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【全国百强校】浙江省余姚中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题

时间:2015-12-03


??? 浙江省余姚中学高二数学期中试卷 第一学期
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求。 1.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的( A.2 倍 B.2 2倍 C. 2倍 ) 3 D. 2倍

2015 学年

2.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( 1 A. 8 1 B. 7 1 C. 6 1 D. 5 )

3.已知 m , n 是不同的直线, a , b 是不同的平面,有下列命题: ① 若 m ? ? , n ∥ ? ,则 m ∥ ③ 若 ? ? ? ? n, m ∥ 其中正确的个数是( A. 0 个

n

② 若 m∥? ,

m ∥ ? ,则 ? ∥ ?

n ,则 m ∥ ? 且 m ∥ ?
) B. 1 个

④ 若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? D. 3 个
D1 B1
D A B

C. 2 个

4.如图,四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD

C1

A1 为平行四边形,已知 AB ? a , AD ? b , AA 1 ?c, ? ?? ???? ? 则用向量 a,b,c 可表示向量 BD1 为( )

??? ?

?

????

?

???? ?

C

? ? ? A. a+b+c ? ? ? C. a ? b+c
A. 6 π

? ? ? B. ?a+b+c ? ? ? D. ?a+b ? c

(第 4 题) )

5.圆锥的母线长为 2,侧面展开图是一个半圆,则此圆锥的表面积为( B. 5 π C. 3 π D. 2 π

6.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论正确的是( ) A. ? 内所有的直线都与 a 异面; B.直线 a 与平面 ? 有公共点; C. ? 内所有的直线都与 a 相交; D. ? 内不存在与 a 平行 的直线. 7.如图,正方体 AC1 的棱长为 1 ,过点 A 作平面 A 1BD 的垂线, 垂足为点 H ,则以下命题中,错误 的命题是( .. A.点 H 是 △A1BD 的垂心 )

A

D

B

C
H

B. AH 垂直平面 CB1D1
?

C. AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45
1

A1 B1 C1

D1

8.已知一个高度不限的直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , AB ? 4 , BC ? 5 , CA ? 6 ,点 P 是 侧棱 AA1 上一点,过 A 作平面截三棱柱得截面 ADE, 给出下列结论:① ?ADE 是直角三 角形;② ?ADE 是等边三角形;③四面体 APDE 为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四 面体。其中有不可能成立的结论的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9~12 题每题 6 分,第 13~15 题每题 4 分,共 36 分. ) 9.一圆柱的底面直径和高都是 3, 则它的体积为 积为_____ 侧面

10.已知一个三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积为. 外接球半径为______

11. 已知向量 a ? mi ? 5 j ? k , b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则实数 m ? ______,r ? __ _____。

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

12.各边长为1的正四面体,内切球表面积为_ _ _ ,外接球体积为_ _ _ _
13.一只蚂蚁从棱长为 1cm 的正方体的表面上某一点 P 处出发,走遍正方体的每个面的中心 的最短距离 d=f(P),那么 d 的最大值是

14.三棱锥P-ABC中,? A PB

? B PC

? CPA = 900, M在VA BC 内,

且行 MPA = ?M PB = 600, 则 MPC = _ _ _ _
15.如图,在正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别为棱 SC、BC 的中点, 并且 AM ? MN,若侧棱长 SA= 3 ,则正三棱锥 S—ABC 的外接球的体 积为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。

O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: 16.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1,
(Ⅰ)C1O∥面 AB1D1 ; (Ⅱ) AC ? 面 AB1D1 . (14 分) 1

D1 A1 D O A
2

C1 B1

C B

17.如图, 已知四棱锥 P ? ABCD , 底面四边形 ABCD 为菱形,AB ? 2 , M, N BD ? 2 3 , 分别是线段 PA, PC 的中点. (Ⅰ)求证: MN // 平面 ABCD ; (Ⅱ)求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小.

P

N
D

M

C
B

A

(第 17 题)

18.如图,三棱锥 P-ABC 中,PB⊥底面 ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=4,E 为 PC 的中点,M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF=2FP. (Ⅰ)求证:BE⊥平面 PAC; (Ⅱ )求证:CM∥平面 BEF.

3

CE ? 平面 ABCD . 19.如图, 已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, AF ? 平面 ABCD ,
(Ⅰ)证明: BD ? EF ; (Ⅱ)若 AF ? 1 ,且二面角 B ? EF ? C 的大小为 30o ,求 CE 的长. F E

A B C

D

(第 19 题)

20.棱柱A BCD —A1B 1C 1D1的所有棱长都为2,?ABC=600, 平面A A1C 1C ^ 平面A BC D, ? A1A C 600 1)证明 : BD ^ A A1; 2)求锐二面角D - A A1 -C的平面角的余弦值. 3)在直线CC1上是否存在点P , 使得BP / / 平面 DA1C 1,若存在求出P的位置.

4

期中数学答案

BDBBC BDB 27 9. p, 9p 4 2 3 32p 10. , 3 3 1 11.15, 5 p 6p 12. , 6 8 13.5+ 2 p 14. 4 9p 15. 2 16.1) 连接A1C 1交B 1D1于点M ,连接A M , Q A O / / C 1M , A O = C 1M \ 四边形A OC 1M 是Y , \ AM/ / C 1O Q AM 趟面AB 1D1,C 1O 面AB 1D1, \ C 1O / / 面AB 1D1 2) Q CC 1 ^ 面A1C 1, \ B 1D1 ^ CC 1, Q B 1D1 ^ A1C 1, \ B 1D1 ^ 面A1CC 1, \ B 1D1 ^ A1C , 同理A B ^ A1C , \ A1C ^ 面A B 1D1

17.(Ⅰ)解:连接 AC 交 BD 于点 O ,∵ M , N 分别是线段 PA, PC 的中点, ∴ MN // AC . …… 1 分

P

∵ MN ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ∴ MN // 平面 ABCD . ………………………………………3 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, ?ACB 就是异面直线 MN 与 BC 所成的角或其补角. …… 4 分
5

N
D M

C O
B

A

(第 18 题)

∵四边形 ABCD 为菱形, AB ? 2 , BD ? 2 3 , ∴在 Rt △ BOC 中, BC ? 2 , BO ? 3 ,∴ ?OCB ? 60? , ∴异面直线 MN 与 BC 所成的角为 60 ? . 18.证明:(1)∵PB⊥底面 ABC,且 AC?底面 ABC,∴AC⊥PB, 由∠BCA=90°,可得 AC⊥CB, 又∵PB∩CB=B,∴AC⊥平面 PBC, ∵BE?平面 PBC,∴AC⊥BE, ∵PB=BC,E 为 PC 中点,∴BE⊥PC, ∵PC∩AC=C,∴BE⊥平面 PAC. (2)取 AF 的中点 G,连接 CG,GM, ∵E 为 PC 中点,FA=2FP,∴EF∥CG. ∵CG?平面 BEF,EF?平面 BEF,∴CG∥平面 BEF. 同理可证:GM∥平面 BEF. 又 CG∩GM=G,∴平面 CMG∥平面 BEF. ∵CM?平面 CMG,∴CM∥平面 BEF.

E M

19. 解: (Ⅰ) Q AF ? 平面 ABCD , CE ? 平面 ABCD .
? AF / / CE ,? 四边形 ACEF 在同一平面内.
Q AF ? 平面 ABCD ,? AF ? BD ,

F

又 Q ABCD 为正方形,? AC ? BD ,
Q AF I AC ? A ,?BD ? 面 ACEF ,

A
O

D
C

?BD ? EF …………… 3 分
(Ⅱ)解法一:以点 A 为坐标原点,分别以 AB, AD, AF 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 (如图) .设 CE ? a .则 B(1,0,0) ,
F (0,0,1) , E (1,1, a ) .

B

(第 20 题)

∴ BF ? (?1,0,1), BE ? (0,1, a) . ………4 分 设平面 BEF 的一个法向量为 m ? ( x, y,1) ,得到

??? ?

??? ?

??

?? ??? ? ? ? m ? BF ? ( x, y ,1) ? (?1,0,1) ? 0, ?? ?m ? (1, ?a,1) . ? ? ?? ??? ? ? m ? BE ? ( x, y ,1) ? (0,1, a ) ? 0,
由(Ⅰ)知平面 CEF 的一个法向量是 DB ? (1,?1,0) ,

??? ? ?? ∴ cos ? DB, m ? ?

a ?1 2? a ?2
2

? cos30? ?
6

3 . 2

? a ? 2 ,即 CE ? 2 .

解法二:设点 O 为 AC 与 BD 的交点,过点 O 作
OM ? EF 交 EF 于点 M ,连接 BM .

E M F

? EF ? 面OBM ,?EF ? BM ,
? ?BMO 就是二面角 B ? EF ? C 的平面角.

??BMO ? 30o .………… 5 分
? BO ? 2 6 , OM ? .…………… 6 分 2 2

A

O

C

在直角梯形 ACEF ,设 EC ? a ,? EF ? (a ? 1)2 ? 2 ,
? S ACEF ? 1 2 2 6 (1 ? a ) ? 2 ? ? a? (a ? 1) 2 ? 2 2 4 4 4

解得 a ? 2 ,即 CE ? 2 .

20.

7

8

9


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