 n 项公式即可得出.

7.在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? ( A. 2 n ? 3 B. 2n?1 ? 3 C. 2 n ? 3

) D. 2n?1 ? 3

8. (2015?遵义校级二模)在数列{an}中,若 a1=1,a2= , A.an= B.an=

= C.an=

+

(n∈N ) ,则该数列的通项公式为( D.an=

*



考点: 数列递推式.

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专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 = + ,确定数列{ }是等差数列,即可求出数列的通项公式.

解答: 解:∵ ∴数列{

=

+



}是等差数列,

∵a1=1,a2= , ∴ =n,

∴an= , 故选:A. 点评: 本题考查数列递推式,考查数列的通项公式,确定数列{ }是等差数列是关键.

9. (2015?锦州一模) 已知数列{an}满足 an+1=an﹣an﹣1 (n≥2) , a1=1, a2=3, 记 Sn=a1+a2+…+an, 则下列结论正确的是 ( A.a100=﹣1,S100=5 C. a100=﹣3,S100=2 B. a100=﹣3,S100=5 D.a100=﹣1,S100=2



考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列.

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分析: 由 an+1=an﹣an﹣1(n≥2)可推得该数列的周期为 6,易求该数列的前 6 项,由此可求得答案. 解答: 解:由 an+1=an﹣an﹣1(n≥2) ,得 an+6=an+5﹣an+4=an+4﹣an+3﹣an+4=﹣an+3=﹣(an+2﹣an+1)=﹣(an+1﹣an﹣an+1)=an, 所以 6 为数列{an}的周期, 又 a3=a2﹣a1=3﹣1=2,a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1,a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3,a6=a5﹣a4=﹣3﹣(﹣1)=﹣2, 所以 a100=a96+4=a4=﹣1, S100=16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3+a4=16×0+1+3+2﹣1=5, 故选 A. 点评: 本题考查数列递推式、数列求和,考查学生分析解决问题的能力.

10. (2015 春?沧州期末)已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an+1,则 a3=( A.3 B.7 C.15

) D.18

考点: 数列的概念及简单表示法.

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专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列的递推关系即可得到结论. 解答: 解:∵a1=3,an+1=2an+1,

∴a2=2a1+1=2×3+1=7, a3=2a2+1=2×7+1=15, 故选:C. 点评: 本题主要考查数列的计算,利用数列的递推公式是解决本题的关键,比较基础.

11. (2015 春?巴中校级期末)已知数列{an},满足 an+1= A. B.2

,若 a1= ,则 a2014=( C.﹣1



D.1

考点: 数列递推式.

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专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件,分别令 n=1,2,3,4,利用递推思想依次求出数列的前 5 项,由此得到数列{an}是周期为 3 的周 期数列,由此能求出 a2014. 解答: 解:∵数列{an},满足 an+1= ,a1= ,

∴a2=

=2,

a3= a4=

=﹣1, = , ,

∴数列{an}是周期为 3 的周期数列, ∵2014÷3=671…1, ∴a2014=a1= . 故选:A. 点评: 本题考查数列的第 2014 项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递推思想的合理运用.

12.已知数列 ?an ? 中, a1 ? A. 3( 1 ) n ? 2( 1 ) n

2

3

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) , ,则 an =( ) 6 3 2 B. 3( 1 ) n ?1 ? 2( 1 ) n ?1 C. 2( 1 ) n ? 3( 1 ) n 2 3 2 3

D. 2( 1 ) n ?1 ? 3( 1 ) n ?1

2

3

13. 已知数列 ?an ? 中,a1 ? 1 ; 数列 ?bn ? 中,b1 ? 0 。 当 n ? 2 时,a n ? ( )

1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) , 求 an , bn . 3 3

A. a ? 1 [1 ? ( 1 ) n ?1 ] b ? 1 [1 ? ( 1 ) n ?1 ] B. a ? 1 [1 ? ( 1 ) n ?1 ] b ? 1 [1 ? ( 1 ) n ?1 ] n n n n C.

2

3

2

3

2

3

2

3

解:因 an ? bn ?

1 1 (2an?1 ? bn?1 ) ? (a n?1 ? 2bn?1 ) ? an?1 ? bn?1 3 3

所以 an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? an?2 ? bn?2 ? ? ? ? ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ? 1 即 an ? bn ? 1 …………………………………………(1)

1 1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (a n?1 ? 2bn?1 ) ? (a n ?1 ? bn ?1 ) 3 3 3 1 1 2 1 n ?1 所以 an ? bn ? ( a n ?1 ? bn ?1 ) ? ( ) a n ? 2 ? bn ? 2 ) ? …… ? ( ) ( a1 ? b1 ) 3 3 3 1 1 ? ( ) n ?1 .即 an ? bn ? ? ( ) n ?1 ………………………(2) 3 3 1 1 n ?1 1 1 n ?1 由(1) 、 (2)得: a n ? [1 ? ( ) ] , bn ? [1 ? ( ) ] 2 3 2 3
又因为 an ? bn ?

14. (2014?通州区二模)已知:数列{an}满足 a1=16,an+1﹣an=2n,则 A.8 B.7 C .6

的最小值为(

) D.5

考点: 数列递推式.

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专题: 计算题;压轴题. 分析: a ﹣a =2,a ﹣a =4,…,a ﹣a =2n,这 n 个式子相加,就有 a =16+n(n+1) ,故 2 1 3 2 n+1 n n+1 出 的最小值. ,由此能求

解答: 解:a2﹣a1=2, a3﹣a2=4, … an+1﹣an=2n, 这 n 个式子相加,就有 an+1=16+n(n+1) , 即 an=n(n﹣1)+16=n ﹣n+16, ∴ ,
2

用均值不等式,知道它在 n=4 的时候取最小值 7. 故选 B. 点评: 本题考查数更列的性质和应用,解题时要注意递推公式的灵活运用.

15. (2014?中山模拟)已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N ,则 a11=( A.36 B.38 C.40

+

) D.42

考点: 数列递推式.

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专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: 在等式的两边同时除以 n(n+1) ,得 解答: 解:因为 nan+1=(n+1)an+2(n∈N*) , 所以在等式的两边同时除以 n(n+1) ,得 所以 = +2[( ﹣ )+( ﹣ ﹣ =2( ﹣ ) , ﹣ =2( ﹣ ) ,然后利用累加法求数列的通项公式即可.

)+…+(1﹣ )]=

所以 a11=42 故选 D. 点评: 本题主要考查利用累加法求数列的通项公式,以及利用裂项法求数列的和,要使熟练掌握这些变形技巧.

16. (2015?绥化一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,当 n≥2 时,an+2Sn﹣1=n,则 S2015 的值为( A.2015 B.2013 C.1008 D.1007



考点: 数列递推式.

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专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据 an+2Sn﹣1=n 得到递推关系 an+1+an=1,n≥2,从而得到当 n 是奇数时,an=1,n 是偶数时,an=0,即可得到 结论. 解答: 解:∵当 n≥2 时,an+2Sn﹣1=n, ∴an+1+2Sn=n+1,两式相减得: an+1+2Sn﹣(an+2Sn﹣1)=n+1﹣n, 即 an+1+an=1,n≥2, 当 n=2 时,a2+2a1=2,解得 a2=2﹣2a1=0, 满足 an+1+an=1, 则当 n 是奇数时,an=1, 当 n 是偶数时,an=0, 则 S2015=1008, 故选:C 点评: 本题主要考查数列和的计算,根据数列的递推关系求出数列项的特点是解决本题的关键.

二.填空题(共 8 小题) 17. (2008?上海)已知无穷数列{an}前 n 项和 ,则数列{an}的各项和为 ﹣1

考点: 数列递推式;极限及其运算. 专题: 计算题.

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分析: 若想求数列的前 N 项和,则应先求数列的通项公式 an,由已知条件

,结合 an=Sn﹣Sn﹣1 可得递推

公式 解答: 解:由

,因为是求无穷递缩等比数列的所有项的和,故由公式 S=

即得

可得: (n≥2) (n≥2) , ,



两式相减得并化简: 又

所以无穷数列{an}是等比数列,且公比为﹣ , 即无穷数列{an}为递缩等比数列, 所以所有项的和 S=

故答案是﹣1 点评: 本题主要借助数列前 N 项和与项的关系,考查了数列的递推公式和无穷递缩等比数列所有项和公式,并检测 了学生对求极限知识的掌握,属于一个比较综合的问题.

18. (2002?上海)若数列{an}中,a1=3,且 an+1=an (n∈N ) ,则数列的通项 an=

2

*



考点: 数列递推式.

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专题: 计算题;压轴题. 分析: 由递推公式 an+1=an2 多次运用迭代可求出数列 an=an﹣12=an﹣24=…=a12n 解答: 解:因为 a1=3 多次运用迭代,可得 an=an﹣1 =an﹣2 =…=a1
2 4 2n﹣1
﹣1

=3

2n﹣1



故答案为: 点评: 本题主要考查利用迭代法求数列的通项公式,迭代中要注意规律,灵活运用公式,熟练变形是解题的关键

19. (2015?张掖二模)数列{an}满足 a1=3,



=5(n∈N+) ,则 an=



考点: 数列递推式;等差数列的通项公式. 专题: 计算题.

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分析: 根据所给的数列的递推式,看出数列是一个等差数列,根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项,根据 等差数列的通项公式写出数列,进一步得到结果. 解答: 解:∵根据所给的数列的递推式 ∴数列{ ∵a1=3, ∴ = , }是一个公差是 5 的等差数列,

∴数列的通项是 ∴ 故答案为: 点评: 本题看出数列的递推式和数列的通项公式,本题解题的关键是确定数列是一个等差数列,利用等差数列的通项 公式写出通项,本题是一个中档题目.

20. (2015?历下区校级四模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣2n+2,则数列的通项 an=

2



考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析:

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由已知中数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣2n+2, 我们可以根据 an=

2

求出数列的通项公式,

但最后要验证 n=1 时,是否满足 n≥2 时所得的式子,如果不满足,则写成分段函数的形式. 解答: 解:∵Sn=n2﹣2n+2, ∴当 n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1=(n ﹣2n+2)﹣[(n﹣1) ﹣2(n﹣1)+2]=2n﹣3 又∵当 n=1 时 a1=S1=1≠2×1﹣3 故 an=
2 2

故答案为: 点评: 本题考查的知识点是由前 n 项和公式,求数列的通项公式,其中掌握 an= 此类问题的步骤是关键. ,及解答

21. (2015 春?邢台校级月考)已知数列{an}中,

,则 a16=



考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 由 解答: 解:∵ 则

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,可分别求 a2,a3,a4,从而可得数列的周期,可求 , =﹣1 =2 =

∴数列{an}是以 3 为周期的数列 ∴a16=a1= 故答案为: 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项,其中寻求数列的项的规律,找出数列的周期是求解的关键

22. (2014 春?库尔勒市校级期末) 已知数列{an}的通项公式 an=

, 若它的前 n 项和为 10, 则项数 n 为 120 .

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由题意知 an= 可得 n=120. 解答: 解:∵an= ∴Sn=( = ∴ ﹣1 ﹣ = )+(

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, 所以 Sn= (



) + (



) + (

) =

﹣1, 再由

﹣1=10,



)+(



﹣1=10,解得 n=120

答案:120 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.

23. (2012?黑龙江)数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为

n

1830 .

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题;压轴题.

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分析: 令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4, 则 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16 可得数列{bn} 是以 16 为公差的等差数列,而{an}的前 60 项和为即为数列{bn}的前 15 项和,由等差数列的求和公式可求 解答: 解:∵ ∴ 令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,a4n+1+a4n+3=(a4n+3+a4n+2)﹣(a4n+2﹣a4n+1)=2, a4n+2+a4n+4=(a4n+4﹣a4n+3)+(a4n+3+a4n+2)=16n+8, 则 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16 ∴数列{bn}是以 16 为公差的等差数列,{an}的前 60 项和为即为数列{bn}的前 15 项和 ∵b1=a1+a2+a3+a4=10 ∴ =1830 ,

点评: 本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和,等差数列的求和公式的应用,解题的关键是通过构造等差数 列

24. (2012?浙江模拟)已知数列{an},{bn}满足 a1= ,an+bn=1,bn+1= ; 考 数列递推式. 点: 专 综合题. 题: 分 根据数列递推式,判断{ 析: 解 解 答:
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(n∈N ) ,则 b2012=

*



}是以﹣2 为首项,﹣1 为公差的等差数列,即可求得

,故可求结论. :

∵an+bn=1,bn+1=

∴bn+1=

=

∴bn+1﹣1=





=﹣1



=﹣2

∴{

}是以﹣2 为首项,﹣1 为公差的等差数列



∴ ∴b2012= 故答案为: 点

本题考查数列递推式,解题的关键是判定{ 评:

}是以﹣2 为首项,﹣1 为公差的等差数列,属于中档题.

三.解答题(共 6 小题) 25. (2015?广东)设数列 {an}的前 n 项和为 Sn,n∈N .已知 a1=1,a2= ,a3= ,且当 a≥2 时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1. (1)求 a4 的值; (2)证明:{an+1﹣ an}为等比数列; (3)求数列{an}的通项公式.
*

考点: 数列递推式.

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专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)直接在数列递推式中取 n=2,求得 ;

(2)由 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1(n≥2) ,变形得到 4an+2+an=4an+1(n≥2) ,进一步得到

,由此

可得数列{ (3)由{ 得到

}是以 }是以

为首项,公比为 的等比数列; 为首项,公比为 的等比数列,可得 ,说明{ }是以 .进一步

为首项,4 为公差的等差数列,由此可得数列{an}

的通项公式. 解答: (1)解:当 n=2 时,4S4+5S2=8S3+S1,即 解得: ; ,

(2)证明:∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1(n≥2) ,∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn(n≥2) ,

即 4an+2+an=4an+1(n≥2) , ∵ ,∴4an+2+an=4an+1.



=



∴数列{

}是以

为首项,公比为 的等比数列; }是以 . , 为首项,公比为 的等比数列,

(3)解:由(2)知,{ ∴ 即

∴{

}是以

为首项,4 为公差的等差数列,



,即



∴数列{an}的通项公式是



点评: 本题考查了数列递推式,考查了等比关系的确定,考查了等比数列的通项公式,关键是灵活变形能力,是中档 题.

26. (2014?广西)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2. (Ⅰ)设 bn=an+1﹣an,证明{bn}是等差数列; (Ⅱ)求{an}的通项公式.

考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列.

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分析: (Ⅰ)将 an+2=2an+1﹣an+2 变形为:an+2﹣an+1=an+1﹣an+2,再由条件得 bn+1=bn+2,根据条件求出 b1,由等差 数列的定义证明{bn}是等差数列; (Ⅱ)由(Ⅰ)和等差数列的通项公式求出 bn,代入 bn=an+1﹣an 并令 n 从 1 开始取值,依次得(n﹣1)个式 子,然后相加,利用等差数列的前 n 项和公式求出{an}的通项公式 an. 解答: 解: (Ⅰ)由 an+2=2an+1﹣an+2 得, an+2﹣an+1=an+1﹣an+2, 由 bn=an+1﹣an 得,bn+1=bn+2, 即 bn+1﹣bn=2,

又 b1=a2﹣a1=1, 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)得,bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1, 由 bn=an+1﹣an 得,an+1﹣an=2n﹣1, 则 a2﹣a1=1,a3﹣a2=3,a4﹣a3=5,…,an﹣an﹣1=2(n﹣1)﹣1, 所以,an﹣a1=1+3+5+…+2(n﹣1)﹣1 = 又 a1=1, 所以{an}的通项公式 an=(n﹣1) +1=n ﹣2n+2. 点评: 本题考查了等差数列的定义、 通项公式、 前 n 项和公式, 及累加法求数列的通项公式和转化思想,属于中档题.
2 2

=(n﹣1) ,

2

27. (2012?碑林区校级模拟)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ (1)设 bn= ,求数列{bn}的通项公式;



(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)由已知得 = +

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,即 bn+1=bn+

,由此能够推导出所求的通项公式.

(2) 由题设知 an=2n﹣ 由错位相减法能求出 Tn=4﹣ 解答:

, 故 Sn= (2+4+…+2n) ﹣ (1+ +

+

+ …+

) , 设 Tn=1+

+

+

+…+



.从而导出数列{an}的前 n 项和 Sn.

解: (1)由已知得 b1=a1=1,且 即 bn+1=bn+ b3=b2+ bn=bn﹣1+ 于是 bn=b1+ + 又 b1=1, 故所求的通项公式为 bn=2﹣ , (n≥2) . +…+ =2﹣ ,从而 b2=b1+ ,

=

+



(n≥2) .



(2)由(1)知 an=2n﹣

, + ,① +…+ ) ,

故 Sn=(2+4+…+2n)﹣(1+ + 设 Tn=1+ + + +…+

Tn= +

+

+…+

+

,②

①﹣②得, Tn=1+ + + +…+ ﹣

=



=2﹣





∴Tn=4﹣

. ﹣4.

∴Sn=n(n+1)+

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,解题时要注意错位相减法的合理运用.

28. (2015?琼海校级模拟)已知正项数列满足 4Sn=(an+1) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

2

考点: 数列递推式;数列的求和.

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专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 4Sn=(an+1)2.可知当 n≥2 时,4Sn﹣1=(an﹣1+1)2,两式相减,结合等差数列的通项公式可求 (Ⅱ) 由(1)知
2 解答: 解: (Ⅰ)∵4Sn=(an+1) .

=

,利用裂项求和即可求解

∴当 n≥2 时,4Sn﹣1=(an﹣1+1) . 两式相减可得,4(sn﹣sn﹣1)= 即 4an= 整理得 an﹣an﹣1=2 又 a1=1 ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1 …(6 分) …(4 分)

2

(Ⅱ) 由(1)知 所以

= =

…(8 分) …(12 分)

点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及等差数列的通项公式、 数列的裂项求和方法的应用

29. (2015?揭阳校级三模) 已知{an}是等差数列, 公差为 d, 首项 a1=3, 前 n 项和为 Sn. 令 {cn}的前 20 项和 T20=330.数列{bn}满足 bn=2(a﹣2)d (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn+1≤bn,n∈N ,求 a 的取值范围.
* n﹣2



+2

n﹣1

,a∈R.

考点: 数列递推式;等差数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列.

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分析: (Ⅰ)利用 T20=330,求出公差,即可求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)先求出 bn,再根据 bn+1≤bn,n∈N ,结合函数的单调性,即可求 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d, 因为 ,
*

所以 T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330, 则 a2+a4+a6+…+a20=330…(3 分)

则 解得 d=3 所以 an=3+3(n﹣1)=3n…(6 分) (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 bn=2(a﹣2)3 =4(a﹣2)3 由 bn+1≤bn? 因为 所以 n=1 时, 所以 …(12 分) 随着 n 的增大而增大, 最小值为 ,
n﹣2 n﹣2

+2

n﹣1

bn+1﹣bn=2(a﹣2)3

n﹣1

+2 ﹣[2(a﹣2)3

n

n﹣2

+2

n﹣1

]

+2

n﹣1

= …(10 分)

点评: 本题考查数列的通项,考查数列与不等式的联系,考查学生的计算能力,属于中档题.

30. (2015?惠州模拟)已知数列{an}中,a1=3,前 n 和 Sn= (n+1) (an+1)﹣1. ①求证:数列{an}是等差数列 ②求数列{an}的通项公式 ③设数列{ }的前 n 项和为 Tn, 是否存在实数 M, 使得 Tn≤M 对一切正整数 n 都成立?若存在, 求 M 的最小值,

若不存在,试说明理由.

考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等差关系的确定;数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: ①由 Sn= (n+1) (an+1)﹣1,得

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,两式相减后整理可得 nan+1=(n+1)an

﹣1(1) ,则(n+1)an+2=(n+2)an+1﹣1(2) ,两式相减整理后利用等差中项公式可判断; ②由①知,nan+1=(n+1)an﹣1,可求得 a2=2a1﹣1=5,又 a1=3 可求公差,从而可得 an; ③使得 Tn≤M 对一切正整数 n 恒成立,等价于 Tn 的最大值小于等于 M,利用裂项相消法可求得 Tn,进而可求 得其最大值; 解答: 解:①∵Sn= (n+1) (an+1)﹣1, ∴ ∴an+1=Sn+1﹣Sn= , ,

整理得,nan+1=(n+1)an﹣1…(1) ∴(n+1)an+2=(n+2)an+1﹣1…(2) (2)﹣(1) ,得(n+1)an+2﹣nan+1=(n+2)an+1﹣(n+1)an, ∴2(n+1)an+1=(n+1) (an+2+an) , ∴2an+1=an+2+an, ∴数列{an}为等差数列. ②由①知,nan+1=(n+1)an﹣1,得 a2=2a1﹣1=5, 又 a1=3,∴a2﹣a1=2,即公差为 2, an=3+(n﹣1)×2=2n+1; ③∵ ∴ = 又当 n∈N 时,
*

= (

) ,

, ,

要使得 Tn≤M 对一切正整数 n 恒成立,只要 M≥ , ∴存在实数 M 使得 Tn≤M 对一切正整数 n 都成立,M 的最小值为 . 点评: 本题考查等差关系的确定、等差数列的通项公式及数列求和,恒成立问题常转化为函数最值解决,裂项相消法 对数列求和是高考考查的重点内容,要熟练掌握.


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