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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第三章 3.2.1 利用空间向量证明平行、垂直问题(一)_图文

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第二章 圆锥曲线与方程 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 利用空间向量证明平行、垂直问题(一) 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 1.理解空间点、直线、平面的向量表示方法. 2.能用直线的方向向量与平面的法向量表示空间 直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系. 栏 目 链 接 3.用向量方法证明空间中的平行关系. 4.用向量方法证明空间中的垂直关系. www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 1.在空间中我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意 →来确定.我们把向量 一 点 P 的 位 置 就 可 以 用 向 量 OP → __________ 叫做点 P 的位置向量. OP 2.点 A 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线 l 的方向(方 向向量).在直线 l 上取→ AB=a,那么对于直线上任意一点 P, → → AP=tAB 一定存在实数 t,使得________ . 3. 空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条相交直线 ____________来确 定. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 设这两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为 a和b,P为平面α 上任意一点,由平面向量基本定理可知, 存在有序实数对(x,y),使得 → =xa+yb _________________________________________________ OP _________________________________________. 4.直线l⊥α ,取直线l的方向向量a,则向量a叫 做平面α 的法向量. 5.可以利用______________________________ 直线的方向向量与平面的法向量 表 示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系. www.gzjxw.net 栏 目 链 接 基 础 梳 理 6.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的 方向向量是平行 ____________ (或共线) . 7.证明两条直线垂直,只要证明这两条直线的 方向向量______ 垂直 . 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 自 测 自 评 1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2), b=(-2,3,2),则( A.l1 ∥l2 )B B.l1 ⊥l2 D.不能确定 栏 目 链 接 C.l1、l2相交但不垂直 2.若平面α 、β 的法向量分别为u=(2,-3,5), v=(-3,1,-4),则( A.α ∥β B.α ⊥β ) C C.α 、β 相交但不垂直 D.以上均不正确 www.gzjxw.net 自 测 自 评 3.平面 α 的法向量 u=(x,1,-2),平面 β 的法向 ? 1? 量 v=?-1,y, ?,已知 α ∥β ,则 x+y=( 2? ? ) 栏 目 链 接 13 A. 4 15 B. 4 17 C. 3 14 D. 3 1 -2 解析:因为 α ∥β ,所以 u∥v,所以 = = , -1 y 1 2 1 15 解得 x=4,y=- ,所以 x+y= .故选 B. 4 4 答案:B x www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 题型一 例1 利用方向向量和法向量判定线面位置关系 (1)设 a,b 分别是不重合的直线 l1,l2 的方向向量,根 据下列条件判断 l1 与 l2 的位置关系: ①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); ②a=(5,0,2),b=(0,4,0); ③a=(-2,1,4),b=(6,3,3). (2)设 u,v 分别是不同的平面 α ,β 的法向量,根据下列条 件判断 α ,β 的位置关系: ? 1? ①u=(1,-1,2),v=?3,2,- ?; 2? ? 栏 目 链 接 ②u=(0,3,0),v=(0,-5,0); ③u=(2,-3,4),v=(4,-2,1). (3)设u是平面α 的法向量,a是直线l的方向向量, 根据下列条件判断α 和l的位置关系: ①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2); ②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12); ③u=(4,1,5),a=(2,-1,0). 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 解析:(1)①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3), 1 ∴a=- b,∴a∥b,∴l1∥l2. 3 ②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0), ∴a·b=0, ∴a⊥b, ∴l1⊥l2. ③∵a=(-2,1,4),b=(6,3,3), ∴a 与 b 不共线,也不垂直, ∴l1 与 l2 相交或异面. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net ? 1? (2)①u=(1,-1,2),v=?3,2,- ?, 2? ? ∴u·v=3-2-1=0,∴u⊥v,∴α ⊥β . 3 ②∵u=(0,3,0),v=(0,-5,0),∴u=- v, 5 ∴u∥v,∴α ∥β . ③∵u=(2,-3,4),v=(4,-2,1), ∴u 与 v 不共线,也不垂直, ∴α 与 β 相交但不垂直. (3)①∵u=(2,2,-1),a=(-3,4,2), ∴u·a=-6+8-2=0, 栏 目 链 接 www.gzjxw.net ∴u⊥a,∴l? α 或 l∥α . ②∵u=(0,2,-3),a=(0,-8,12), 1 ∴u=- a, 4 ∴u∥a. ∴l⊥α . ③∵u=(4,1,5),a=(2,-1,0), ∴u 与 a 不共线,也不垂直, ∴l 与 α 相交,但不垂直. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 点评:解决此类问题要注意两点:①搞清直线的方 向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的 内在联系;②要熟

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