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高中数学 2.5 等比数列的前n项和教案2 新人教A版必修5

时间:

2.5

等比数列的前 n 项和

教学过程 推进新课 [合作探究] 2 n 师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q +…+q =? 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究 师 若将上式左边的每一项乘以公比 q,就出现了什么样的结果呢? 2 n n+1 生 q+q +…+q +q 生 每一项就成了它后面相邻的一项 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗? 师 生共同探索: 2 n 如果记 Sn=1+q+q +…+q 2 n n+1 那么 qSn=q+q +…+q +q n 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=1-q 师 提问学生如何处理,适时提醒学生注意 q 的取值

1? qn 生 如果 q≠1,则有 S ? 1? q
师 当然,我们还要考虑一下如果 q=1 问题是什么样的结果 生 如果 q=1,那么 Sn=n 师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形, 那么, 对于等比数列的一般情形我们怎样思考? 课件展示: a1+a2+a3+…+an=? [教师精讲] 师 在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就 是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法 师 在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法 如果记 Sn=a1+a2+a3+…+an 那么 qSn=a1q+a2q+a3q+…+an 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-an 师 再次提醒学生注意 q 的取值 如果 q≠1,则有 S n ?

a1 ? an q 1? q

师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程: 2 n-1 如果记 Sn=a1+a1q+a1q +…+a1q 2 n-1 n 那么 qSn=a1q+a1q +…+a1q +a1q n 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1q 如果 q≠1,则有 S n ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

师 上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”.

形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn 四个;后者出 现的是 a1,q,Sn,n 四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余 地. 值得重视的是:上述结论都是在“如果 q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比 数列的公比 q≠1 时,我们才能用上述公式 师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果 q=1 问题是什么样的结果呢? 生 独立思考、合作交流 生 如果 q=1,Sn=na1 师 完全正确 如果 q=1,那么 Sn=nan 正确吗?怎么解释? 生 正确.q=1 时,等比数列的各项相等,它的前 n 项的和等于它的任一项的 n 倍 师 对了,这就是认清了问题的本质 师 等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下: [合作探究] 思路一:根据等比数列的定义,我们有:

a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q a1 a2 a3 an?1

再由合比定理,则得

a2 ? a3 ? a4 ? ... ? an ?q, a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1



S n ? a1 ?q S n ? an

从而就有(1-q)Sn=a1-an (以下从略 思路二:由 Sn=a1+a2+a3+…+an 得 Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an 从而得(1-q)Sn=a1-an (以下从略 师 探究中我们们应该发现,Sn-S n- =an 是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重视. 在这个关系式中,n 的取值应该满足什么条件? 生 n> 师 对的,请同学们今后多多关注这个关系式:Sn-S n-1=an,n> 师 综合上面的探究过程,我们得出:

?na1 , q ? 1, ?na1 , q ? 1, ? ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) 或者 ? a1 ? an q q ? 1 ? 1? q , q ? 1 ? 1? q , ? ?
[例题剖析] 【例题 1】 求下列等比数列的前 8 项的和:

1 1 1 , , ,…; 2 4 8 1 (2)a1=27,a9= ,q< 243
(1)

[合作探究] 师生共同分析:

1 1 , q ? ,求 n=8 时的和,直接用公式即可 2 2 1 由 (2) 所给条件,需要从 a 9 ? 中获取求和的条件,才能进一步求 n = 8 时的和 . 而 243
由(1)所给条件,可得 a1 ?

a9=a1q8,所以由条件可得 q8=
公式就可以了 生 写出解答:

a9 1 1 = ,再由 q<0,可得 q ? ? ,将所得的值代入 3 a1 243 ? 27

1 1 [1 ? ( ) 8 1 1 2 ? 255 (1)因为 a1 ? , q ? ,所以当 n=8 时, S 8 ? 2 1 2 2 256 1? 2
(2)由 a1=27, a 9 ?

a 1 1 8 ,可得 q ? 9 ? , 243 a1 243? 27

1 3 1 1 (1 ? ) 243? 27 ? 1640 于是当 n=8 时, S 8 ? 27 1 81 1 ? (? ) 3
又由 q<0,可得 q ? ? 【例题 2】 某商场今年销售计算机 5 000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增 加 10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30 000 台(结果保留到个位)? 师 根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出等比数 列,并明确这是一个已知 Sn=30 000 求 n 的问题 生 理解题意,从中发现等比关系,并找出等比数列中的基本量,列式,计算 解:根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组 成一个等比数列{an},其中 a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn 于是得到

5000 (1 ? 1.1n ) ? 30000 1 ? 1.1
n

整理得 1.1 两边取对数,得 n 用计算器算得 n ?

0.2 lg1.6 ≈ ≈5(年 lg1.1 0.041

答:大约 5 年可以使总销售量达到 30 000 台 练习: 教材第 66 页,练习第 1、2、3 题 课堂小结 本节学习了如下内容:

1.等比数列前 n 项和公式的推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法 2.等比数列前 n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的 4 个量,一般 需要 知道其中的 3 个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用 中应该根据题意所给的条件,适当选择运用哪一个公式 在使用等比数列求和公式时, 注意 q 的取值是至关重要的一个环节, 需要放在第一位来思考. 布置作业 课本第 69 页习题 2.5 A 组第 1、2、3 题 板书设计 等比数列前 n 项和公式的推导与应用 等比数列的前 n 项和公式 情境问题的推导 一般情形的推导 练习:(学生板演) 例1 例2 练习:(学生板演)

第二课时 教学过程 推进新课 [例题剖析] 师 出示投影胶片 2:课本第 70 页 B 组题第 4 题: 例 1 思考以下问题: (1)依教育储蓄的方式,每月存 50 元,连续存 3 年,到期(3 年)或 6 年时一次可支取本息共 多少元? (2)依教育储蓄的方式,每月存 a 元,连续存 3 年,到期(3 年)或 6 年时一次可支取本息共 多少元? (3)依教育储蓄的方式,每月存 50 元,连续存 3 年,到期(3 年)时一次可支取本息比同档次 的“零存整取”多收益多少元? (4)欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 1 万元,每月应存入多少元? (5)欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 a 万元,每月应存入多少元? (6)依教育储蓄方式,原打算每月存 100 元,连续存 6 年,可是到了 4 年时,学生需要提前 支取全部本息 ,一次可支取本息共多少元? (7)依教育储蓄方式,原打算每月存 a 元,连续存 6 年,可是到了 b 年时,学生需要提前支 取全部本息,一次可支取本息共多少元? (8)不用教育储蓄方式,而用其他的储蓄方式,以每月可存 100 元,6 年后使用为例,探讨 以现行的利率标准可能的最大收益,将得到的结果与教育储蓄比较. [合作探究] 师 要解决上面的这些问题,我们必须要了解一点银行的业务知识,据调查,银行整存整取 定期储蓄存款利率计算公式是这样的: 若每月固定存 a 元,连续存 n 个月,则计算利息的公式为

a(1 ? n)n ×月利率 2

师 你能解释这 个公式的含义吗? 生 独立思考、合作交流、自主探究 师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为 q, 则这个公式实际上是数列:aq,2aq,3aq,…,naq,…的前 n 项和 这个数列的项不正是依次月数的利息数?

这个数列具有什么特征呢? 生 发现等差关系 师 用我们的数学语言来说,这是个首项为 aq,公差为 aq 的等差数列,而不是一个等比数 列.从这个公式中我们知道, 银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利 滚利)计算的 我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息——利不滚利)计算 这是我们在计算时必须弄明白的, 否则, 我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致. 师 我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率,以及三年期零存整取的 存款利率和利息税率: 三年期整存整取存款年利率为 2.52%,月利率为 0.21%; 五年整存整取存款年利率为 2.79%,月利率为 0.232 5%; 三年期零存整取存款年利率为 1.89%,月利率为 0.157 5%; 利息税率为 师 下面我们来看第一个 问题的结果 生 计算,报告结果 师 生共同解答: (1)解:因为三年期整存整取存款年利率为 2.52%,月利率为 0.21%,故依教育储蓄的方式, 每月存 50 元,连续存 3 年,到期一次可支取本息共

(50 ? 50 ? 36) ? 36 ×0.21%+1 800=1 869.93(元 2
因为五年整存整取存款年利率为 2.79%,月利率为 0.232 5%,故依教育储蓄的方式,若每月 存入每月存 50 元,连续存 6 年,到期一次可支取本息共

(50 ? 50 ? 72) ? 72 ×0.232 5%+3 600=3 905.50(元 2
(2)每月存入每月存 a 元,连续存 3 年,到期一次可支取本息共

( a ? a ? 36 ) ? 36 ×0.21%+36a(元 2
若每月存入每月存 a 元,连续存 6 年,到期一次可支取本息共

( a ? a ? 72 ) ? 72 ×0.232 5%+72a(元 2
(3)因为三年期零存整取存款年利率为 1.89%,月利率为 0.157 5%,故每月存 50 元,连续 存 3 年,到期一次可支取本息共

(50 ? 50 ? 36) ? 36 ×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元 2
比教育储蓄的方式少收益 27.97(元 (4)设每月应存入 x 元,由教育储蓄的计算公式得

( x ? x ? 36 ) ? 36 ×0.21%+36x= 2
解得 x≈267.39(元),即每月应存入 267.39(元 (5)设每月应存入 x 元,由教育储蓄的计算公式得

( x ? x ? 36 ) ? 36 ×0.21%+36x=10 000a 2 10000 a 解得 x= =267.39a,即每月应存入 267.39a(元 37 .3986

(6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》 ,需要提前支取的,在提供证明的情况下,按实际 存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息, 并免征储蓄存款利息所得税. 故该 学生支取时,应按照三年期整存整取存款年利率为 2.52%,月利率为 0.21%进行计算. 由计算公式得

(100 ? 100 ? 48) ? 48 ×0.21%+4 800=5 046.96(元 2
(7)与第 6 小题类似,应根据实际存期进行同档次计算 一到两年的按一年期整存整取计息 . 一年期整存整取存款年利率为 1.98% ,月利率为 ,故当 b=1 或 2 时,由计算公式得

(a ? a ?12b) ?12b ×0.165%+12ab(元 2
当 b=3 或 4 或 5 时, 应按照三年期整存整取存款年利率为 2.52%, 月利率为 0.21%进行计算. 根据计算公式得

(a ? a ?12b) ?12b ×0.21%+12ab(元 2
(8)此题可以选择多种储蓄方式,学生可能提供多个结果,只要他们计算方式符合规定的储 蓄方式即可.教师可以组织学生讨论,然后选择一个最佳答案 [概括总结] 师 在我们上述探究问题的过程中,我们学到了许多课本上没有的东西,增长了一些银行存 款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划,并与家长商量, 看能不能付诸于现实; 我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋, 把你学到的知识讲解给他 们听一听,看他们能不能接受你的意见和建议 从生产实际和社会生活中,我们还能寻找到更多的探究题材,只要我们做个有心人,我们学 到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来 说明:此例文字量大,阅读理解能力要求较高,但是弄通问题的基本含义后,因为其蕴含的 数学知识和方法并不深奥,计算量也不大,所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜 想,这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由 师 下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它 出示投影胶片 3: 2 例 2 你能估计函数 y=9-x 在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积吗? 出示多媒体图片 1:

师 如图,为了估计函数 y=9-x 在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积 x,把 x 轴上的区间[0,3]分成 n 等份.从各分点作 y 轴平行线与图象相交,再从各交点向左作 x 轴平行线,构成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和

2

IN 请输入将[0,3]分成的份 数 n:”;N WHILE k<=NAN -(k*3/n)^2)*3/N SUM=SUM=AN PRINT k,AN WEND END 阅读程序,回答下列问题: (1)程序中的 AN,SUM 分别表示什么,为什么? (2)请根据程序分别计算当 n=6,11,16 时,各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程 序). 师 你能回答第一个问题吗? 生 AN 表示第k个矩形的面积,SUM 表示前k个矩形面积的和 生 当把 x 轴上的区间[0,3]分成 n 等份时,各等份的长都是 理由是:各分点的横坐标分别是

3 n

3 3? 2 3 ? (n ? 1) , ,…, n n n
从各分点作 y 轴平行线与 y=9-x 图象相交,交点的纵坐标分别是
2

3 3? 2 2 3 ? (n ? 1) 2 9 ? ( )2 , 9 ? ( ) ,…, 9 ? [ ] n n n
它们分别是各个相应矩形的高,所以各个矩形面积分别是

3 3 3? 2 2 3 3 ? (n ? 1) 2 ? 3 ? [9 ? ( ) 2 ] ? , [9 ? ( ) ] ? ,…, ?9 ? [( )] ? ? n n n n n ? ? n
师 对学生的思考给予高度的赞扬 师 当我们把 x 轴上的区间[0,3]分成 n 等份时,按照上面的作图方法,我们得到了函数 2 y=9-x 在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域内的 n-1 个矩形 师 想一想,这个由各个矩形面积组成的数列的前 n-1 项和如何求 生 自主探究 列式:

3 3 3? 2 2 3 3 ? (n ? 1) 2 ? 3 ? S n?1 ? [9 ? ( ) 2 ] ? ? [9 ? ( ) ] ? ? ... ? ?9 ? [ ] ?? n n n n n ? ? n
=

3? 3 2 3? 2 2 3 ? (n ? 1) 2 ? ) ] ? ... ? [9 ? ( ) ]? ?[9 ? ( ) ] ? [9 ? ( n? n n n ? 3? 3 2 2 2 2 ? ?9(n ? 1) ? ( ) [1 ? 2 ? ... ? (n ? 1) ]? n? n ?

=

师 引导学生整 理所列出的式子,得到上述最后一道式子 2 2 2 师 求和时遇到了 1 +2 +…+n 的计算问题,这也是一个求数列前 n 项和的问题 2 2 2 2 关于这个问题,我们只要求大家知道,这是求数列:1 ,2 ,3 ,…,n ,…的前 n 项和的问题.

由于这个数列不是等差数列,也不是等比数列,因此不能用已经推导出来的等差数列前 n 项和公式与等比数列前 n 项和公式.而这个和的计算,要求同学们记得它的计算公式 即要求记住:1 +2 +…+n =
2 2 2

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

关于这个公式的推导过程,我们可以作为知识拓展的材料,放在课外进行探究性学习 师 运用这个公式,请把上面的 n-1 个矩形面积的和计算出来 生 继续运算

3 3 2 2 2 2 {9(n-1)-( ) [1 +2 +…+(n-1) ]} n n 3 3 2 (n ? 1)n(2n ? 1) = [9(n-1)-( ) ] n n 6
Sn-1= =

9(4n 2 ? 3n ? 1) 2n 2

师 明确一下计算结果,再继续带领学生一起理解第 2 小题的含义并得出结果 师 根据程序,当 n = 6 时, 5 个矩形的面积的和就是输入 N = 6, SUM 的最后一个输出 值 那么当 n = 11 时, 10 个矩形的面积的和就是 N = 11 时, SUM 的最后一个输出值,即 ; 当 n=16 时,我们就得到 15 个矩形面积的和 当 n=17 时,SUM 的最后一个输出值是多 少? 生 n=17 时,SUM 的最后一个输出值 师 你是怎么计算 n=17 时,SUM 的最后一个输出值的呢? 生 是用上面推导出来的计算公式: S n?1 ? 当 n=500 时,SUM 的最后一个输出值 当 n=1 000 时,SUM 的最后一个输出值

9(4n 2 ? 3n ? 1) 2n 2

9(4n 2 ? 3n ? 1) 生 用公式 S n?1 ? , 不难算出 n=500 时, SUM=17.973; n=1 000 时, SUM=17.986. 2n 2
师 在计算 n=500 与 n=1 000 时的最后一个输出值 SUM 时,为什么用上面推导出来的公式而 不用程序中的步骤呢? 师 这是因为公式 S n?1 ?

9(4n 2 ? 3n ? 1) 用起来很方便,只要给出上一个 n 的值,就可以代 2n 2

入公式,一下子得出结果.另一方面,程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时, 对于每个给定的 n,都要从 k=1 依次循环到 k=N-1,这是同学们在没有上机条件时很难做到 而又没有必要做到的事 2 师 至此,你能估计出函数 y=9-x 在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积了? 生 由 n=500 与 n=1 000 时的最后一个输出值 SUM,可以估计,这个面积大约是 师 一个非常准确的结果! [教师精讲] 师 通过本例的探索,我们来归纳一下收获:

1.本例中,程序使用了 Sn 的递推公式,即 ?

?S1 ? a1 , ?S n ? S n ?1 ? a n ( n>1)

这个递推公式的推导,同学们可以自己去思考一下; 2.需要同学们必须想到的是,这个公式还有一个非常重要的作用,那就是:它给我们提供了 求数列的首项和第 n 项的办法,即

?a1 ? S1 , ? ?an ? S n ? S n?1 (n>1)
3.关于估计函数 y=9-x 在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积,这里采用的是无 2 限逼近的思想,即[0,3]区间分得越细,前 k 个矩形面积的和 SUM 就越接近函数 y=9-x 在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉我们,用微积 分的知识可得 x=18,而我们的估计值也是 18,可见我们的估计非常准确 课堂小结 本节学习了如下内容: 1.教育储蓄中的有关计算 2.用计算机程序计算数列的和 布置作业 课本第 69 页习题 2.5 第 4、5 题 板书设计 问题情境导引 求数列前 n 项和知识的运用 例1 例2
2


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