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2013-2014学年高中数学人教A版必修五同步辅导与检测:2.5.1等比数列的前n项和

时间:2014-03-07


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数 列

2.5

等比数列的前n项和 等比数列的前n项和

2.5.1

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1.熟练应用等比数列的前n项和公式与通项公式解 决一些应用问题. 2.会求与等比数列相关的一些简单问题.

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基础梳理 1.(1)等比数列的前n项和公式:当q≠1时, ____________或____________,当q=1时,__________.

(2)已知数列{an}是等比数列,a1=3公比q=2,则其前6 项和S6=______.
(3)已知数列{an}是等比数列,a1=3公比q=1则其前6项 和S6=______. 2.(1)等比中项关系:对于数列{an}(an≠0),若anan+2 =a (n∈N*),则数列{an}是________.等比数列的第二项起每 一项都是它相邻前一项与相邻后一项的________.
a1?1-qn? a1-anq 答案:1.Sn= Sn= Sn=na1 1-q 1-q

练习1:(1)189 (2)18 2.等比数列 等比中项 金品质?高追求 我们让你更放心!

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(2)已知数列{an}是等比数列,其通项公式为:an= 2· 3n-1(n∈N*),则anan+2=_______, =______,所 以:________________. 3.(1)若数列{an}是等比数列,Sn是其前n项的和, k∈N*,那么Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成________(Sk≠0). (2)已知数列{an}是等比数列,其通项公式为:an= 2n-1(n∈N*),则S2=______,S4-S2=______,S6-S4= ______,故S2,S4-S2,S6-S4成______数列.

答案:练习 2:4· 3
3.等比数列 练习3:3 12 金品质?高追求 48

2n

4· 3

2n

2 anan+2=an+1

等比

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4.(1)若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn),且 p≠0,q≠0,q≠1则数列{an}是: __________.

(2)数列{an}的前n项和Sn=2(1-3n),则数列{an} 的通项公式是__________,故数列{an}是________.

答案:4.等比数列 练习4:an=-4· 3n-1(n∈N*) 等比数列

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自测自评 1.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16, 则数列{an}前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128

解析:设数列{an}的公比为 q(q>0), 则有 a5=a1q4=16, a1?1-q7? 1-27 ∴q=2,数列的前 7 项和为 S7= = =127. 1-q 1-2 答案:C

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2.数列{2n-1}的前99项和为( A.2100-1 C.299-1 B.1-2100 D.1-299

)

解析:a1=1,q=2, 1×?1-299? 99 ∴S99= =2 -1. 1-2 答案:C

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3.等比数列 1,a,a2,a3,…an 的前 n 项和为( D ) a?1-an 1? 1-an A.1+ B. 1-a 1-a


an 1-1 C. D.以上都错 a-1


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4.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( A.15 B.16 C.49 D.64 )

解析:∵an=Sn-Sn-1(n≥2),∴a8=S8-S7=64- 49=15. 答案:A

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等比数列的求和公式的基本运算 在等比数列{an}中.

(1)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;
a1?1-qn? - 解析:(1)由 Sn= ,an=a1· qn 1 1-q 以及已知条件得
n a ? 1 - 2 ? 1 ? ?189= , 1 - 2 ?
- ? 2n 1. ?96=a1·

(2)若a1+a3=10,a4+a6=

,求a4和S6.

192 ∴a1· 2n=192,即 2n= . a1

192 ? ? ∴189=a1(2 -1)=a1 a -1 , ? 1 ?
n

∴a1=3,2

n-1

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96 = =32,∴n=6. 3

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(2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得:
2 a + a q ? 1 1 =10,

? ? 即? 3 ? 3 5 5 5 2 a1q +a1q = , a1q ?1+q ?= . ? ? 4 4 ? ?
∵a1≠0,1+q2≠0, 3 1 ∴两式相除得 q = , 8 1 ∴q= ,∴a1=8. 2 1?3 3 ? ∴a4=a1q =8× 2 =1, ? ? 6 1?5? ? ? 8× 1- 2 6 63 a1?1-q2 ? ? ? ? ? 31 S6= = = 4. 1 2 1-q 1- 2 金品质?高追求 我们让你更放心!

2 a ? 1 + q ?=10, ? 1

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跟踪训练 1.在等比数列{an}中,a3=-12,前3项和S3=-9,求 公比q.

解析:法一:由已知可得方程组 2 ? a = a · q =-12, ① ? 3 1
? 2 ? S = a ? 1 + q + q ?=-9, ? 3 1



1+q+q2 3 ②÷ ①得 = , q2 4 即 q2+4q+4=0. 所以 q=-2.
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1 法二:a3,a2,a1 成等比数列且公比为 , q 1?3? ? ? a3 1 - q ? ? ?? 所以 S3=a3+a2+a1= 1 1- q -12?q3-1? = 2 =-9. q ?q-1? 所以 q2+4q+4=0,即(q+2)2=0. 所以 q=-2.

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等比数列前n项和性质的应用 等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数

项的和比偶数项的和大80,求公比q.
? ?S奇+S偶=-240, 解析:由题意知:? ?S奇-S偶=80, ? ? ?S奇=-80, ∴? ? ?S偶=-160.

S偶 -160 ∴公比 q= = =2. S奇 -80

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跟踪训练 2.(1)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0则

=(

)
A.-11 B.-8 C.5 D.11

(2)在等比数列{an}中,若前10项的和S10=10,前20项 的和S20=30,则前30项的和S30=________. 解析:(1)通过8a2+a5=0,设公比为q,将该式转化为 8a2+a2q3=0,解得q=-2,代入所求式可知答案选A.

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(2)法一:设数列{an}的首项为 a1,

? ? 公比为 q,显然 q≠1,则? a ?1-q ? ? 1-q
1

a1?1-q10? =10, 1-q
20

? =30.

两式相除得:1+q10=3,∴q10=2. a1?1-q30? a1?1-q10? ∴S30= = (1+q10+q20) 1-q 1-q =10×(1+2+4)=70.

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法二:∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又∵S10=10,S20=30, ?30-10?2 ∴S30-30= ,即 S10=70. 10 答案:(1)A (2)70

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等比数列的综合问题 已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,an=log5bn, 其中bn>0,求数列{bn}的前n项和.
解析:设{bn}的前 n 项和为 S′, 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3-2n, - 又∵an=log5bn,∴bn=53 2n. - - bn-1 53 2?n 1? 1 ∵ = 3-2n = 25, ,b1=5, bn 25 5 1 ∴{bn}是以 5 为首项, 为公比的等比数列. 25 1 ?n? ? ? 5 1- 25 1 ? ? ? ? ? 125? 1 - n . ∴S′= = 1 24 ? 25 ? 1- 25

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跟踪训练 3.已知等差数列{an},a2=9,a5=21. (1)求{an}的通项公式; (2)令bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn. 解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d, ? ?a1+d=9, 依题意得方程组? ? ?a1+4d=21. 解得 a1=5,d=4. 所以{an}的通项公式为 an=4n+1. + (2)由 an=4n+1 得 bn=24n 1. 所以{bn}是首项为 b1=25,公比为 q=24 的等比数列, 25×?24n-1? 32×?24n-1? 于是得{bn}的前 n 项和 Sn= = . 15 24-1 金品质?高追求 我们让你更放心!

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一、选择填空题
?1?n 1.等比数列{an}的通项公式是an= ? ? ,则前3项和 2 ? ? S3的值为( )

3 A. 8

5 B. 8

7 C. 8

9 D. 8

1 1 1 7 解析:S3=a1+a2+a3= + + = .故选 C. 2 4 8 8 答案:C

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2.1和4的等差中项和等比中项分别是(

)

5 5 A.5,2 B.5,-2 C. ,4 D. ,± 2 2 2
1+4 5 解析:1 和 4 的等差中项为 = ,等比中项为± 1×4=± 2.故选 D. 2 2 答案:D

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1.在等比数列中,有五个元素:a1,q,n,an,Sn, 其中a1与q是两个基本的量,数列中其他各项可以用a1与

q表示,由通项公式,前n项和公式及已知条件列出方程
及方程组是解决这一类问题的基本方法. 2.等比数列求和时小心分公比q=1与q≠1讨论. 3.研究数列时很多时候需要从通项上入手,从第n

项是什么着手,这种方法对于解决问题很有好处.

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