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湖北省黄冈中学、黄石二中、鄂州高中2014届高三11月联考数学理试题

时间:2014-04-29


黄冈中学

黄石二中

鄂州高中 2014 届高三三校联考

数学试卷(理科)
命题学校:鄂州高中 命题人:肖安平 审题人:陈美姣 本试卷共 21 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1、复数 2 ? i 与复数 A、

? ? D、 3 2 2、设等差数列 ?an ? 的前项和为 S n ,若 a 4 ? 9 , a6 ? 11,则 S 9 等于
B、 C、 A、180 B、90 C、72 D、100

? 6

1 在复平面上的对应点分别是 A 、 B ,则 ?AOB 等于 3?i

? 4

3、设 A ? ?x | 2 ? x ? 6?, B ? ?x | 2a ? x ? a ? 3?,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围是 A、 ?1,3? B、 [3,??) C、 [1,??) D、 ?1,3?

4、要得到一个奇函数,只需将 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图象 A、向右平移 C、向左平移 5、有下述命题 ①若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 ( a, b) 内必有零点; ②当 a ? 1 时,总存在 x0 ? R ,当 x ? x0 时,总有 a x ? x n ? loga x ; ③函数 y ? 1( x ? R) 是幂函数; ④若 A A、0

? 个单位 6 ? 个单位 3

B、向右平移 D、向左平移

? 个单位 3 ? 个单位 6

B ,则 Card ( A) ? Card ( B)
B、1 C、2

其中真命题的个数是 D、3

6、已知, x ? 1, y ? 1 ,且 A、最小值 e

1 1 ln x, , ln y 成等比数列,则 xy 有 4 4 B、最小值 e C、最大值 e D、最大值 e

7、已知 a 、 b 为非零向量,则“ a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 为一次函数”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

4 3 2 8、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? e , (a, b, c, d , e ? R, 且 a ? 0 )的四个零点构成公差为 2 的等差数

列,则 f ' ( x) 的所有零点中最大值与最小值之差是 A、4 B、 5 C、 2 D、 2 5

9、 已知函数 f ( x ) ? 1 ? sin

?
2

x, 若有四个不同的正数 x i 满足 f ( xi ) ? M( M 为常数) , 且 xi ? 8 , (i ? 1,2,3,4) ,

则 x1 ? x2 ? x 3 ? x4 的值为 A、10 B、14 C、12 D、12 或 20

10、已知 G 是 ?ABC 的重心,点 P 是 ?GBC 内一点,若 AP ? ? AB ? ? AC ,则 ? ? ? 的取值范围是 A、 ( ,1)

1 2

B、 (1, )

3 2

C、 ( ,1)

2 3

D、 (1,2)

二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上。 ) 11、若 cos? cos ? ? ?1 ,则 sin(? ? ? ) = 12、已知等差数列 {an } 的前 n 项和是 S n ? ?

1 2 a8 n ? n ,则使 an ? ?2010的最小正整数 n 等于 2 2

13、已知等比数列 {an } 的各项都为正数,且当 n ? 3 时, a4 a2n?4 ? 102n ,则数列 lg a1 , 2 lg a2 , 2 2 lg a3 ,

2 3 lg a 4 ,?, 2 n?1 lg an ,?的前 n 项和 S n 等于
?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 14、若实数 x 、 y ,满足 ? y ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 x ? 1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
15、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值为 10,则 f (2) ? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚) 16、 (12 分)已知 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c ,向量 m ? (sin B,1 ? cos B) 与向量

n ? (2,0) 的夹角 ? 的余弦值为
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ?

1 2

3 ,求 a ? c 的范围

17、 (12 分)已知 f ( x) ? ln(ax ? b) ? x ,其中 a ? 0 , b ? 0 , (1)若 f ( x) 为 [0,??) 上的减函数,求 a , b 应满足的关系; (2)解不等式 ln( 1?

1 1 x ? ) ? x ? ? ln 2 ? 1 。 x x

x 18、 (12 分)已知命题 p :函数 y ? (a ? 1) 在 R 上单调递增;命题 q :不等式 x ? x ? 3a ? 1的解集为 R ,若

p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围

19、 (12 分)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖 出股票。股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很有特点:如果按如图所示的方 式 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 x o y , 则 股 价 y ( 元 ) 和 时 间 x 的 关 系 在 ABC 段 可 近 似 地 用 解 析 式

y ? a s i n? ( x ? ? ) ? b(0 ? ? ? ? ) 来描述,从 C 点走到今天的 D 点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显
的筑底结束的标志,且 D 点和 C 点正好关于直线 l : x ? 34 对称。老张预计这只股票未来的走势如图中虚 线所示,这里 DE 段与 ABC 段关于直线 l 对称, EF 段是股价延续 DE 段的趋势(规律)走到这波上升行 情的最高点 F 。现在老张决定取点 A (0,22) ,点 B(12,19) ,点 D(44,16) 来确定解析式中的常数 a , b ,

? , ? ,并且求得 ? ?

?
72



(1)请你帮老张算出 a , b , ? ,并回答股价什 么时候见顶(即求 F 点的横坐标) ( 2 )老张如能在今天以 D 点处的价格买入该股票 到见顶处 F 点的价格全部卖出, 不计其它费用, 这次 赚多少元? 3000 股, 操作他能

20、 (13 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? a , an?1 ? S n ? (?1) n , n ? N * ,且 {a n ?

2 ( ?1) n } 是等比数列。 3 1 1 1 1 3 (1)求 a 的值; (2)求出通项公式 an ; (3)求证: ? ??? ? ? a3 a 4 a 2 n ?1 a 2 n 2

21、 (14 分)已知函数 f ( x) ? ln( (1)若 x ?

1 1 ? ax ) ? x 2 ? ax 。 ( a 为常数, a ? 0 ) 2 2

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 2

(2)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [ ,?? ) 上是增函数; (3)若对任意的 a ? (1,2) ,总存在 x 0 ? [ ,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a 2 ) 成立,求实数 m 的取值范围。

1 2

参考答案及评分标准
一、选择题: 1~5 BBCCA 二、填空题 11、0 12、2014 13、 (n ? 1)2 ? 1
n

6~10 ABDDC

14、 [ ,11]

3 2

15、18

三、解答题 16、解: (1)? m ? (sin B,1 ? cos B) , n ? (2,0) 又 | m |?

?m ? n ? 2s i n B
B 2

sin 2 B ? (1 ? cos B) 2 ? 2 ? 2 cos B ? 2 sin
?0 ? B ? ? 2 2

?0 ? B ? ?

? sin

B ?0 2

B ?| m |? 2 s i n 2

3分

而n ?2

? cos? ?

m?n m?n

?

2 sin B B 1 ? cos ? B 2 2 4 sin 2
6分

?

B ? ? 2 3

?B ?

2 ? 3

(2)由余弦定理,得

2 a?c 2 3 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? ( ) ? (a ? c) 2 3 2 4
且仅当 a ? c 时,取等号



? (a ? c) 2 ? 4
又a?c ?b ? 3

a?c? 2

10 分 12 分

? a ? c ? ( 3,2]

(其他解法请参照给分)

17、解: (1) f ' ( x) ?

a a ? b ? ax ?1 ? ax ? b ax ? b

2分

x?0

a ? 0 ,b ? 0

? f ( x) 为 [0,??) 上的减函数
即a ? b 4分

? f ' ( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,? a ? b ? 0

(2)在(1)中取 a ? b ? 1 ,即 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ,由(1)知 f ( x) 在 [0,??) 上是减函数

1 1 1 即 f ( x ? ) ? f (1) ? ln(1 ? x ? ) ? x ? ? ln 2 ? 1 x x x 1 1? 5 1? 5 ? x ? 0, 或x ? ? x ? ? 1 ,解得 2 2 x 1? 5 1? 5 ,0) ? [ ,??) 故所求不等式的解集为 [ 2 2
18、若 p 真,则 a ? 1 ? 1 ? a ? 2

8分

12 分 2分

q 真 ? x? | x ? 3a |? 1恒成立,设 h( x) ? x ? x ? 3a ,则 h( x) min ? 1

?2 x ? 3a, x ? 3a ,易知 h( x) min ? 3a ? h( x) ? ? x ? 3a ?3a,
3a ? 1 ,即 a ?

1 3
? p, q 一真一假

6分

? p ? q 为真, p ? q 为假

7分

(1)若 p 真 q 假,则 a ? 2 且 a ?

1 ,矛盾 3

9分

(2)若 p 假 q 真,则 a ? 2 且 a ?

1 1 ? ? a ? 2, 3 3

11 分

综上可知, a 的取值范围是 ( , 2 ]

1 3

12 分

19、解: (1)? C 、 D 关于直线 l 对称

? C 点坐标为 (2 ? 34 ? 44,16) 即 (24,16)

? ?22 ? a sin ? ? b ① ? ? ? 把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得 ?19 ? a sin( ? ? ) ? b ② 6 ? ③ ? ? 16 ? a sin( ? ? ) ? b ? 3 ? ? ②─①得, a[sin( ? ? ) ? sin ? ] ? ?3 6 ? ③─①得, a[sin( ? ? ) ? sin ? ] ? ?6 3 ? ? 3 3 ? 2s i n ( ? ?) ? 2s i n ? ? s i n ( ? ?) ? s i n ? ?c o ? s ? 3s i n ?? c o? s? sin ? 6 3 2 2 3 3 3 ? (1 ? )c o ? s ? ( ? 3) s i n ? ? 3 ( ? 1) s i n ? 2 2 2 ? 5? 3 ?? ? ? - ? ?t a ? n ?? , ?0 ? ? ? ? 代入②,得 b ? 19 6 6 3 5? ? a ? 6, b ? 19, ? ? 再由①得, a ? 6 7分 6 ? 5? x ? ) ? 19 ,由对称性得 于是, ABC 段的解析式为 y ? 6 sin( 72 6 ? 5? DEF 段的解析式为 y ? 6 sin[ (68 ? x) ? ] ? 19 , 72 6

72 ? 当 x ? 92 时,股价见顶

?

?

(68 ? x F ) ?

5? ? ? 解得 x F ? 92 6 2
10 分

(2)由(1)可知, y F ? 6 ? 19 ? 25 ,故这次操作老张能赚

3000? (25 ? 16) ? 27000(元)
20、解: (1)当 n ? 2 时, an ? S n?1 ? (?1) n

12 分

? an?1 ? an ? S n ? S n?1 ? 2(?1) n

? an?1 ? 2an ? 2(?1) n
又 a1 ? a

? a n ?1 ?

? a2 ? S1 ? 1 ? a ? 1

2 2 (?1) n ?1 ? 2[a n ? (?1) n ] 3 3 2 2 2 又? a 2 ? ? (?1) ? 2(a1 ? ) 3 3

2 2 ?a ?1 ? 2(a ? ) 5分 3 3 2 2 2 1 n (2)由(1)知 {a n ? ( ?1) } 是以 a1 ? ? a ? ? 为首项,2 为公比的等比数列 3 3 3 3 2 1 ? a n ? (?1) n ? ? 2 n ?1 3 3 n ?1 n ?1 2 ? 2(?1) ? an ? 7分 3 1 1 3 3 (3)当 n ? 2 时, ? ? 2 n?2 ? 2 n?1 a2 n?1 a 2 n 2 ?2 2 ?2 ?a ?1?

?

3(22 n?2 ? 22 n?1 ) 3(22 n?2 ? 22 n?1 ) 9 1 ? ? 2 n?1 ? 18( ) n 4 n ?3 2n 2 n ?1 4 n ?3 2 ?2 ?2 ?4 2 2 4

10 分

将 n 由 2 到 n 赋值并累加得

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 18[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] 4 a3 a 4 a5 a 6 a2 n?1 a2 n 4 4 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 3 1 3 4 ? 18 ? 16 ? (1 ? n ?1 ) ? 1 2 2 4 1? 4 a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2 a 2 21、解: f ' ( x) ? ? 2x ? a ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2

13 分

1 a2 ? 2 ? 0 ,? a 2 ? a ? 2 ? 0 (1)由已知,得 f ' ( ) ? 0 且 2 2a
?a ? 0 ?a ? 2
3分

(2)当 0 ? a ? 2 时,?

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) 1 a2 ? 2 ? ? ? ?0 ? ? 2a 2 2a 2a 2 2a
? f ' ( x) ? 0

?当 x ?

1 2ax a2 ? 2 ?0 ?0 又 时, x ? 2 1 ? ax 2a

故 f ( x) 在 [ ,?? ) 上是增函数 (3) a ? (1,2) 时,由(2)知, f ( x) 在 [ ,1) 上的最大值为 f (1) ? ln( ? 于是问题等价于:对任意的 a ? (1,2) ,不等式 ln( 记 g (a) ? ln( 则 g ' (a) ?

1 2

6分

1 2

1 2

1 a) ? 1 ? a 2

1 1 ? a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立。 2 2

1 1 ? a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1), (1 ? a ? 2) 2 2

1 a ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] 1? a 1? a ?a ?0 1? a

当 m ? 0 时, g ' (a ) ?
2

? g (a) 在区间 (1,2) 上递减,此时 g (a) ? g (1) ? 0

由于 a ? 1 ? 0 ,? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0

? g ' (a) ?


2ma 1 [a ? ( ? 1)] 1? a 2m

1 1 ? 1 ? 1 ,可知 g (a) 在区间 (1, min{2, ? 1}) 上递减,在此区间上,有 2m 2m 1 ? 1 ? 1 ,这时 g ' (a) ? 0 , 2m

g (a) ? g (1) ? 0 ,与 g (a) ? 0 恒成立相矛盾,故

g (a) 在 (1,2) 上递增,恒有 g (a) ? g (1) ? 0 ,满足题设要求,

?m ? 0 ? ?? 1 ?1 ? 1 ? ? 2m

即m ?

1 4
14 分

1 ? 实数 m 的取值范围为 [ ,?? ) 4


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