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2017-2018学年高一数学北师大版必修4教师用书:第2章 §7 向量应用举例 含解析 精品

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§7 7.1 7.2 向量应用举例 点到直线的距离公式 向量的应用举例 1.了解直线法向量的概念,掌握点到直线的距离.(重点) 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问 题.(难点) 3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. [基础· 初探] 教材整理 向量应用举例 阅读教材 P101~P103,完成下列问题. 1.点到直线的距离公式 若 M(x0,y0)是平面上一定点,它到直线 l:Ax+By+C=0 的距离为:d= |Ax0+By0+C| . A2+B2 2.直线的法向量 (1)定义:称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量. (2)公式:设直线 l:Ax+By+C=0,取其方向向量 v=(B,-A),则直线 l 的法向量 n=(A,B). 3.向量的应用 向量的应用主要有两方面:一是在几何中的应用;二是在物理中的应用. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) → → (1)△ABC 是直角三角形,则AB· BC=0.( → ∥CD → ,则直线 AB 与 CD 平行.( (2)若AB ) ) ) → ,CD → 的夹角与直线 AB,CD 的夹角相等或互补.( (3)向量AB (4)直线 y=kx+b 的一个法向量是(k,-1).( ) →· → ≠0,∴(1)×;两 【解析】 △ABC 是直角三角形,若∠A=90° ,则AB BC 向量平行,对应的两直线可以是重合,∴(2)×;(3)(4)均正确. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ [小组合作型] 向量在平面几何中的应 用 已知 D 是△ABC 中 AC 边上一点,且 AD∶DC=2∶1,∠C=45° , ∠ADB=60° ,求证:AB 是△BCD 外接圆的切线. 【自主解答】 设△BCD 外接圆的圆心为 O,半径为 R,如图所示,连接 → =b, OB,OC,OD,取OB → =c,OD → =d, OC 则|b|=|c|=|d|, ︵ ︵ 又由题意,知BDC和BD分别为 120° 和 90° 的弧. 1 ∴b· d=0,b· c=|b||c|cos 120° =-2R2. → =OC → +CA → =c+3CD → =c+3(d-c)=3d-2c, 又∵OA → =OB → -OA → =b-3d+2C. AB →· → =(b-3d+2c)· ∴AB OB b=R2+2c· b=R2-R2=0, → → 即AB⊥OB,∴AB 是⊙O 的切线. 1.解决此类问题,通常利用平面向量基本定理,将一些相关向量用选定的 基底来表示,再利用运算法则,运算律以及一些重要性质进行运算,最后把结果 还原为几何关系. 2.本题是将切线问题转化为两向量的垂直关系. [再练一题] 1.已知 Rt△ABC,∠C=90° ,设 AC=m,BC=n,若 D 为斜边 AB 的中点, 1 (1)求证:CD=2AB; (2)若 E 为 CD 的中点,连接 AE 并延长交 BC 于 F,求 AF 的长度(用 m,n 表示). 【导学号:69992028】 【解】 以 C 为坐标原点,以边 CB,CA 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立 → =(n,-m). 平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0),AB (1)证明:∵D 为 AB 的中点, ?n m? ∴D?2, 2 ?, ? ? → |=1 n2+m2,|AB → |= m2+n2, ∴|CD 2 → |=1|AB → |,即 CD=1AB. ∴|CD 2 2 (2)∵E 为 CD 的中点, ?n m? ∴E?4, 4 ?,设 F(x,0),则 ? ? n 3 ? → → =? ?4,-4m?,AF AE =(x,-m). ? ? → → ∵A,E,F 共线,∴AF=λAE, 3 ? ?n 解得(x,-m)=λ?4,-4m?, ? ? n x = ? ? 4λ, ∴? 3 ? ?-m=-4mλ, n ? n ? → ?n ? 即 x=3,即 F?3,0?,AF =?3,-m?, ? ? ? ? → 1 ∴|AF|=3 n2+9m2, 1 即 AF=3 n2+9m2. 向量在物理中的应 用 某人在静水中游泳,速度为 4 3km/h. (1)如果他径直游向河对岸,水的流速为 4 km/h,他实际沿什么方向前进? 速度大小为多少? (2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的 余弦值即可)?他实际前进的速度大小为多少? 【精彩点拨】 解本题首先要根据题意作图,再把物理问题转化为向量的有 关运算求解. 【自主解答】 → ,水流的速度为OA → ,以 (1)如图① ,设人游泳的速度为OB → +OB → =OC → ,根据 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则此人的实际速度为OA → |=8,且在 Rt△ACO 中,∠COA=60° 勾股定理,|OC ,故此人实际沿与水速夹 角 60° 的方向前进,速度大小为 8 km/h. → ,水流速度为OA →. (2)如图②,设此人的实际速度为OB → → → ∵实际速度=游速+水速,故游速为OB-OA=AB, → |=4 3,|OA → |=4,|OB → |=4 2. 在 Rt△AOB 中,|AB 3 ∴cos∠BAO= 3 , 3 故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为 3 ,且逆着水流方向,实际前进 速度的大小为 4 2km/h. 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型,把物理问题转化为数学问题, 其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系. 2.速度、加速度、位移、力的合成和分解,实质上就是向量的加减法运算, 求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则. 3. 在数学中, 向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的, 这也是向量在物理中的主要应用之一. [再练一题] 2. 如图 271 所示, 一架飞机从 A

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