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3.2.1几类不同增长的函数模型--11.12;11.13_图文

时间:2015-08-22

学习目标

通过一些实例,来感受一次函数、 二次函数、指数函数、对数函数以及幂函 数的广泛应用;结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模 型意义,理解它们的增长差异性.

复习引入,创设情景

我要问

在我们的生活中,有没有用到函数 的例子?
我来答

有.如:细胞分裂,汽车行驶的路程 与时间的关系,……

生活中,数学无处不在,用好数学,将会给我 们带来很大的方便。今天我们就来看一个 利用数学为我们服务的例子。

互动交流,探求新知 例1、假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多 回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前 一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案呢?

想一想: 1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之
外,还得考虑什么?
我来说

回报的累积值

2.本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数 想一想: 描述这些数量关系?

我来说

设第x天所得回报是y元,则方案一可用函数 y=40(x∈N*)进行描述;方案二可以用函数 y=10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数

y ? 0.4 ? 2 ( x ? N*)进行描述。
3.怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的 想一想:

x ?1

方案呢?

我来说

要对三个方案作出选择,就要对它们的增长 情况进行分析,用计算器计算出三种方案所 得回报的增长情况,列表如下:

x/天 1 2

方案一 40 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 10 20

方案二
y/元

方案三
增加量/元

y/元 增加量/元 y/元 增加量/元

3 4 5 6
7

40 40 40 40
40

30 40 50 60
70

10 10 10 10 10 10 10 10 … 10

0.4 0.8

1.6 3.2 6.4 12.8
25.6

0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 …
107374182.4

8 9 … 30

40 40 … 40

80 90 … 300

51.2 102.4 …
214748364.8

我想问 我来说 我想问

根据所列的表格中提供的数据,你对三种方 案分别表现出的回报资金的增长差异有什 么认识? 方案一每天的回报不变;方案二、三每天的 回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回 报越来越大,比方案二要大得多。 作出三个方案的图象看看?

图112-1

我想问

从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天 的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能 把前11天回报的累积值算出来吗?

累计回报表
天数 方案 一 二 三 1
40 10 0.4

2
80 30 1.2

3
120 60 2.8

4
160 100 6

5
200 150 12.4

6
240 210

7
280 280

8
320 360 102

9
360 450 204.4

10
400 550

11
440 660

25.2 50.8

409.2 816.8

我想问

根据以上分析,你认为该作出何种选择?

投资8天以下(不含8天), 应选择第一种投资方案;投资 8~10天,应选择第二种投资方案; 投资11天(含11天)以上,应选 择第三种投资方案。

解决实际问题的步骤: 实际问题
读 懂 问 题 抽 象 概 括

实际问题的解
还 原 说 明

数学问题 演 算 推 理 数学问题的解

例2、某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在 销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖 励,且奖金y(单位:万元)随着销售利润x (单位:万元)的增加而增加,但奖金数不超 过5万元,同时奖金不超过利润的25%。现有 三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1, y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求 呢?
我想问

本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么? 本例涉及了一次函数、对数函数、指数函 数三类函数模型,实质是比较三个函数的增 长情况。

我来说

我再问 我来说

怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公 司的要求呢? 要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5 万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析, 才能做出正确选择。

解:借助计算机作出三个函数的图象如下:

对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当 x∈(20,1000)时,y>5,因此该模型不符合要求。 x 对于模型 y ? 1.002 ,由函数图象,并利用计算器,可 x0 x 知在区间(805,806)内有一个点 0 满足 1.002 ? 5 , 由于它在[10,1000]上递增,因此当 x ? x0 时,y>5,因 此该模型也不符合要求。 对于模型 y ? log7 x ? 1 ,它在区间[10,1000]上递 增,而且当x=1000时, y ? log7 1000 ? 1 ? 4.55 ? 5 , 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。 再计算按模型 y ? log7 x ? 1 奖励时,奖金是否不 超过利润的25%,即当x∈[10,1000]时,是否有

y log 7 x ? 1 ? ? 0.25 成立。 x x

令 f ( x) ? log7 x ? 1 ? 0.25x ,x∈[10,1000], 利用计算机作出函数f(x)的图象
由图可知它是减函数, 因此 f(x)<f(10)≈-0.3167<0 即 log7 x ? 0.25x.

所以,当x∈[10,1000]时,

log 7 x ? 1 ? 0.25 x x

说明按模型3奖励,奖金不超过利润的25%。 综上所述,模型 y ? log7 x ? 1确实符合公司的要 求。

练一练

练习:P98 T1
限时4分钟

实际 问题

读懂问题 基础

将问题 抽象化 过程

数学 模型 关键

解决 问题 目的

作业:P107习题3.2 T1、2

第二课时

讨论函数:
y ? kx?k ? 0?,
y ? a ?0 ? a ? 1?,
x

y ? loga x?0 ? a ? 1?,

y ? x ?n ? 0?
n

在区间 ?0,??? 上的增长情况.

以三个函数为例探究三类函数的增长差异:

y ? 2 x, y ? 2 , y ? x , y ? log2 x
x 2

1.由表格数据观察三者的增长速度。

2.由图象观察三者的增长速度。

函数y=2x,y=2x,y=x2,y=log2x的函数值表:
x y=2x y=2x y=x2 y=log2x

0.2
0.4

0.6 1.2

1 2 2 1

1.4 2.8 2.639 1.96

2 4 4 4

2.6 5.2 6.063 6.76

3 6 8 9

4 8 16 16

1.149 1.516 0.04 0.36

-2.32 -0.737

0

0.485

1

1.379

1.585

2

思考:在同一坐标系中这三个函数图象的相对 位置关系如何?请画出其大致图象.
y y=2x y=x2 y=log2x 1

o

1 2

4

x

思考4:根据图象,不等式log2x<2x<x2和 log2x<x2<2x成立的x的取值范围分别如何?
y
y=2x y=x2 y=log2x 1 o 1 2 4 x

思考5:上述不等式表明,这三个函数模型增 长的快慢情况如何?

探究(二):一般幂、指、对函数模型的差异

思考1:对任意给定的a>1和n>0,在区间 (0,+∞)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?
思考2:当a>1,n>0时,在区间(0,+∞)上, ax 与xn的大小关系应如何阐述? x n 总存在一个 x 0,当x> x 0 时,就会有 a ? x 思考3:一般地,指数函数y=ax (a>1)和幂函 数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上,其增长的快 慢情况是如何变化的?

思考4:对任意给定的a>1和n>0,在区间 (0,+∞)上,logax是否恒大于xn? logax是否 恒小于xn? 思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢 程度如何变化? xn增长速度的快慢程度如何 变化?
总存在一个 x 0,当x> x 0 时,就会有
log a x ? x n

思考6:当x充分大时,logax(a>1)xn与(n>0)谁 的增长速度相对较快?

y
y=xn y=logax o 1 x

思考7:一般地,对数函数y=logax(a>1)和幂 函数y=xn(n>0) 在区间(0,+∞)上,其增长的 快慢情况如何是如何变化的?

思考8:对于指数函数y=ax(a>1),对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),总存在一 个x0,使x>x0时,ax,logax,xn三者的大小关系 如何?
总存在一个 x 0 ,当x> x 0时, 就会有
n

log a x ? x ? a

x

思考9:指数函数y=ax (0<a<1),对数函数 y=logax(0<a<1)和幂函数y=xn(n<0),在区间 (0,+∞)上衰减的快慢情况如何?

y y=xn

y=ax o 1 x

y=logax

结论1:

一般地,对于指数函数y=ax (a>1)和 幂函数y=xn (n>0),通过探索可以发现:
在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,

尽管在x的一定范围内,ax会小xn,但由
于ax的增长快于xn的增长,因此总存在

一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.

结论2:
一般地,对于指数函数y=logax (a>1)和 幂函数y=xn (n>0),通过探索可以发现:

在区间(0,+∞)上,随着x的增大, logax增大得越来越慢,图象就像是渐渐

地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内, logax可能会小xn,但由于logax的增长慢于 xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时, 就会有logax<xn.

综上所述:
(1) 在区间(0,+∞)上,y=ax (a>1),y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都
是增函数。 (2) 随着x的增大, y=ax (a>1)的增长速度越来越快,会远远 大于y=xn (n>0)的增长速度。 (3) 随着x的增大,y=logax (a>1)的增长速度越来越慢,会远

远小于y=xn (n>0)的增长速度。
总存在一个x0,当x>x0时,就有: logax<kx<xn<ax

1.当x越来越大时,增长速度最快的是 ( D)

A. y ? 100x C. y ? x
100

B. y ? 100ln x D. y ? 100? 2
x

2.一次实验中,x,y函数关系与下列哪
类函数最接近( A )
x 1 2 3 4 5 6

y

0.25

0.49

0.76

1

1.26
x

1.51

A. y ? kx ? b C. y ? ax ? b
2

B. y ? a ? b b D. y ? a ? x

3.一次实验中,x,y函数关系与下列哪
类函数最接近( C )
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12

u

1.5

4.04

7.5

12
t

18.01

A.u ? log2 t t ?1 C.u ? 2
2

B.u ? 2 ? 2 D.u ? 2t ? 2

4. 函数 y ? 2x与 y ? x 2 交点个数(

)

A.0

B.1
x

C.2

D.3

5. f ?x? ? 3 , g ?x? ? 2 x, x ? R 时有( A )

A. f ?x ? ? g ?x ? C. f ?x ? ? g ?x ?

B.g ?x ? ? f ?x ? D.g ?x ? ? f ?x ?

几种常见函数的增长情况: 常数函数 没有增长 实际问题 读 懂 问 题 抽 象 概 括 一次函数 直线上升 指数函数 对数函数 指数爆炸 “慢速”增长 实际问题的解 还 原 说 明 数学问题的解 推理

解决实际问题的步骤:

演算

数学问题

1.通过对给出的图形和数据的分析,抽象出相应 的确定的函数模型。 2.根据收集到的数据,作出散点图,并通过观察 图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器 的数据得出具体的函数解析式。再用得到的函 数模型解决相应的问题。

注 意

用已知的函数模型刻画实际问题的时候,由 于实际问题的条件与得出已知模型的条件有 所不同,因此,往往需要对模型进行修正。


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