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1.5.3《定积分的概念》导学案

时间:2014-05-14


sx-14-(2-2)-025

1.5.3《定积分的概念》导学案
编写:刘威 审核:陈纯洪 编写时间:2014.5.13
班级_____组名_______姓名_______等级_______

【学习目标】 1. 了 解 定 积 分的概念和性质,能用定 积分定义求简单的定积分; 2. 理解定积分的几何意义. 【学习重难点】 重点:定 积 分的概念、用定义求简单的定积分 . 难点:定 积 分的概念、 定积分的几何意义. 【知识链接】 : 1. 回忆求曲边梯形面积、变速运动的路程的 “四步曲”为:

2. 求曲边梯形面积的公式 求变速直线运动路程的公式 【学习过程】 :知识点一:定积分的概念 一般地,设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,用分点

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? xi?1 ? xi ? ? xn ? b
将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ( ?x = _________ ) ,在 每个小区间 ? xi ?1 , xi ? 上取一点 ?i ?i ? 1,2, , n? ,作和式:
Sn ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1 n

b?a f (?i ) n i ?1
n

如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那 么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的 _________ 。记为: S =
__________ __ ,其中 f ( x) 称为 _________ , x 叫作 _________ , [a, b] 为积

分区间, b 叫作 _________ , a 叫作积分下限。
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说明: (1)定积分 ? f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)
a

b

称为 ? f ( x)dx ,而不是 Sn .
a

b

(2) 用定义求定积分的一般方法是: ①分割:n 等分区间 ?a , b? ;②近似代替: 取点 ?i ?? xi ?1 , xi ? ;③求和: ?
i ?1 n

b?a f (?i ) ;④取极限: n

?

b

a

f ( x)dx ? lim ? f ??i ?
n ?? i ?1

n

b?a n
b

(3)曲边图形面积: S ? ? f ? x ?dx ;变速运动路程 S ? ? v(t )dt ;变力做功
a

t2

t1

W ? ? F (r )dr
a

b

考考你: (1) ? f ( x)dx
a

b

?

b

a

,这说明定积 f (t )dt (大于,小于,等于) (有关,无关)

分与积分变量的记法 (2)特例: ? f ( x)dx =
a a

知识点二:定积分的几何意义 问题1:你能说出定积分的几何意义吗?

问题2:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示右图中阴影部分的面积S 吗?

问题3:定积分的性质: (1)

?

b

a

kf ( x)dx ?

(

k

为常

数);
第 -2- 页 共 5 页

(2) (3)

? [ f ( x) ? f ( x)]dx ?
a 1 2

b



?

b

a

f ( x)dx ?

(其中 a ? c ? b ). 问题4:你能从定积分的几何意义解释性质(3)吗?

【例题精析】 :例1.利用定积分的定义,计算

?x
0

1

2

dx 的值.

【小试牛刀】 : 1.计算

?

2

0

x3dx 的值,并从几何上解释这个值表示什么.

2.试用定积分的几何意义说明

?

1

0

1 ? x2 dx

的大小.

3.利用定积分的定义,证明

? 1dx ? b ? a ,其中 a, b 均为常数且 a ? b .
a

b

4.求

?

3

?3

( 9-x 2 ? x3 )dx 的值。

第 -3- 页 共 5 页

【课后作业】 1.计算下列定积分,并从几何上解释这些值分别表示什么. (1)

?

x3dx ; (2) ? x3dx ; (3) ? x3dx ; ?1 ?1 ?1

0

1

2

2.如图描述了一物体运动速度 v(单位: m s ) 的变化.请对这一物体在 t ? 0 到

t ? 6 (单位: s )之间走过的路程进行估计.

3.一个物体从距离地面 150m 的高空自由下 落,加速度为 9.81m / s .(1)写出速度作为时间的函数的表达式;(2)将时 间段
2

[0, 4] 平均分成 8 等份,计算该物体下落的前 4 s 经过的距离的过剩近似
?

值(每个 i 均取为小区间的右端点)与过剩近似值(每个 i 均取为小区间的 左端点).(3)试用定积分表示该物体前 4 s 内下落的距离 s,并求出 s 的精 确值.

?

【课后反思】本节课我还有哪些疑惑?
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