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2017-2018学年人教A版必修一 1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及综合应用 课件(28张)

时间:2017-09-15


第2课时 补集及综合应用

思考1

如果你所在班级共有60名同学,要求你从中选

出56名同学参加体操比赛,你如何完成这件事呢?

你不可能直接去找张三、李四、王五、??一一确
定出谁去参加吧?如果按这种方法做这件事情,可就麻 烦多了.若确定出4位不参加比赛的同学,剩下的56名 同学都参加,问题可就简单多了.不要小看这个问题的 解决方法,它可是这节内容补集的现实基础.

思考2

想一想如下的Venn图所示阴影部分的集合,如

何用描述法表示呢?

( {x | x ? S且x ? A})像这样的集合也正是我

们这节课所要研究的——全集与补集.

1. 理解全集和补集的概念.(重点)
2. 能使用Venn图表示集合的关系和运算.

3. 能综合应用交、并、补三种运算进行集合间关
系的研究.(难点)

探究点1

全集

思考1:方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解 是什么?在实数范围内的解是什么? {2}

{2, 3, ? 3}

思考2:不等式0<x-1≤3在实数范围内的解集是
什么?在整数范围内的解集是什么?

{x | 1 ? x ? 4}

{2,3,4}

思考3:在不同范围内研究同一个问题,可能有 不同的结果.我们通常把研究问题前给定的范围 所对应的集合称为全集,如Q,R,Z等.那么全集 的含义如何呢?
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集

(universe set),通常记作U.

特别提醒:全集是相对于所研究问题而言的一个
相对概念,它含有与所研究问题有关的各个集合

的全部元素.因此全集因问题而异.
思考交流 想一想:全集一定包含任何元素吗?

【提示】全集仅包含我们研究问题所涉及的集合
的全部元素,而非任何元素.

探究点2

补集

观察下列三个集合:

如何在全集S中研究相关 集合间的关系呢?

S={高一年级的同学}
A={高一年级参加军训的同学}

B={高一年级没有参加军训的同学}
这三个集合之间有何关系?

显然,由所有属于集合S但不属于集合A的元素
组成的集合就是集合B.

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所 有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集 (complementary set),简称为集合A的补集,记 作 , ? A U

即? U A ? {x | x ? U, 且 x ? A}
可用Venn图表示为

U

A

? UA

思考交流

表示全集和补集的三种数学语言互译.
设集合U是一个集合,A是U的一个子集(A ? U), 由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中 子集A的补集.

文字语言

CU A ? { x | x ? U , 且 x ? A}.
U CA
U

符号语言 A 图形语言

补集符号?∪A有三层含义:
(1)A是U的一个子集,即A ? U; (2)?∪A表示一个集合,且?∪A ? U; (3)?∪A是U中所有不属于A的元素构成的集合.

判断:(1)补集既是集合间的一种关系,同时也是集 合间的一种运算. ( √) (2)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”, 集合A其实是给定的条件. (√)

例1

(1) 设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},

B={3,4,5,6},求 痧 U A, U B. (2)设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},
B={x|x是钝角三角形},求 A I B, ?U ( A U B) . 解:(1)根据题意可知, U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8? , 所以 ? 1, 2,7,8?. UB ?? U A ? ?4,5,6,7,8? , ? (2)根据三角形的分类可知 {x∣x是直角三角形}. ? U ( A U B) ?

A I B ? ?, A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},

【变式练习】 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1, 3,5,7},N={5,6,7}, 求 ? U( M∪N).

【解析】因为M={1,3,5,7},N={5,6,7},
所以M∪N={1,3,5,6,7}, 因为U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以 ? U(M∪N)={2,4,8}.

例2

已知全集U=R,集合 A ? {x | x ? 3} ,

. B ? { x | 2 ? x ? 4} , 求 (? U A) I B 解:?U A ? ? x x ? 3? ,
(?U A) I B ? ? x 3 ? x ? 4?.

【变式练习】

设全集U=R,在数轴上表示出集合A={x|-2<x<1}
的补集?UA. 解:画出数轴,通过数轴上集合的表示可得A的补集

?UA= {x|x≤-2或x≥1}

思考交流
补集与全集是两个密不可分的概念,同一个集合 在不同的全集中补集是不同的,不同的集合在同一个 全集中的补集也不同. 另外全集是一个相对概念.如果全集换成其他集 合时,在记号?UA中的U要相应变换. 从而我们会注意到补集应该有许多运算性质,下 面我们逐一探求.

探究点3

补集的运算性质(1)

若全集为U,A?U,则:

(1)? UU ? ?
(2)? U? ? U

(3)痧 U ( U A) ? A
(4) A U (? U A) ? U

(5) A I (? U A) ? ?

补集的运算性质(2)
(1)痧 U ( A I B) ? ( U A) U (? U B)
(2)痧 U ( A U B) ? ( U A) I (? U B)

U

例3 已知全集U={所有不大于30的质数},A,B 都是U的子集,若 A I (? ?, U B) ? ?5,13,23
A U(? ?, (痧 U B) ? ?2,3,5,7,13,17,23 U A) I ( U B) ? ?3,7? ,

你能求出集合A,B吗?
解:A ? ?2,5,13,17,23?, B ? ?2,11,17,19, 29?

A
5,13,23

2, 17 3,7

B

U

11,19,29

Venn图 的灵活 运用

【变式练习】

设全集U ? { x | x ? 7, x ? N },已知
(? A) ? B ? {1, 6}, A ? (?U B ) ? { 2, 3}, U
?U ( A ? B ) ? {0, 5},求集合A,B.

解:A={2,3,4,7},B={1,4,6,7}.
U 2,3 A 0,5

4,7

1,6 B

【总结提升】 1. 要准确理解和把握它们的定义,直接通过定义的理 解来解决.

2.要使用好韦恩(Venn)图,特别是进行有限集合的这
种运算的时候,如对集合A、B而言,有下图.

3.要使用好数轴这个工具,特别是关于数集的交、并、 补运算,利用数轴可以直观地写出解集.

1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 ?U M =( C ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}

【解析】U中的元素去掉1,2,4得 ?U M ,故选C.

2、若全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},
N={5,6,7},则?U(M∪N)= ( C )

A.{5,7}
C.{2,4,8}

B.{2,4}
D.{1,3,5,6,7}

【解析】借助于Venn图,如图所示

∵M∪N={1,3,5,6,7},∴?U(M∪N)={2,4,8}.

3. 已知集合A,B,全集U={1,2,3,4},且?U(A∪B)

={4},B={1,2},则A∩?UB=( A )
A.{3} B.{4} C.{3,4} D. ?

【解析】因为全集U={1,2,3,4},且?U(A∪B)={4},
所以A∪B={1,2,3}, B={1,2},所以?UB={3,4},所以A={3}或{1,3}或 {3,2}或{1,2,3}. 所以A∩?UB={3}.

4.设全集U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},

B ? ? ?UA,求实数a的取值范围.
解:如图所示,B={x|x<-a}, ∵?UA={x|x≤1},要使B ? ? ? UA ,

∴-a≤1,即a≥-1.

5.设

U ? R, A ? ? x ?1 ? x ? 2? , B ? ? x 1 ? x ? 3?

,求 A I B ,

A U B, 痧 U A, U B, 痧 U ( A U B),( U A) I (? U B).

解析: A I B ? ? x 1 ? x ? 2? ; A U B ? ? x ?1 ? x ? 3?
?U A ? ? x x ? ?1或x ? 2? ; ?U B ? ? x x ? 1或x ? 3? ; ?U ( A U B) ? ? x x ? ?1或x ? 3? ; (痧 U A) I ( U B ) ? ? x x ? ?1或x ? 3? .

回顾本节课你有什么收获? 补
并集运算

全集
补 集 和补 集的 概念.

集 的 性 质

数轴
交集运算

综 合 应 用

Venn图
补集运算

只要时刻保持一份自信、一颗不息的奋 斗雄心,生命的硕果就会如影相随。


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